PriekšmetsKompleksie skaitļi un polinomi

Lekcija 22

§1. Kompleksie skaitļi: pamatdefinīcijas

Simbols tiek ieviests ar attiecību
un to sauc par iedomātu vienību. Citiem vārdiem sakot,
.

Definīcija. Formas izteiksme
, Kur
, sauc par komplekso skaitli un skaitli sauc par kompleksā skaitļa reālo daļu un apzīmē
, numurs – iedomātā daļa un apzīmē
.

No šīs definīcijas izriet, ka reālie skaitļi ir tie kompleksie skaitļi, kuru iedomātā daļa ir vienāda ar nulli.

Ir ērti attēlot kompleksos skaitļus ar plaknes punktiem, uz kuriem ir dota Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma, proti: kompleksais skaitlis
atbilst punktam
un otrādi. Uz ass
ir attēloti reālie skaitļi, un to sauc par reālo asi. Veidlapas kompleksie skaitļi

tiek saukti par tīri iedomātiem. Tos attēlo punkti uz ass
, ko sauc par iedomāto asi. Šo plakni, kas kalpo komplekso skaitļu attēlošanai, sauc par komplekso plakni. Komplekss skaitlis, kas nav reāls, t.i. tāds, ka
, ko dažreiz sauc par iedomātu.

Tiek uzskatīts, ka divi kompleksie skaitļi ir vienādi tad un tikai tad, ja to reālā un iedomātā daļa ir vienādas.

Komplekso skaitļu saskaitīšana, atņemšana un reizināšana tiek veikta saskaņā ar parastajiem polinoma algebras noteikumiem, ņemot vērā to, ka

. Dalīšanas operāciju var definēt kā reizināšanas operācijas apgriezto vērtību un var pierādīt rezultāta unikalitāti (ja dalītājs nav nulle). Tomēr praksē tiek izmantota cita pieeja.

Kompleksie skaitļi
Un
sauc par konjugātiem; kompleksajā plaknē tos attēlo punkti, kas ir simetriski ap reālo asi. Ir skaidrs, ka:

1)

;

2)
;

3)
.

Tagad sadalīt ieslēgts var izdarīt šādi:

.

Nav grūti to parādīt

,

kur ir simbols apzīmē jebkuru aritmētisku darbību.

Ļaujiet
kādu iedomātu skaitli un - reāls mainīgais. Divu binomiālu reizinājums

ir kvadrātveida trinomāls ar reāliem koeficientiem.

Tagad, ja mūsu rīcībā ir kompleksie skaitļi, mēs varam atrisināt jebkuru kvadrātvienādojumu
.Ja tad

un vienādojumam ir divas sarežģītas konjugētas saknes

.

Ja
, tad vienādojumam ir divas dažādas reālās saknes. Ja
, tad vienādojumam ir divas identiskas saknes.

§2. Kompleksa skaitļa trigonometriskā forma

Kā minēts iepriekš, komplekss skaitlis
ērti attēlot kā punktu
. Šo skaitli var identificēt arī ar šī punkta rādiusa vektoru
. Ar šo interpretāciju komplekso skaitļu saskaitīšana un atņemšana tiek veikta saskaņā ar vektoru saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem. Komplekso skaitļu reizināšanai un dalīšanai ērtāka ir cita forma.

Ļaujiet mums iepazīstināt kompleksajā plaknē
polāro koordinātu sistēma. Tad kur
,
un kompleksais skaitlis
var rakstīt šādi:

Šo apzīmējuma formu sauc par trigonometrisko (atšķirībā no algebriskās formas
). Šajā formā numurs sauc par moduli, un – kompleksa skaitļa arguments . Tie ir apzīmēti:
,

. Modulim mums ir formula

Skaitļa arguments nav unikāli definēts, bet līdz terminam
,
. Argumenta vērtība, kas apmierina nevienlīdzību
, tiek saukts par galveno un tiek apzīmēts
. Tad
. Argumenta galvenajai vērtībai varat iegūt šādas izteiksmes:

,

skaitļa arguments
tiek uzskatīts par nenoteiktu.

