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Trova la somma dei vettori utilizzando la regola del parallelogramma. Regole di addizione vettoriale. Regola dei tre punti

Trova la somma dei vettori utilizzando la regola del parallelogramma. Regole di addizione vettoriale. Regola dei tre punti

Il modo in cui avviene l'addizione dei vettori non è sempre chiaro agli studenti. I bambini non hanno idea di cosa si nasconde dietro di loro. Devi solo ricordare le regole e non pensare all'essenza. Pertanto, sono proprio i principi di addizione e sottrazione di quantità vettoriali che richiedono molta conoscenza.

La somma di due o più vettori dà sempre come risultato uno in più. Inoltre, sarà sempre lo stesso, indipendentemente da come verrà trovato.

Molto spesso, in un corso di geometria scolastica, viene considerata l'aggiunta di due vettori. Può essere eseguito secondo la regola del triangolo o del parallelogramma. Questi disegni sembrano diversi, ma il risultato dell'azione è lo stesso.

Come avviene l'addizione utilizzando la regola del triangolo?

Viene utilizzato quando i vettori non sono collineari. Cioè non giacciono sulla stessa retta né su parallele.

In questo caso, il primo vettore deve essere tracciato da un punto arbitrario. Dalla sua estremità è necessario disegnare parallelo e uguale al secondo. Il risultato sarà un vettore che inizia dall'inizio del primo e termina alla fine del secondo. Il modello ricorda un triangolo. Da qui il nome della regola.

Se i vettori sono collineari, è possibile applicare anche questa regola. Solo il disegno verrà posizionato lungo una linea.

Come si esegue l'addizione utilizzando la regola del parallelogramma?

Ancora una volta? si applica solo ai vettori non collineari. La costruzione viene eseguita secondo un principio diverso. Anche se l'inizio è lo stesso. Dobbiamo mettere da parte il primo vettore. E dal suo inizio, il secondo. Basandoti su di essi, completa il parallelogramma e traccia una diagonale dall'inizio di entrambi i vettori. Questo sarà il risultato. Ecco come viene eseguita l'addizione vettoriale secondo la regola del parallelogramma.

Finora ce ne sono stati due. Ma cosa succede se ce ne sono 3 o 10? Utilizzare la seguente tecnica.

Come e quando si applica la regola del poligono?

Se è necessario eseguire l'addizione di vettori, il cui numero è superiore a due, non aver paura. È sufficiente metterli tutti da parte in sequenza e collegare l'inizio della catena con la sua fine. Questo vettore sarà l'importo richiesto.

Quali proprietà sono valide per le operazioni con i vettori?

Informazioni sul vettore zero. Il che afferma che sommato ad esso si ottiene l'originale.

Informazioni sul vettore opposto. Cioè, uno che ha la direzione opposta e la stessa grandezza. La loro somma sarà zero.

Sulla commutatività dell'addizione. Qualcosa che si sapeva fin dalle elementari. Cambiare la posizione dei termini non cambia il risultato. In altre parole, non importa quale vettore rimandare per primo. La risposta sarà comunque corretta e univoca.

Sull'associatività dell'addizione. Questa legge ti consente di sommare qualsiasi vettore da una tripla in coppia e aggiungerne un terzo. Se lo scrivi usando i simboli, ottieni quanto segue:

primo + (secondo + terzo) = secondo + (primo + terzo) = terzo + (primo + secondo).

Cosa si sa della differenza vettoriale?

Non esiste un'operazione di sottrazione separata. Ciò è dovuto al fatto che si tratta essenzialmente di un'addizione. Solo al secondo viene data la direzione opposta. E poi tutto viene fatto come se si considerasse l'aggiunta di vettori. Pertanto, non si parla praticamente della loro differenza.

Per semplificare il lavoro con la loro sottrazione, la regola del triangolo viene modificata. Ora (quando si sottrae) il secondo vettore deve essere messo da parte dall'inizio del primo. La risposta sarà quella che collega il punto finale del minuendo con lo stesso del sottraendo. Anche se puoi posticiparlo come descritto in precedenza, semplicemente cambiando la direzione del secondo.

Come trovare la somma e la differenza dei vettori nelle coordinate?

Il problema fornisce le coordinate dei vettori e richiede di scoprire i loro valori per il risultato finale. In questo caso, non è necessario eseguire costruzioni. Cioè, puoi utilizzare semplici formule che descrivono la regola per l'aggiunta di vettori. Sembrano così:

a (x, y, z) + b (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);

a (x, y, z) -b (k, l, m) = c (xk, yl, zm).

È facile vedere che le coordinate devono semplicemente essere aggiunte o sottratte a seconda dell'attività specifica.

Primo esempio con soluzione

Condizione. Dato un rettangolo ABCD. I suoi lati sono pari a 6 e 8 cm. Il punto di intersezione delle diagonali è indicato dalla lettera O. È necessario calcolare la differenza tra i vettori AO e VO.

