Momento della quantità di moto di un punto rispetto ad un asse. Il momento della quantità di moto di un punto materiale rispetto al centro e all'asse. Momento cinetico di un punto e di un sistema meccanico

La derivata prima del momento angolare di un punto rispetto a un centro qualsiasi è uguale al momento della forza rispetto allo stesso centro:

Proiettando la (171) sugli assi di coordinate cartesiane rettangolari, otteniamo teoremi sulla variazione del momento angolare di un punto rispetto a questi assi di coordinate:

,
,
. (171")

Teorema sulla variazione del momento angolare di un sistema

La derivata prima temporale del momento angolare di un sistema rispetto a un punto qualsiasi è uguale alla somma vettoriale dei momenti delle forze esterne agenti sul sistema rispetto allo stesso punto.

, (172)

Dove
– il momento principale di tutte le forze esterne del sistema.

Proiettando (172) sugli assi di coordinate cartesiane rettangolari, otteniamo teoremi sulla variazione del momento angolare del sistema rispetto a questi assi di coordinate, vale a dire

,
,
. (172")

Leggi di conservazione dei momenti cinetici

1. Se il momento principale delle forze esterne del sistema rispetto al punto è uguale a zero, cioè
, quindi, secondo la (79), il momento angolare del sistema
rispetto allo stesso punto è costante in grandezza e direzione, cioè

. (173)

Questo caso particolare del teorema sulla variazione del momento angolare di un sistema si chiama legge di conservazione del momento angolare. Nelle proiezioni su assi di coordinate cartesiane rettangolari secondo questa legge

,
,
,

Dove ,,– valori costanti.

2. Se la somma dei momenti di tutte le forze esterne del sistema rispetto all'asse
è uguale a zero, cioè
, allora da (172") segue che

. (174)

Quindi, il momento cinetico del sistema rispetto a qualsiasi asse di coordinate è costante se la somma dei momenti delle forze esterne rispetto a questo asse è zero, che, in particolare, si osserva quando le forze esterne sono parallele all'asse o lo intersecano. Nel caso particolare di un corpo o sistema di corpi che possono ruotare tutti attorno ad un asse fisso, e se contemporaneamente

,

, O
, (175)

Dove E – momento di inerzia di un sistema di corpi e la loro velocità angolare rispetto all'asse di rotazione in un momento arbitrario nel tempo ;E – il momento d'inerzia dei corpi e la loro velocità angolare nell'istante scelto come iniziale.

Equazione differenziale per la rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso

Dal teorema sulla variazione del momento angolare (172") segue l'equazione differenziale per la rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso
:

, (176)

Dove – angolo di rotazione del corpo.

Nel caso generale, l'equazione differenziale per il movimento rotatorio di un corpo rigido ci consente di risolvere due problemi principali: da una data rotazione del corpo, determinare la coppia delle forze esterne, e da un dato momento di rotazione e condizioni iniziali, trovare la rotazione del corpo. Nel risolvere il secondo problema, per trovare l'angolo di rotazione, è necessario integrare l'equazione differenziale del moto rotatorio. I metodi per la sua integrazione sono del tutto simili ai metodi considerati per l'integrazione dell'equazione differenziale del moto rettilineo di un punto.

Teorema sulla variazione del momento angolare di un sistema in moto relativo rispetto al centro di massa

Lascia che il sistema meccanico si muova rispetto al sistema di coordinate principale
. Prendiamo un sistema di coordinate in movimento
con origine nel centro di massa del sistema , muovendosi traslativamente rispetto al sistema di coordinate principale. Puoi dimostrare la validità della formula:

Dove – velocità assoluta del centro di massa,
.

Grandezza
è il momento cinetico del sistema rispetto al centro di massa per il movimento relativo rispetto a un sistema di coordinate che si muove traslativamente insieme al centro di massa, cioè il sistema
.