Divu komplekso skaitļu vienādības nosacījumam trigonometriskā formā ir šāda forma: skaitļu moduļi ir vienādi, un argumenti atšķiras ar daudzkārtni
.

Atradīsim divu komplekso skaitļu reizinājumu trigonometriskā formā:

Tātad, reizinot skaitļus, tiek reizināti to moduļi un pievienoti argumenti.

Līdzīgā veidā varam konstatēt, ka dalot skaitļu moduļus sadala un argumentus atņem.

Izprotot kāpināšanu kā atkārtotu reizināšanu, mēs varam iegūt formulu kompleksā skaitļa paaugstināšanai pakāpē:

Atvasināsim formulu
- sakne - kompleksā skaitļa pakāpe (nejaukt ar reāla skaitļa aritmētisko sakni!). Saknes izvilkšanas operācija ir apgriezta kāpināšanas darbībai. Tāpēc
ir komplekss skaitlis tāds, ka
.

Ļaujiet
ir zināms, bet
nepieciešams atrast. Tad

No divu komplekso skaitļu vienādības trigonometriskā formā izriet, ka

,
,
.

No šejienes
(šī ir aritmētiskā sakne!),

,
.

To ir viegli pārbaudīt var tikai pieņemt būtībā atšķirīgas vērtības, piemēram, kad
. Visbeidzot, mums ir formula:

,
.

Tātad sakne kompleksa skaitļa th jauda ir dažādas nozīmes. Sarežģītajā plaknē šīs vērtības atrodas pareizi virsotnēs -trijstūris, kas ierakstīts rādiusa aplī
ar centru izcelsmē. “Pirmajai” saknei ir arguments
, divu “kaimiņu” sakņu argumenti atšķiras ar
.

Piemērs. Ņemsim iedomātās vienības kuba sakni:
,
,
. Pēc tam:

,

Kompleksie skaitļi ir mums zināmo reālo skaitļu kopas minimālais paplašinājums. To būtiskā atšķirība ir tāda, ka parādās elements, kas kvadrātā dod -1, t.i. es, vai .

Jebkurš kompleksais skaitlis sastāv no divām daļām: reāls un iedomāts:

Tādējādi ir skaidrs, ka reālo skaitļu kopa sakrīt ar komplekso skaitļu kopu ar nulles iedomāto daļu.

Vispopulārākais komplekso skaitļu kopas modelis ir parastā plakne. Katra punkta pirmā koordināte būs tā reālā daļa, bet otrā būs tā iedomātā daļa. Tad pašu komplekso skaitļu loma būs vektoriem ar sākumu punktā (0,0).

Operācijas ar kompleksajiem skaitļiem.

Faktiski, ja ņemam vērā komplekso skaitļu kopas modeli, ir intuitīvi skaidrs, ka divu komplekso skaitļu saskaitīšana (atņemšana) un reizināšana tiek veikta tāpat kā atbilstošās darbības ar vektoriem. Turklāt mēs domājam vektoru vektoru reizinājumu, jo šīs darbības rezultāts atkal ir vektors.

1.1 Papildinājums.

(Kā redzat, šī darbība precīzi atbilst)

1.2. Atņemšana, līdzīgi tiek ražots saskaņā ar šādu noteikumu:

2. Reizināšana.

3. Sadalījums.

Definēta vienkārši kā reizināšanas apgrieztā darbība.

Trigonometriskā forma.

Kompleksā skaitļa z modulis ir šāds lielums:

,

acīmredzot, tas atkal ir tikai vektora (a, b) modulis (garums).

Visbiežāk kompleksā skaitļa modulis tiek apzīmēts kā ρ.

Izrādās, ka

z = ρ(cosφ+isinφ).

No kompleksā skaitļa rakstīšanas trigonometriskās formas izriet tieši sekojošais: formulas :

Pēdējā formula tiek saukta Moivra formula. Formula ir iegūta tieši no tā kompleksa skaitļa n-tā sakne:

tātad kompleksajam skaitlim z ir n-tās saknes.

Kompleksie skaitļi

Iedomāts Un kompleksie skaitļi. Abscisa un ordināta

kompleksais skaitlis. Konjugēt kompleksos skaitļus.

Darbības ar kompleksajiem skaitļiem. Ģeometriski

komplekso skaitļu attēlojums. Sarežģīta plakne.