Soluzione. Per prima cosa devi disegnare questi vettori. Sono diretti dai vertici del rettangolo al punto di intersezione delle diagonali.

Se osservi attentamente il disegno, puoi vedere che i vettori sono già combinati in modo che il secondo sia in contatto con l'estremità del primo. È solo che la sua direzione è sbagliata. Si dovrebbe iniziare da questo punto. Questo avviene se i vettori vengono sommati, ma il problema riguarda la sottrazione. Fermare. Questa azione significa che è necessario aggiungere il vettore diretto in senso opposto. Ciò significa che VO deve essere sostituito con OV. E si scopre che i due vettori hanno già formato una coppia di lati della regola del triangolo. Pertanto il risultato della loro somma, cioè la differenza desiderata, è il vettore AB.

E coincide con il lato del rettangolo. Per scrivere la tua risposta numerica, avrai bisogno di quanto segue. Disegna un rettangolo nel senso della lunghezza in modo che il lato maggiore sia orizzontale. Inizia a numerare i vertici dal basso a sinistra e procedi in senso antiorario. Allora la lunghezza del vettore AB sarà 8 cm.

Risposta. La differenza tra AO e VO è 8 cm.

Secondo esempio e sua soluzione dettagliata

Condizione. Le diagonali del rombo ABCD misurano 12 e 16 cm. Il punto della loro intersezione è indicato dalla lettera O. Calcola la lunghezza del vettore formato dalla differenza tra i vettori AO e BO.

Soluzione. Lascia che la designazione dei vertici del rombo sia la stessa del problema precedente. Analogamente alla soluzione del primo esempio, risulta che la differenza desiderata è uguale al vettore AB. E la sua lunghezza è sconosciuta. La soluzione del problema si riduceva al calcolo di uno dei lati del rombo.

A questo scopo dovrai considerare il triangolo ABO. È rettangolare perché le diagonali di un rombo si intersecano con un angolo di 90 gradi. E le sue gambe sono pari alla metà delle diagonali. Cioè 6 e 8 cm. Il lato cercato nel problema coincide con l'ipotenusa di questo triangolo.

Per trovarlo avrai bisogno del teorema di Pitagora. Il quadrato dell'ipotenusa sarà uguale alla somma dei numeri 6 2 e 8 2. Dopo la quadratura i valori ottenuti sono: 36 e 64. La loro somma è 100. Ne consegue che l'ipotenusa è pari a 10 cm.

Risposta. La differenza tra i vettori AO e VO è 10 cm.

Terzo esempio con soluzione dettagliata

Condizione. Calcola la differenza e la somma di due vettori. Le loro coordinate sono note: il primo ha 1 e 2, il secondo ha 4 e 8.

Soluzione. Per trovare la somma dovrai sommare la prima e la seconda coordinata a coppie. Il risultato saranno i numeri 5 e 10. La risposta sarà un vettore con coordinate (5; 10).

Per la differenza, è necessario sottrarre le coordinate. Dopo aver eseguito questa azione, si otterranno i numeri -3 e -6. Saranno le coordinate del vettore desiderato.

Risposta. La somma dei vettori è (5; 10), la loro differenza è (-3; -6).

Quarto esempio

Condizione. La lunghezza del vettore AB è 6 cm, BC è 8 cm. Il secondo è disposto dall'estremità del primo con un angolo di 90 gradi. Calcolare: a) la differenza tra i moduli dei vettori VA e BC e il modulo della differenza tra VA e BC; b) la somma dei moduli stessi e il modulo della somma.

Soluzione: a) Le lunghezze dei vettori sono già indicate nel problema. Pertanto, calcolare la loro differenza non è difficile. 6 - 8 = -2. La situazione con il modulo differenza è un po' più complicata. Per prima cosa devi scoprire quale vettore sarà il risultato della sottrazione. A questo scopo è opportuno accantonare il vettore BA, che è diretto nella direzione opposta AB. Quindi disegna il vettore BC dalla sua estremità, dirigendolo nella direzione opposta a quella originale. Il risultato della sottrazione è il vettore CA. Il suo modulo può essere calcolato utilizzando il teorema di Pitagora. Semplici calcoli portano ad un valore di 10 cm.

b) La somma dei moduli dei vettori è pari a 14 cm Per trovare la seconda risposta sarà necessaria qualche trasformazione. Il vettore BA è diretto in modo opposto a quello dato - AB. Entrambi i vettori sono diretti dallo stesso punto. In questa situazione, puoi utilizzare la regola del parallelogramma. Il risultato dell'addizione sarà una diagonale e non solo un parallelogramma, ma un rettangolo. Le sue diagonali sono uguali, il che significa che il modulo della somma è lo stesso del paragrafo precedente.

Risposta: a) -2 e 10 cm; b) 14 e 10 cm.

Quantità scalare è una quantità fisica che ha una sola caratteristica: un valore numerico.

Una quantità scalare può essere positiva o negativa.

Esempi di grandezze scalari: temperatura, massa, volume, tempo, densità. Le operazioni matematiche con quantità scalari sono operazioni algebriche.