La formula (176) lo dimostra momento angolare del moto assoluto di un sistema rispetto ad un punto fisso è uguale alla somma vettoriale del momento angolare del centro di massa rispetto allo stesso punto, se tutta la massa del sistema fosse concentrata nel centro di massa, e del momento angolare del sistema rispetto al centro di massa per il movimento relativo del sistema rispetto al sistema di coordinate in movimento che si muove traslatoriamente con il centro di massa.

Teorema sulla variazione del momento angolare di un sistema rispetto al centro di massa per moto relativo sistema in relazione ad un sistema di coordinate che si muove traslativamente con il centro di massa; è formulato come se il centro di massa fosse un punto fisso:

O
, (178)

Dove
è il momento principale di tutte le forze esterne rispetto al centro di massa.

Teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema

Il concetto di forza-impulso ci permette di formulare un teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema per sistemi arbitrari:

dove è l'impulso iniziale ed è l'impulso finale di un sistema isolato che interagisce con altri sistemi solo attraverso forze. Infatti, in questa formulazione la legge di conservazione della quantità di moto equivale alla seconda legge di Newton ed è la sua integrale nel tempo, poiché

Teorema sulla variazione del momento angolare (momento angolare) di un punto materiale

Considera un punto materiale M massa M , muovendosi sotto l'influenza della forza F (Figura 3.1). Scriviamo e costruiamo il vettore del momento angolare (momento cinetico) M 0 punto materiale rispetto al centro O :

Figura 3.1

Differenziamo l'espressione del momento angolare (momento cinetico K 0) per ora:

Perché dottor /dt = V , quindi il prodotto vettoriale V ⊗ m⋅V (vettori collineari V E m⋅V ) è uguale a zero. Allo stesso tempo d(m⋅V) /dt = F secondo il teorema sulla quantità di moto di un punto materiale. Quindi lo capiamo

non so 0 /dt = R ⊗F , (3.3)

Dove R ⊗F = M 0 (F) – vettore momento della forza F rispetto ad un centro fisso O . Vettore K 0 ⊥ piano ( R,M ⊗V ) e il vettore M 0 (F) ⊥ aereo ( R ,F ), finalmente abbiamo

non so 0 /dt = M 0 (F) . (3.4)

L'equazione (3.4) esprime il teorema sulla variazione del momento angolare (momento cinetico) di un punto materiale rispetto al centro: la derivata temporale del momento della quantità di moto (momento cinetico) di un punto materiale rispetto a un qualsiasi centro fisso è uguale al momento della forza agente sul punto rispetto allo stesso centro.

Proiettando l'uguaglianza (3.4) sugli assi delle coordinate cartesiane, si ottiene

dk x /dt = Mx(F); non so sì /dt = M y(F); dk z /dt = Mz(F) . (3.5)

Le uguaglianze (3.5) esprimono il teorema sulla variazione del momento angolare (momento cinetico) di un punto materiale rispetto all'asse: la derivata temporale del momento della quantità di moto (momento cinetico) di un punto materiale rispetto a qualsiasi asse fisso è uguale al momento della forza che agisce su questo punto rispetto allo stesso asse.

Consideriamo le conseguenze derivanti dai Teoremi (3.4) e (3.5).

Corollario 1. Consideriamo il caso in cui la forza F durante l'intero movimento il punto passa per il centro stazionario O (caso di forza centrale), cioè Quando M 0 (F) = 0. Allora dal Teorema (3.4) segue che K 0 = cost ,

quelli. nel caso di una forza centrale, il momento angolare (momento cinetico) di un punto materiale rispetto al centro di questa forza rimane costante in grandezza e direzione (Figura 3.2).

Figura 3.2

Dalla condizione K 0 = cost ne consegue che la traiettoria di un punto in movimento è una curva piana, il cui piano passa per il centro di questa forza.