Kompleksa skaitļa modulis un arguments. Trigonometrisks

kompleksā skaitļa forma. Operācijas ar kompleksu

cipari trigonometriskā formā. Moivra formula.

Pamatinformācija par iedomāts Un kompleksie skaitļi ir doti sadaļā “Iedomātie un kompleksie skaitļi”. Nepieciešamība pēc šiem jauna veida skaitļiem radās, risinot gadījuma kvadrātvienādojumusD< 0 (здесь D– kvadrātvienādojuma diskriminants). Ilgu laiku šie skaitļi neatrada fizisku pielietojumu, tāpēc tos sauca par “iedomātajiem” skaitļiem. Tomēr tagad tos ļoti plaši izmanto dažādās fizikas jomās.

un tehnoloģija: elektrotehnika, hidro- un aerodinamika, elastības teorija utt.

Kompleksie skaitļi ir rakstīti šādā formā:a+bi. Šeit a Un b – reāli skaitļi , A i – iedomātā vienība, t.i. e. i 2 = –1. Numurs a sauca abscisa, a b – ordinātakompleksais skaitlisa + bi.Divi kompleksie skaitļia+bi Un a–bi tiek saukti konjugāts kompleksie skaitļi.

Galvenie līgumi:

1. Reālais skaitlisAvar rakstīt arī formākompleksais skaitlis:a + 0 i vai a – 0 i. Piemēram, ieraksti 5 + 0i un 5-0 inozīmē to pašu skaitli 5 .

2. Komplekss skaitlis 0 + bisauca tīri izdomāts numuru. Ierakstsbinozīmē to pašu, ko 0 + bi.

3. Divi kompleksie skaitļia+bi Unc+ditiek uzskatīti par vienādiem, jaa = c Un b = d. Citādi kompleksie skaitļi nav vienādi.

Papildinājums. Komplekso skaitļu summaa+bi Un c+disauc par komplekso skaitli (a+c ) + (b+d ) i.Tādējādi pievienojot kompleksos skaitļus, to abscises un ordinātas pievieno atsevišķi.

Šī definīcija atbilst noteikumiem par darbībām ar parastajiem polinomiem.

Atņemšana. Divu komplekso skaitļu atšķirībaa+bi(samazināts) un c+di(apakšdaļu) sauc par komplekso skaitli (a–c ) + (b–d ) i.

Tādējādi Atņemot divus kompleksos skaitļus, to abscises un ordinātas tiek atņemtas atsevišķi.

Reizināšana. Komplekso skaitļu reizinājumsa+bi Un c+di sauc par komplekso skaitli:

(ac–bd ) + (ad+bc ) i.Šī definīcija izriet no divām prasībām:

1) cipari a+bi Un c+dijāreizina kā algebriskais binomi,

2) numurs iir galvenais īpašums:i 2 = – 1.

PIEMĒRS ( a+ bi )(a–bi) =a 2 +b 2 . Tāpēc strādāt

divi konjugēti kompleksie skaitļi ir vienādi ar reālo

pozitīvs skaitlis.

Divīzija. Sadaliet komplekso skaitlia+bi (dalāms) ar cituc+di(dalītājs) - nozīmē atrast trešo numurue + f i(čats), ko reizinot ar dalītājuc+di, rada dividendesa + bi.

Ja dalītājs nav nulle, dalīšana vienmēr ir iespējama.

PIEMĒRS Atrast (8+i ) : (2 – 3 i) .

Risinājums. Pārrakstīsim šo attiecību kā daļskaitli:

Reizinot tā skaitītāju un saucēju ar 2 + 3i

UN Veicot visas pārvērtības, mēs iegūstam:

Komplekso skaitļu ģeometriskais attēlojums. Reālos skaitļus attēlo punkti uz skaitļu līnijas:

Šeit ir runa Anozīmē skaitli –3, punktsB– 2. numurs un O- nulle. Turpretim kompleksos skaitļus attēlo punkti koordinātu plaknē. Šim nolūkam mēs izvēlamies taisnstūra (Dekarta) koordinātas ar vienādām skalām uz abām asīm. Tad kompleksais skaitlisa+bi tiks attēlots ar punktu P ar abscisu a un ordinātas b (skat. attēlu). Šo koordinātu sistēmu sauc sarežģīta plakne .