Quantità vettoriale è una grandezza fisica che ha due caratteristiche:

1) un valore numerico sempre positivo (modulo vettoriale);

Esempi di grandezze fisiche vettoriali: velocità, accelerazione, forza.

Una quantità vettoriale è indicata da una lettera latina e da una freccia sopra questa lettera. Per esempio:

Il modulo vettoriale è indicato come segue:

oppure - modulo vettoriale ,

Nella figura (graficamente), il vettore è rappresentato da un segmento orientato di una linea retta. La grandezza del vettore è uguale alla lunghezza del segmento diretto su una data scala.

2.2. Azioni con vettori

Le operazioni matematiche con quantità vettoriali sono operazioni geometriche.

2.2.1 Confronto vettoriale

Vettori uguali. Due vettori sono uguali se hanno:

moduli uguali,

stesse direzioni.

Vettori opposti. Due vettori sono opposti se hanno:

moduli uguali,

direzioni opposte.

2.2.2 Addizione vettoriale

Possiamo sommare geometricamente due vettori utilizzando la regola del parallelogramma e la regola del triangolo.

Siano dati due vettori E (Guarda l'immagine). Troviamo la somma di questi vettori +=. Le quantità E sono i vettori componenti, vettore è il vettore risultante.

Regola del parallelogramma per la somma di due vettori:

1. Disegniamo un vettore .

2. Disegniamo un vettore in modo che il suo inizio coincida con l'inizio del vettore ; l'angolo tra i vettori è uguale a (Guarda l'immagine).

3. Fino alla fine del vettore .

4. Fino alla fine del vettore traccia una linea retta parallela al vettore .

Abbiamo costruito un parallelogramma. I lati di questo parallelogramma sono i vettori componenti E .

5. Disegna la diagonale del parallelogramma dal punto comune di origine del vettore e l'inizio del vettore .

6. Modulo del vettore risultante è uguale alla lunghezza della diagonale del parallelogramma ed è determinata dalla formula:

inizio del vettore coincide con l'inizio del vettore e l'inizio del vettore (direzione del vettore mostrato in figura).

Regola del triangolo per sommare due vettori:

1. Disegniamo i vettori componenti E in modo che l'inizio del vettore coincide con la fine del vettore . In questo caso, l'angolo tra i vettori è uguale a .

2. Vettore risultante è diretto in modo che la sua origine coincida con l'origine del vettore e la fine coincide con la fine del vettore .

3. Il modulo del vettore risultante si trova dalla formula:

2.2.3 Sottrazione vettoriale

La sottrazione di vettori è l'inverso dell'addizione:

Trova la differenza vettoriale e vettore - equivale a trovare la somma di un vettore e vettore
, opposto al vettore . Possiamo trovare geometricamente il vettore differenza utilizzando la regola del parallelogramma o la regola del triangolo (vedi figura).

Regola del parallelogramma.

Lati di un parallelogramma - vettore e vettore - ; Diagonale del parallelogramma - vettore differenza
.

Regola del triangolo.

Vettore di differenza collega la fine del vettore e la fine del vettore (inizio del vettore coincide con la fine del vettore ).

2.2.4 Moltiplicazione di un vettore per uno scalare

Sia il vettore dato e scalare. Troviamo il prodotto del vettore e vettore scalare.

Come risultato della moltiplicazione di un vettore per uno scalare, otteniamo un nuovo vettore :

Direzione del vettore stessa direzione del vettore A
.

Direzione del vettore opposta alla direzione del vettore A
.

Modulo vettoriale n volte maggiore del modulo del vettore , Se
.

2.3. Prodotto punto e croce

2.3.1 Prodotto scalare

Da due vettori E puoi formare uno scalare secondo la regola:

Questa espressione è chiamata prodotto scalare di vettori E
, O
.

Quindi, . =
.

Per definizione, un prodotto scalare ha le seguenti proprietà:

1)
,

2)
,

2.3.2 Prodotto incrociato

Da due vettori
E
puoi formare un nuovo vettore:

, Dove

Il modulo del nuovo vettore risultante si trova dalla formula:

Questa operazione è chiamata prodotto incrociato di vettori E ed è indicato da uno dei simboli
O
.

Anche la formula è ben nota

Dove - angolo tra i vettori E .

Direzione del vettore può essere trovato utilizzando la seguente tecnica. Combiniamo mentalmente l'asse longitudinale del succhiello (vite destra, cavatappi) con la perpendicolare al piano in cui giacciono i vettori moltiplicati (in questo esempio i vettori E ). Quindi iniziamo a ruotare la testa della vite (manico del cavatappi) nel senso della rotazione più breve dal primo fattore al secondo, cioè dal vettore al vettore . La direzione del movimento del corpo dell'elica sarà la direzione del vettore . Questa tecnica si chiama regola della vite destra o regola del succhiello (Guarda l'immagine).