Corollario 2. Permettere Mz(F) = 0, cioè la forza attraversa l'asse z o parallelo ad esso. In questo caso, come si può vedere dalla terza delle equazioni (3.5), k z = cost ,

quelli. se il momento della forza che agisce su un punto rispetto a un qualsiasi asse fisso è sempre zero, allora il momento angolare (momento cinetico) del punto rispetto a questo asse rimane costante.

La direzione e l'entità del momento della quantità di moto vengono determinate esattamente come nel caso della stima del momento della forza (sezione 1.2.2).

Allo stesso tempo definiamo ( principale) momento angolare come somma vettoriale dei momenti del numero di movimenti dei punti del sistema in esame. Ha anche un secondo nome: momento cinetico :

Troviamo la derivata temporale dell'espressione (3.40), utilizzando le regole per differenziare il prodotto di due funzioni, e anche il fatto che la derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate (cioè il segno della somma può essere spostato come coefficiente durante la differenziazione):

.

Teniamo conto delle ovvie uguaglianze cinematiche: . Poi: . Usiamo l'equazione media dalle formule (3.26) , e anche il fatto che il prodotto vettoriale di due vettori collineari ( e ) è uguale a zero, otteniamo:

Applicando la proprietà delle forze interne (3.36) al 2° termine, otteniamo un'espressione per il teorema sulla variazione del momento principale della quantità di moto di un sistema meccanico:

.

(3.42)

La derivata temporale del momento cinetico è uguale alla somma dei momenti di tutte le forze esterne agenti nel sistema.

Questa formulazione è spesso chiamata brevemente: teorema del momento .

Va notato che il teorema dei momenti è formulato in un sistema di riferimento fisso rispetto ad un certo centro fisso O. Se un corpo rigido è considerato come un sistema meccanico, allora è conveniente scegliere il centro O sull'asse di rotazione del corpo.

Va notata una proprietà importante del teorema del momento (la presentiamo senza derivazione). Il teorema dei momenti è vero anche in un sistema di riferimento in movimento traslatorio se si sceglie come centro il centro di massa (punto C) del corpo (sistema meccanico):

La formulazione del teorema in questo caso rimane praticamente la stessa.

Corollario 1

Sia il lato destro dell'espressione (3.42) uguale a zero =0, - il sistema è isolato. Quindi dall'equazione (3.42) segue che .

Per un sistema meccanico isolato, il vettore del momento cinetico del sistema non cambia né in direzione né in grandezza nel tempo.

Corollario 2

Se il lato destro di una qualsiasi delle espressioni (3.44) è uguale a zero, ad esempio, per l'asse Oz: =0 (sistema parzialmente isolato), allora dalle equazioni (3.44) segue: =const.

Di conseguenza, se la somma dei momenti delle forze esterne rispetto a qualsiasi asse è zero, il momento cinetico assiale del sistema lungo questo asse non cambia nel tempo.

Le formulazioni riportate sopra nei corollari sono le espressioni legge di conservazione del momento angolare nei sistemi isolati .

Momento di un corpo rigido

Consideriamo un caso speciale: la rotazione di un corpo rigido attorno all'asse Oz (Fig. 3.4).

Fig.3.4

Punto su un corpo separato dall'asse di rotazione da una distanza H k, ruota su un piano parallelo a Oxy con una velocità di . In accordo con la definizione del momento assiale, utilizziamo l'espressione (1.19), sostituendo la proiezione F Forza XY su questo piano in base alla quantità di movimento del punto . Stimiamo il momento cinetico assiale del corpo:

Secondo il teorema di Pitagora , pertanto la (3.46) può essere scritta come segue:

(3.47)

Allora l’espressione (3.45) assumerà la forma:

(3.48)

Se utilizziamo la legge di conservazione del momento angolare per un sistema parzialmente isolato (Corollario 2) rispetto ad un corpo solido (3.48), otteniamo . In questo caso puoi considerare due opzioni:

DOMANDE PER L'AUTOCONTROLLO

1. Come viene determinato il momento angolare di un corpo rigido rotante?

2. In cosa differisce il momento d'inerzia assiale dal momento cinetico assiale?

3. Come cambia nel tempo la velocità di rotazione di un corpo rigido in assenza di forze esterne?

Momento assiale d'inerzia di un corpo rigido

Come vedremo in seguito, il momento d'inerzia assiale di un corpo ha per il moto rotatorio di un corpo lo stesso significato che ha la massa di un corpo durante il suo moto traslatorio. Questa è una delle caratteristiche più importanti del corpo, determinando l'inerzia del corpo durante la sua rotazione. Come si vede dalla definizione (3.45), si tratta di una quantità scalare positiva, che dipende dalle masse dei punti del sistema, ma in misura maggiore dalla distanza dei punti dall'asse di rotazione.

Per corpi solidi omogenei di forma semplice, il valore del momento d'inerzia assiale, come nel caso della stima della posizione del centro di massa (3.8), si calcola con il metodo dell'integrazione, utilizzando al posto della massa di un volume elementare una massa discreta dm=ρdV:

(3.49)

Per riferimento, presentiamo i valori dei momenti di inerzia per alcuni corpi semplici:

M e lunghezza l rispetto all'asse passante perpendicolare all'asta attraverso il suo centro (Fig. 3.5).

Fig.3.5

Il momento di inerzia di un'asta sottile omogenea con una massa M e lunghezza l rispetto all'asse passante perpendicolare all'asta attraverso la sua estremità (Fig. 3.6).

Fig.3.6

Momento d'inerzia di un anello sottile ed omogeneo di massa M e raggio R rispetto all'asse passante per il suo centro perpendicolare al piano dell'anello (Fig. 3.7).

Fig.3.7

Il momento di inerzia di un disco sottile omogeneo con una massa M e raggio R rispetto all'asse passante per il suo centro perpendicolare al piano del disco (Fig. 3.7).

Fig.3.8

· Momento d'inerzia di un corpo di forma arbitraria.

Per corpi di forma arbitraria, il momento di inerzia si scrive nella forma seguente:

Dove ρ - cosiddetto raggio di rotazione corpo, o il raggio di un certo anello convenzionale con massa M, il cui momento d'inerzia assiale è uguale al momento d'inerzia del corpo dato.

Teorema di Huygens-Steiner

Fig.3.9

Associamo al corpo due sistemi di coordinate paralleli. Il primo Cx"y"z", con origine nel centro di massa, è detto centrale, e il secondo Oxyz, con centro O, giacente sull'asse Cx" a distanza CO = D(Fig. 3.9). È facile stabilire connessioni tra le coordinate dei punti del corpo in questi sistemi:

Secondo la formula (3.47), il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse Oz:

Qui i fattori 2 sono costanti per tutti i termini della 2a e 3a somma del membro di destra D E D prelevato dagli importi corrispondenti. La somma delle masse nel terzo termine è la massa corporea. La seconda somma, secondo la (3.7), determina la coordinata del centro di massa C sull'asse Cx" (), e l'uguaglianza è ovvia: . Tenendo conto che il 1° termine, per definizione, è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse centrale Cz" (o Z C ) , otteniamo la formulazione del teorema di Huygens - Steiner:

(3.50)

Il momento di inerzia di un corpo rispetto a un determinato asse è uguale alla somma del momento di inerzia del corpo rispetto a un asse centrale parallelo e il prodotto della massa del corpo per il quadrato della distanza tra questi assi.

DOMANDE PER L'AUTOCONTROLLO

1. Fornire le formule per i momenti di inerzia assiale di un'asta, un anello, un disco.

2. Trova il raggio di rotazione di un cilindro solido rotondo rispetto al suo asse centrale.

Per un punto materiale, la legge fondamentale della dinamica può essere rappresentata come

Moltiplicando vettorialmente entrambi i lati di questa relazione a sinistra per il raggio vettore (Fig. 3.9), otteniamo

(3.32)

Sul lato destro di questa formula abbiamo il momento della forza relativo al punto O. Trasformiamo il lato sinistro applicando la formula per la derivata di un prodotto vettoriale

Ma come prodotto vettoriale di vettori paralleli. Dopo questo otteniamo

(3.33)

La derivata prima rispetto al tempo del momento della quantità di moto di un punto rispetto a un qualsiasi centro è uguale al momento della forza rispetto allo stesso centro.