Modulis kompleksais skaitlis ir vektora garumsOP, kas attēlo kompleksu skaitli uz koordinātas ( aptverošs) lidmašīna. Kompleksa skaitļa modulisa+bi apzīmēts | a+bi| vai vēstuli r

Atgādināsim nepieciešamo informāciju par kompleksajiem skaitļiem.

Komplekss skaitlis ir formas izpausme a + bi, Kur a, b ir reāli skaitļi un i- ts iedomātā vienība, simbols, kura kvadrāts ir vienāds ar –1, tas ir i 2 = –1. Numurs a sauca īstā daļa un numuru b - iedomātā daļa kompleksais skaitlis z = a + bi. Ja b= 0, tad tā vietā a + 0i viņi vienkārši raksta a. Var redzēt, ka reālie skaitļi ir īpašs komplekso skaitļu gadījums.

Aritmētiskās darbības ar kompleksajiem skaitļiem ir tādas pašas kā ar reāliem skaitļiem: tos var saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt vienu ar otru. Saskaitīšana un atņemšana notiek saskaņā ar noteikumu ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, un reizināšana notiek pēc likuma ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (reklāma + bc)i(šeit tas tiek izmantots i 2 = –1). Skaitlis = a – bi sauca komplekss konjugāts Uz z = a + bi. Vienlīdzība z · = a 2 + b 2 ļauj saprast, kā vienu komplekso skaitli dalīt ar citu (kas nav nulle) komplekso skaitli:

(Piemēram, .)

Kompleksajiem skaitļiem ir ērts un vizuāls ģeometriskais attēlojums: skaitlis z = a + bi var attēlot ar vektoru ar koordinātām ( a; b) Dekarta plaknē (vai, kas ir gandrīz tas pats, punkts - vektora beigas ar šīm koordinātām). Šajā gadījumā divu komplekso skaitļu summa tiek attēlota kā atbilstošo vektoru summa (ko var atrast, izmantojot paralelograma noteikumu). Saskaņā ar Pitagora teorēmu vektora garums ar koordinātām ( a; b) ir vienāds ar . Šo daudzumu sauc modulis kompleksais skaitlis z = a + bi un apzīmē ar | z|. Tiek saukts leņķis, ko šis vektors veido ar x ass pozitīvo virzienu (skaitot pretēji pulksteņrādītāja virzienam). arguments kompleksais skaitlis z un tiek apzīmēts ar Arg z. Arguments nav unikāli definēts, bet tikai līdz 2 reizinājuma pievienošanai π radiānos (vai 360°, ja skaita grādos) - galu galā ir skaidrs, ka pagriešana par šādu leņķi ap ​​oriģinālu vektoru nemainīs. Bet ja garuma vektors r veido leņķi φ ar x ass pozitīvo virzienu, tad tā koordinātas ir vienādas ar ( r cos φ ; r grēks φ ). No šejienes izrādās trigonometriskais apzīmējums kompleksais skaitlis: z = |z| · (cos(Arg z) + i grēks (Arg z)). Bieži vien ir ērti rakstīt kompleksos skaitļus šādā formā, jo tas ievērojami vienkāršo aprēķinus. Komplekso skaitļu reizināšana trigonometriskā formā ir ļoti vienkārša: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i grēks (Arg z 1 + Arg z 2)) (reizinot divus kompleksos skaitļus, tiek reizināti to moduļi un saskaitīti argumenti). No šejienes sekojiet Moivre formulas: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + i grēks ( n· (Arg z))). Izmantojot šīs formulas, ir viegli iemācīties iegūt jebkuras pakāpes saknes no kompleksajiem skaitļiem. n-tā sakne no z- tas ir komplekss skaitlis w, Kas w n = z. Tas ir skaidrs , Un kur k var ņemt jebkuru vērtību no kopas (0, 1, ..., n- 1). Tas nozīmē, ka vienmēr ir tieši n saknes n kompleksā skaitļa pakāpe (plaknē tie atrodas regulārās virsotnēs n-gon).