Il momento della forza, il momento angolare, ecc. sono espressi in termini di prodotto vettoriale. Quando si parla di vettore si intendono sempre le sue componenti. Un vettore, a differenza di uno scalare, è definito da tre numeri. Pertanto, operazioni come addizione, sottrazione, prodotti scalari e vettoriali sono ridotte a operazioni familiari con i componenti.

Per effettuare l'operazione di somma dei vettori esistono diversi metodi che, a seconda della situazione e della tipologia di vettori in questione, possono risultare più comodi da utilizzare. Diamo un'occhiata alle regole per l'aggiunta di vettori:

Regola del triangolo

La regola del triangolo è la seguente: per sommare due vettori x, y, è necessario costruire il vettore x in modo che il suo inizio coincida con la fine del vettore y. Quindi la loro somma sarà il valore del vettore z, e l'inizio del vettore z coinciderà con l'inizio del vettore x e la fine con la fine del vettore y.

La regola del triangolo aiuta se il numero di vettori che devono essere sommati non è superiore a due.

Regola del poligono

La regola del poligono è la più semplice e conveniente per aggiungere un numero qualsiasi di vettori su un piano o nello spazio. L'essenza della regola è la seguente: quando si aggiungono vettori, è necessario aggiungerli in sequenza uno dopo l'altro, in modo che l'inizio del vettore successivo coincida con la fine di quello precedente, mentre il vettore che chiude la curva risultante è il somma dei vettori aggiunti. Ciò è chiaramente dimostrato dall'uguaglianza w= x + y + z, dove il vettore w è la somma di questi vettori. Inoltre, va notato che cambiando le posizioni dei termini dei vettori non cambia la somma, cioè (x + y) + z = x + (y + z).

Regola del parallelogramma

La regola del parallelogramma viene utilizzata per sommare vettori che hanno origine dallo stesso punto. Questa regola afferma che la somma dei vettori xey, originari di un punto, sarà un terzo vettore z, anch'esso proveniente da questo punto, e i vettori xey sono i lati del parallelogramma, e il vettore z è la sua diagonale . Anche in questo caso non ha importanza l'ordine in cui verranno aggiunti i vettori.

Pertanto, la regola del poligono, la regola del triangolo e la regola del parallelogramma aiutano a risolvere problemi di addizione vettoriale di qualsiasi complessità, sia sul piano che nello spazio.

Quantità scalare è una quantità fisica che ha una sola caratteristica: un valore numerico.

Una quantità scalare può essere positiva o negativa.

Esempi di grandezze scalari: temperatura, massa, volume, tempo, densità. Le operazioni matematiche con quantità scalari sono operazioni algebriche.

Quantità vettoriale è una grandezza fisica che ha due caratteristiche:

1) un valore numerico sempre positivo (modulo vettoriale);

Esempi di grandezze fisiche vettoriali: velocità, accelerazione, forza.

Una quantità vettoriale è indicata da una lettera latina e da una freccia sopra questa lettera. Per esempio:

Il modulo vettoriale è indicato come segue:

oppure - modulo vettoriale ,

Nella figura (graficamente), il vettore è rappresentato da un segmento orientato di una linea retta. La grandezza del vettore è uguale alla lunghezza del segmento diretto su una data scala.

2.2. Azioni con vettori

Le operazioni matematiche con quantità vettoriali sono operazioni geometriche.

2.2.1 Confronto vettoriale

Vettori uguali. Due vettori sono uguali se hanno:

moduli uguali,

stesse direzioni.

Vettori opposti. Due vettori sono opposti se hanno:

moduli uguali,

direzioni opposte.

2.2.2 Addizione vettoriale

Possiamo sommare geometricamente due vettori utilizzando la regola del parallelogramma e la regola del triangolo.

Siano dati due vettori E (Guarda l'immagine). Troviamo la somma di questi vettori +=. Le quantità E sono i vettori componenti, vettore è il vettore risultante.

Regola del parallelogramma per la somma di due vettori:

1. Disegniamo un vettore .

2. Disegniamo un vettore in modo che il suo inizio coincida con l'inizio del vettore ; l'angolo tra i vettori è uguale a (Guarda l'immagine).

3. Fino alla fine del vettore .

4. Fino alla fine del vettore traccia una linea retta parallela al vettore .

Abbiamo costruito un parallelogramma. I lati di questo parallelogramma sono i vettori componenti E .

5. Disegna la diagonale del parallelogramma dal punto comune di origine del vettore e l'inizio del vettore .

6. Modulo del vettore risultante è uguale alla lunghezza della diagonale del parallelogramma ed è determinata dalla formula:

inizio del vettore coincide con l'inizio del vettore e l'inizio del vettore (direzione del vettore mostrato in figura).

Regola del triangolo per sommare due vettori:

1. Disegniamo i vettori componenti E in modo che l'inizio del vettore coincide con la fine del vettore . In questo caso, l'angolo tra i vettori è uguale a .

2. Vettore risultante è diretto in modo che la sua origine coincida con l'origine del vettore e la fine coincide con la fine del vettore .