Esempio di calcolo del momento angolare di un sistema. Calcolare il momento cinetico relativo al punto O di un sistema costituito da un albero cilindrico di massa M = 20 kg e raggio R = 0,5 m e un carico discendente di massa m = 60 kg (Figura 3.12). L'albero ruota attorno all'asse Oz con una velocità angolare ω = 10 s -1.

Figura 3.12

; ;

Per dati di input, il momento angolare del sistema

Teorema sulla variazione del momento angolare di un sistema. Applichiamo le forze esterne ed interne risultanti a ciascun punto del sistema. Per ogni punto del sistema si può applicare il teorema sulla variazione del momento angolare, ad esempio nella forma (3.33)

Sommando su tutti i punti del sistema e tenendo conto che la somma delle derivate è uguale alla derivata della somma, otteniamo

Determinando il momento cinetico del sistema e le proprietà delle forze esterne ed interne

Pertanto, la relazione risultante può essere rappresentata come

La derivata prima temporale del momento angolare di un sistema rispetto a un punto qualsiasi è uguale al momento principale delle forze esterne agenti sul sistema rispetto allo stesso punto.

3.3.5. Lavoro di forza

1) Il lavoro elementare di una forza è pari al prodotto scalare della forza per il raggio differenziale del vettore del punto di applicazione della forza (Fig. 3.13)

Figura 3.13

L'espressione (3.36) può essere scritta anche nelle seguenti forme equivalenti

dove è la proiezione della forza nella direzione della velocità del punto di applicazione della forza.

2) Lavoro della forza sullo spostamento finale

Integrando il lavoro elementare della forza, otteniamo le seguenti espressioni per il lavoro della forza sullo spostamento finale dal punto A al punto B

3) Lavoro di forza costante

Se la forza è costante, segue dalla (3.38).

Il lavoro di una forza costante non dipende dalla forma della traiettoria, ma dipende solo dal vettore spostamento del punto di applicazione della forza.

4) Lavoro della forza peso

Per la forza peso (Fig. 3.14) e dalla (3.39) otteniamo

Figura 3.14

Se il movimento avviene dal punto B al punto A, allora

Generalmente

Il segno “+” corrisponde al movimento verso il basso del punto di applicazione della forza, il segno “-” verso l'alto.

4) Lavoro della forza elastica

Lasciamo che l'asse della molla sia diretto lungo l'asse x (Fig. 3.15), e l'estremità della molla si muova dal punto 1 al punto 2, quindi da (3.38) otteniamo

Se la rigidità della molla lo è Con, allora

UN (3.41)

Se l'estremità della molla si sposta dal punto 0 al punto 1, in questa espressione sostituiamo , , quindi il lavoro della forza elastica assumerà la forma

(3.42)

dov'è l'allungamento della molla.

Figura 3.15

5) Il lavoro della forza applicata ad un corpo rotante. Il lavoro del momento.

Nella fig. La Figura 3.16 mostra un corpo rotante a cui viene applicata una forza arbitraria. Durante la rotazione, il punto di applicazione di questa forza si muove in un cerchio.