3. Il modulo del vettore risultante si trova dalla formula:

2.2.3 Sottrazione vettoriale

La sottrazione di vettori è l'inverso dell'addizione:

Regola del parallelogramma.

Lati di un parallelogramma - vettore e vettore - ; Diagonale del parallelogramma - vettore differenza
.

Regola del triangolo.

Vettore di differenza collega la fine del vettore e la fine del vettore (inizio del vettore coincide con la fine del vettore ).

2.2.4 Moltiplicazione di un vettore per uno scalare

Sia il vettore dato e scalare. Troviamo il prodotto del vettore e vettore scalare.

Come risultato della moltiplicazione di un vettore per uno scalare, otteniamo un nuovo vettore :

Direzione del vettore stessa direzione del vettore A
.

Direzione del vettore opposta alla direzione del vettore A
.

Modulo vettoriale n volte maggiore del modulo del vettore , Se
.

2.3. Prodotto punto e croce

2.3.1 Prodotto scalare

Da due vettori E puoi formare uno scalare secondo la regola:

Questa espressione è chiamata prodotto scalare di vettori E
, O
.

Quindi, . =
.

Per definizione, un prodotto scalare ha le seguenti proprietà:

1)
,

2)
,

2.3.2 Prodotto incrociato

Da due vettori
E
puoi formare un nuovo vettore:

, Dove

Il modulo del nuovo vettore risultante si trova dalla formula:

Questa operazione è chiamata prodotto incrociato di vettori E ed è indicato da uno dei simboli
O
.

Anche la formula è ben nota

Dove - angolo tra i vettori E .

Vettore- un segmento di linea diretta, cioè un segmento per il quale è indicato quale dei suoi punti di confine è l'inizio e quale è la fine.

Vettore che inizia in un punto A (\displaystyle A) e terminare in un punto B (\displaystyle B) solitamente indicato come . I vettori possono anche essere indicati in piccole lettere latine con una freccia (a volte un trattino) sopra, ad esempio. Un altro modo comune di scrivere è evidenziare il simbolo del vettore in grassetto: un (\displaystyle \mathbf (a) ).

Un vettore in geometria viene naturalmente paragonato alla traslazione (traslazione parallela), il che chiarisce ovviamente l'origine del suo nome (lat. vettore, vettore). Quindi, ogni segmento diretto definisce in modo univoco un trasferimento parallelo di piano o spazio: diciamo, un vettore A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) determina naturalmente la traduzione in cui si trova il punto A (\displaystyle A) andrà al punto B (\displaystyle B), anche viceversa, trasferimento parallelo, in cui A (\displaystyle A) entra B (\displaystyle B), definisce un singolo segmento diretto A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))(l'unico è se consideriamo uguali tutti i segmenti diretti della stessa direzione e, cioè, li consideriamo come; infatti, con la traslazione parallela, tutti i punti vengono spostati nella stessa direzione della stessa distanza, quindi in questa comprensione A 1 B 1 → = A 2 B 2 → = A 3 B 3 → = … (\displaystyle (\overrightarrow (A_(1)B_(1)))=(\overrightarrow (A_(2)B_(2)) )=(\overrightarrow (A_(3)B_(3)))=\dots )).

L'interpretazione di un vettore come trasferimento ci consente di introdurre un'operazione in modo naturale e intuitivamente ovvio - come una composizione (applicazione sequenziale) di due (o più) trasferimenti; lo stesso vale per l'operazione di moltiplicazione di un vettore per un numero.

Concetti basilari

Un vettore è un segmento orientato costituito da due punti, uno dei quali è considerato l'inizio e l'altro la fine.

Le coordinate di un vettore sono definite come la differenza tra le coordinate dei suoi punti iniziale e finale. Ad esempio, su un piano di coordinate, se vengono fornite le coordinate iniziale e finale: T 1 = (x 1 , y 1) (\displaystyle T_(1)=(x_(1),y_(1))) E T 2 = (x 2 , y 2) (\displaystyle T_(2)=(x_(2),y_(2))), allora le coordinate del vettore saranno: V → = T 2 − T 1 = (x 2 , y 2) − (x 1 , y 1) = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) (\displaystyle (\overrightarrow (V))=T_ (2)-T_(1)=(x_(2),y_(2))-(x_(1),y_(1))=(x_(2)-x_(1),y_(2)-y_ (1))).

Lunghezza del vettore V → (\displaystyle (\overrightarrow (V)))è la distanza tra due punti T1 (\displaystyle T_(1)) E T2 (\displaystyle T_(2)), di solito è indicato | V → | = | T2 − T1 | = | (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) | = (x 2 − x 1) 2 + (y 2 − y 1) 2 (\displaystyle |(\overrightarrow (V))|=|T_(2)-T_(1)|=|(x_(2)- x_(1),y_(2)-y_(1))|=(\sqrt ((x_(2)-x_(1))^(2)+(y_(2)-y_(1))^( 2))))

Il ruolo dello zero tra i vettori è svolto dal vettore zero, il cui inizio e fine coincidono T1 = T2 (\displaystyle T_(1)=T_(2)); ad esso, a differenza di altri vettori, non è assegnata alcuna direzione.

Per la rappresentazione coordinata dei vettori, il concetto è di grande importanza proiezione del vettore sull'asse(retta direzionale, vedi figura). Una proiezione è la lunghezza di un segmento formato dalle proiezioni dei punti iniziale e finale di un vettore su una determinata linea, e alla proiezione viene assegnato un segno più se la direzione della proiezione corrisponde alla direzione dell'asse, altrimenti - un segno meno. La proiezione è uguale alla lunghezza del vettore originale moltiplicata per il coseno dell'angolo compreso tra il vettore originale e l'asse; la proiezione di un vettore sull'asse perpendicolare ad esso è zero.

Applicazioni

I vettori sono ampiamente utilizzati in geometria e nelle scienze applicate, dove vengono utilizzati per rappresentare quantità che hanno una direzione (forze, velocità, ecc.). L'uso dei vettori semplifica una serie di operazioni, ad esempio la determinazione degli angoli tra linee rette o segmenti, il calcolo delle aree delle figure. Nella computer grafica, i vettori normali vengono utilizzati per creare la corretta illuminazione per il corpo. L'uso dei vettori può essere utilizzato come base per il metodo delle coordinate.

Tipi di vettori

A volte, invece di considerare un insieme di vettori tutti segmenti diretti (considerando distinti tutti i segmenti diretti il cui inizio e fine non coincidono), subiscono solo qualche modifica di questo insieme (insieme di fattori), cioè alcuni segmenti diretti sono considerati uguali se hanno la stessa direzione e lunghezza, sebbene possono avere inizio (e fine) diversi, ovvero si ritiene che segmenti diretti della stessa lunghezza e direzione rappresentino lo stesso vettore; Pertanto, ogni vettore risulta avere un'intera classe corrispondente di segmenti diretti, identici in lunghezza e direzione, ma diversi nell'inizio (e nella fine).

Sì, ne parlano "gratuito", "scorrevole" E vettori "fissi".. Questi tipi differiscono nel concetto di uguaglianza di due vettori.

Quando si parla di vettori liberi, si identificano tutti i vettori che hanno la stessa direzione e lunghezza;
parlando di vettori di scorrimento, aggiungono che le origini di vettori di scorrimento uguali devono coincidere o giacere sulla stessa retta su cui giacciono i segmenti diretti che rappresentano questi vettori (affinché l'uno possa combinarsi con un altro movimento nella direzione da essa specificata);
parlando di vettori fissi, dicono che sono considerati uguali solo i vettori le cui direzioni e origini coincidono (cioè in questo caso non c'è fattorizzazione: non esistono due vettori fissi con origini diverse che sarebbero considerati uguali).

Formalmente:

Dicono che vettori liberi A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) e sono uguali se ci sono punti E (\displaystyle E) E F (\displaystyle F) tali che i quadrilateri A B F E (\displaystyle ABFE) E C D F E (\displaystyle CDFE)- parallelogrammi.

Dicono che vettori scorrevoli A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) E C D → (\displaystyle \ (\overrightarrow (CD))) sono uguali se

I vettori scorrevoli sono utilizzati soprattutto in meccanica. L'esempio più semplice di vettore scorrevole in meccanica è una forza che agisce su un corpo rigido. Spostando l'origine del vettore forza lungo la retta su cui giace non cambia il momento della forza relativo ad alcun punto; trasferendolo su un'altra retta, anche se non si cambia grandezza e direzione del vettore, può provocare una variazione del suo momento (anche quasi sempre lo farà): quindi, nel calcolo del momento, la forza non può essere considerata come una forza libera vettore, cioè non può essere considerato applicato ad un punto arbitrario di un corpo rigido.

Dicono che vettori fissi A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) E C D → (\displaystyle \ (\overrightarrow (CD))) sono uguali se i punti coincidono a coppie A (\displaystyle A) E C (\displaystyle C), B (\displaystyle B) E D (\displaystyle D).

Un vettore in un caso è un segmento orientato e, in altri casi, vettori diversi sono classi di equivalenza diverse di segmenti orientati, determinate da una specifica relazione di equivalenza. Inoltre, la relazione di equivalenza può essere diversa, determinando il tipo di vettore (“libero”, “fisso”, ecc.). In poche parole, all'interno di una classe di equivalenza, tutti i segmenti diretti inclusi in essa sono trattati come completamente uguali e ciascuno può rappresentare equamente l'intera classe.