Dinamica:
Dinamica di un punto materiale
§ 28. Teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto materiale. Teorema sulla variazione del momento angolare di un punto materiale

Problemi con soluzioni

28.1 Un convoglio ferroviario si muove lungo un tratto di binario orizzontale e rettilineo. In frenata si sviluppa una forza di resistenza pari a 0,1 del peso del treno. Al momento della frenata la velocità del treno è di 20 m/s. Trova il tempo di frenata e lo spazio di frenata.
SOLUZIONE

28.2 Un corpo pesante senza velocità iniziale scende lungo un piano inclinato scabro che forma un angolo α=30° con l'orizzonte. Determina quanto tempo impiegherà T il corpo a percorrere un percorso di lunghezza l=39,2 m se il coefficiente di attrito f=0,2.
SOLUZIONE

28.3 Un treno di massa 4*10^5 kg effettua una salita i=tg α=0,006 (dove α è l'angolo di salita) ad una velocità di 15 m/s. Il coefficiente di attrito (coefficiente di resistenza totale) quando il treno si muove è 0,005. 50 s dopo che il treno è entrato in salita, la sua velocità scende a 12,5 m/s. Trova la forza di trazione della locomotiva diesel.
SOLUZIONE

28.4 Un peso M è fissato all'estremità di un filo inestensibile MOA, parte del quale OA è fatto passare attraverso un tubo verticale; il peso si muove attorno all'asse del tubo lungo una circonferenza di raggio MC=R, compiendo 120 giri al minuto. Infilando lentamente il filo OA nel tubo, accorciare la parte esterna del filo alla lunghezza OM1, alla quale il peso descrive un cerchio con raggio R/2. Quante rivoluzioni al minuto fa il peso attorno a questo cerchio?
SOLUZIONE

28.5 Per determinare la massa di un treno carico, è stato installato un dinamometro tra le locomotive diesel e le carrozze. La lettura media del dinamometro per 2 minuti risultò essere 10^6 N. Nello stesso tempo, il treno ha acquisito una velocità di 16 m/s (all'inizio il treno si è fermato). Trova la massa della composizione se il coefficiente di attrito è f=0,02.
SOLUZIONE

28.6 Quale dovrebbe essere il coefficiente di attrito f delle ruote di un'auto frenata su strada, se a una velocità di guida v=20 m/s si ferma 6 s dopo l'inizio della frenata?
SOLUZIONE

28.7 Un proiettile di massa 20 g vola fuori dalla canna di un fucile ad una velocità v=650 m/s, attraversando la canna nel tempo t=0,00095 s. Determina la pressione media dei gas che espellono un proiettile se l'area della sezione trasversale del canale è σ=150 mm^2.
SOLUZIONE

28.8 Il punto M si muove attorno ad un centro fisso sotto l'influenza della forza di attrazione verso questo centro. Trovare la velocità v2 nel punto della traiettoria più lontano dal centro se la velocità del punto nella posizione più vicina ad esso è v1=30 cm/s e r2 è cinque volte maggiore di r1.
SOLUZIONE

28.9 Trovare l'impulso della risultante di tutte le forze agenti sul proiettile durante il tempo in cui il proiettile si sposta dalla posizione iniziale O alla posizione più alta M. Dati: v0=500 m/s; α0=60°; v1=200m/s; massa del proiettile 100 kg.
SOLUZIONE

28.10 Due asteroidi M1 e M2 descrivono la stessa ellisse, nel cui fuoco S si trova il Sole. La distanza tra loro è così piccola che l'arco M1M2 dell'ellisse può essere considerato un segmento di linea retta. È noto che la lunghezza dell'arco M1M2 era uguale ad a quando il suo centro era al perielio P. Assumendo che gli asteroidi si muovano con velocità settoriali uguali, determinare la lunghezza dell'arco M1M2 quando il suo centro passa per l'afelio A, se è noto che SP = R1 e SA =R2.
SOLUZIONE

28.11 Un ragazzo di massa 40 kg sta in piedi sui pattini di una slitta sportiva, la cui massa è di 20 kg, e spinge ogni secondo con un impulso di 20 N*s. Trovare la velocità acquisita dalla slitta in 15 s se il coefficiente di attrito è f=0,01.
SOLUZIONE