Tutte le operazioni sui vettori (addizione, moltiplicazione per un numero, prodotti scalari e vettoriali, calcolo del modulo o della lunghezza, angolo tra vettori, ecc.) sono, in linea di principio, definite in modo identico per tutti i tipi di vettori, la differenza di tipo è ridotta; a questo proposito solo per quelli mobili e fissi, viene imposta una restrizione sulla possibilità di eseguire operazioni tra due vettori che hanno inizi diversi (ad esempio, per due vettori fissi, l'addizione è vietata - o non ha senso - se i loro inizi sono diverso; tuttavia, per tutti i casi in cui questa operazione è consentita - o ha un significato - è la stessa che per i vettori liberi). Pertanto, spesso il tipo di vettore non è affatto dichiarato esplicitamente; si presume che sia ovvio dal contesto. Inoltre, a seconda del contesto del problema, lo stesso vettore può essere considerato fisso, scorrevole o libero; ad esempio, in meccanica, i vettori delle forze applicate ad un corpo possono essere sommati indipendentemente dal punto di applicazione nel trovare la risultante; (sia in statica che in dinamica quando si studia il movimento del baricentro, variazioni della quantità di moto, ecc.), ma non possono essere sommati tra loro senza tener conto dei punti di applicazione nel calcolo della coppia (anche in statica e dinamica) .

Relazioni tra vettori

Rappresentazione delle coordinate

Quando si lavora con i vettori, viene spesso introdotto un certo sistema di coordinate cartesiane e in esso vengono determinate le coordinate del vettore, scomponendolo in vettori base. Espansione delle basi può essere rappresentato geometricamente utilizzando proiezioni vettoriali sugli assi coordinati. Se si conoscono le coordinate dell'inizio e della fine del vettore, le coordinate del vettore stesso si ottengono sottraendo le coordinate del suo inizio dalle coordinate della fine del vettore.

A B → = (A B x , A B y , A B z) = (B x − A x , B y − A y , B z − A z) (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(AB_(x), AB_(y),AB_(z))=(B_(x)-A_(x),B_(y)-A_(y),B_(z)-A_(z)))

I vettori delle coordinate, indicati con i → , j → , k → (\displaystyle (\vec (i)),(\vec (j)),(\vec (k))), corrispondente agli assi x , y , z (\displaystyle x,y,z). Poi il vettore a → (\displaystyle (\vec (a))) può essere scritto come

a → = a x i → + a y j → + a z k → (\displaystyle (\vec (a))=a_(x)(\vec (i))+a_(y)(\vec (j))+a_(z) (\vec(k)))

Qualsiasi proprietà geometrica può essere scritta in coordinate, dopodiché lo studio da geometrico diventa algebrico e spesso viene semplificato. Il contrario, in generale, non è del tutto vero: di solito si è soliti dire che solo quelle relazioni che valgono in qualsiasi sistema di coordinate cartesiane hanno una “interpretazione geometrica”. invariante).

Operazioni sui vettori

Modulo vettoriale

Modulo vettoriale A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))è un numero uguale alla lunghezza del segmento A B (\displaystyle AB). Indicato come | A B → | (\displaystyle |(\overrightarrow (AB))|). Attraverso le coordinate si calcola come:

| un → | = a x 2 + a y 2 + a z 2 (\displaystyle |(\vec (a))|=(\sqrt (a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^( 2))))

Aggiunta di vettori

Nella rappresentazione delle coordinate, il vettore somma si ottiene sommando le coordinate corrispondenti dei termini:

a → + b → = (a x + b x , a y + b y , a z + b z) (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_ (y)+b_(y),a_(z)+b_(z)))

Costruire geometricamente il vettore somma c → = a → + b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))+(\vec (b))) utilizzare regole (metodi) diversi, ma danno tutti lo stesso risultato. L'uso dell'una o dell'altra regola è giustificato dalla risoluzione del problema.

Regola del triangolo

La regola del triangolo deriva nel modo più naturale dalla comprensione di un vettore come trasferimento. È chiaro che il risultato dell'applicazione sequenziale di due trasferimenti a → (\displaystyle (\vec (a))) e ad un certo punto equivarrà ad applicare un trasferimento alla volta corrispondente a questa regola. Per aggiungere due vettori a → (\displaystyle (\vec (a))) E b → (\displaystyle (\vec (b))) secondo la regola del triangolo, entrambi questi vettori vengono trasferiti parallelamente a se stessi in modo che l'inizio di uno di essi coincida con la fine dell'altro. Quindi il vettore somma è dato dal terzo lato del triangolo risultante, e il suo inizio coincide con l'inizio del primo vettore e la sua fine con la fine del secondo vettore.

Questa regola può essere generalizzata direttamente e naturalmente all'aggiunta di un numero qualsiasi di vettori, trasformandosi in regola della linea spezzata:

Regola dei tre punti

Se il segmento A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) raffigura il vettore a → (\displaystyle (\vec (a))) e il segmento B C → (\displaystyle (\overrightarrow (BC))) raffigura il vettore b → (\displaystyle (\vec (b))), quindi il segmento A C → (\displaystyle (\overrightarrow (AC))) raffigura il vettore a → + b → (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))) .

Regola del poligono

L'inizio del secondo vettore coincide con la fine del primo, l'inizio del terzo con la fine del secondo e così via, la somma n (\displaystyle n) vettori è un vettore, con l'inizio che coincide con l'inizio del primo e la fine che coincide con la fine n (\displaystyle n)-esimo (cioè rappresentato da un segmento diretto che chiude la polilinea). Chiamata anche regola della linea spezzata.

Regola del parallelogramma

Per aggiungere due vettori a → (\displaystyle (\vec (a))) E b → (\displaystyle (\vec (b))) Secondo la regola del parallelogramma, entrambi questi vettori vengono trasferiti parallelamente a se stessi in modo che le loro origini coincidano. Allora il vettore somma è dato dalla diagonale del parallelogramma costruito su di essi, a partire dalla loro origine comune. (È facile vedere che questa diagonale coincide con il terzo lato del triangolo quando si usa la regola del triangolo).

La regola del parallelogramma è particolarmente utile quando è necessario rappresentare il vettore somma come immediatamente applicato allo stesso punto a cui vengono applicati entrambi i termini, ovvero rappresentare tutti e tre i vettori come aventi un'origine comune.

Modulo somma vettoriale

Modulo della somma di due vettori può essere calcolato utilizzando il teorema del coseno:

| a → + b → | 2 = | un → | 2 + | b → | 2 + 2 | un → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) (\displaystyle |(\vec (a))+(\vec (b))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+|( \vec (b))|^(2)+2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b))) ), Dove a → (\displaystyle (\vec (a))) E b → (\displaystyle (\vec (b))).

Se i vettori sono rappresentati secondo la regola del triangolo e l'angolo è preso secondo il disegno - tra i lati del triangolo - che non coincide con la consueta definizione dell'angolo tra vettori, e quindi con l'angolo sopra formula, allora l'ultimo termine acquisisce un segno meno, che corrisponde al teorema del coseno nella sua formulazione diretta.

Per la somma di un numero arbitrario di vettoriè applicabile una formula simile, in cui ci sono più termini con coseno: esiste uno di questi termini per ogni coppia di vettori dell'insieme sommato. Ad esempio, per tre vettori la formula è simile a questa:

| a → + b → + c → | 2 = | un → | 2 + | b → | 2 + | c → | 2 + 2 | un → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) + 2 | un → | | c → | cos ⁡ (a → , c →) + 2 | b → | | c → | cos ⁡ (b → , c →) . (\displaystyle |(\vec (a))+(\vec (b))+(\vec (c))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+|(\ vec (b))|^(2)+|(\vec (c))|^(2)+2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b)))+2|(\vec (a))||(\vec (c))|\cos((\vec (a)),(\vec (c) ))+2|(\vec (b))||(\vec (c))|\cos((\vec (b)),(\vec (c))).)

Sottrazione vettoriale

Due vettori a → , b → (\displaystyle (\vec (a)),(\vec (b))) e il vettore della loro differenza

Per ottenere la differenza nella forma delle coordinate, è necessario sottrarre le coordinate corrispondenti dei vettori:

a → − b → = (a X − b x , a y − b y , a z − b z) (\displaystyle (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_ (y)-b_(y),a_(z)-b_(z)))

Per ottenere il vettore differenza c → = a → − b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b))) gli inizi dei vettori sono collegati dall'inizio del vettore c → (\displaystyle (\vec (c))) ci sarà una fine b → (\displaystyle (\vec (b))) e la fine è la fine a → (\displaystyle (\vec (a))). Se scriviamo usando i punti vettoriali, allora A C → − A B → = B C → (\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).

Modulo Differenza vettoriale

Tre vettori a → , b → , a → − b → (\displaystyle (\vec (a)),(\vec (b)),(\vec (a))-(\vec (b))), come per l'addizione, forma un triangolo e l'espressione per il modulo differenza è simile:

| a → − b → | 2 = | un → | 2 + | b → | 2 - 2 | un → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) , (\displaystyle |(\vec (a))-(\vec (b))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+| (\vec (b))|^(2)-2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b)) ),)

Dove cos ⁡ (a → , b →) (\displaystyle \cos((\vec (a)),(\vec (b))))- coseno dell'angolo tra i vettori a → (\displaystyle (\vec (a))) E b → . (\displaystyle (\vec (b)).)

La differenza rispetto alla formula per il modulo della somma sta nel segno davanti al coseno, in questo caso è necessario monitorare attentamente quale angolo viene preso (la versione della formula per il modulo della somma con l'angolo compreso); i lati di un triangolo quando si somma secondo la regola del triangolo non differisce nella forma da questa formula per il modulo della differenza, ma è necessario notare che qui vengono presi angoli diversi: nel caso di una somma, l'angolo è preso quando il vettore b → (\displaystyle (\vec (b))) viene portato alla fine del vettore a → (\displaystyle (\vec (a))), quando si ricerca il modulo della differenza, si prende l'angolo tra i vettori applicati ad un punto; espressione per il modulo della somma che utilizza lo stesso angolo di questa espressione per il modulo della differenza, differisce nel segno davanti al coseno).