28.12 Un punto si muove uniformemente su una circonferenza con una velocità v=0,2 m/s, compiendo un giro completo nel tempo T=4 s. Trovare l'impulso S delle forze che agiscono sul punto durante un semiciclo, se la massa del punto è m=5 kg. Determinare il valore medio della forza F.
SOLUZIONE

28.13 Due pendoli matematici sospesi su fili di lunghezza l1 e l2 (l1>l2) oscillano con la stessa ampiezza. Entrambi i pendoli cominciarono simultaneamente a muoversi nella stessa direzione dalle loro posizioni estreme. Trovare la condizione che le lunghezze l1 e l2 devono soddisfare affinché i pendoli ritornino simultaneamente nella posizione di equilibrio dopo un certo periodo di tempo. Determinare l’intervallo di tempo più breve T.
SOLUZIONE

28.14 Una palla di massa m, legata ad un filo inestensibile, scivola lungo un piano orizzontale liscio; l'altra estremità del filo viene tirata a velocità costante in un foro praticato sull'aereo. Determinare il movimento della pallina e la tensione del filo T, se è noto che nel momento iniziale il filo si trova in linea retta, la distanza tra la pallina e il foro è uguale a R, e la proiezione della la velocità iniziale della pallina perpendicolare alla direzione del filo è uguale a v0.
SOLUZIONE

28.15 Determinare la massa M del Sole, avendo i seguenti dati: raggio della Terra R=6,37*106 m, densità media 5,5 t/m3, semiasse maggiore dell'orbita terrestre a=1,49*10^11 m, tempo di rivoluzione della Terra attorno al Sole T=365,25 giorni. La forza di gravitazione universale tra due masse pari a 1 kg distanti 1 m è considerata pari a gR2/m Í, dove m è la massa della Terra; Dalle leggi di Keplero segue che la forza di attrazione della Terra da parte del Sole è pari a 4π2a3m/(T2r2), dove r è la distanza della Terra dal Sole.
SOLUZIONE

28.16 Un punto di massa m, soggetto all'azione di una forza centrale F, descrive la lemniscata r2=a cos 2φ, dove a è un valore costante, r è la distanza del punto dal centro della forza; nell'istante iniziale r=r0 la velocità del punto è pari a v0 e forma un angolo α con la retta che collega il punto con il centro della forza. Determina l'entità della forza F, sapendo che dipende solo dalla distanza r. Dalla formula di Binet F =-(mc2/r2)(d2(1/r)/dφ2+1/r), dove c è la doppia velocità settoriale del punto.
SOLUZIONE

28.17 Un punto M, la cui massa è m, si muove vicino a un centro fisso O sotto l'influenza di una forza F emanante da questo centro e dipendente solo dalla distanza MO=r. Sapendo che la velocità del punto v=a/r, dove a è un valore costante, determinare l'entità della forza F e la traiettoria del punto.
SOLUZIONE

28.18 Determinare il movimento di un punto la cui massa è 1 kg sotto l'azione di una forza di attrazione centrale, inversamente proporzionale al cubo della distanza del punto dal baricentro, dati i seguenti dati: a una distanza di 1 m , la forza è 1 N. Nell'istante iniziale la distanza del punto dal baricentro è 2 m, la velocità v0=0,5 m/s e forma un angolo di 45° con la direzione della retta tracciata dal centro al punto.
SOLUZIONE

28.19 Una particella M di massa 1 kg è attratta verso un centro fisso O da una forza inversamente proporzionale alla quinta potenza della distanza. Questa forza è pari a 8 N alla distanza di 1 m. Nell'istante iniziale la particella si trova a una distanza OM0 = 2 m e ha una velocità perpendicolare a OM0 e pari a 0,5 m/s. Determinare la traiettoria della particella.
SOLUZIONE

28.20 Un punto di massa 0,2 kg, che si muove sotto l'influenza di una forza attrattiva verso un centro stazionario secondo la legge di gravità di Newton, descrive un'ellisse completa con semiassi 0,1 m e 0,08 m per 50 s. Determina i valori più grande e più piccolo della forza di attrazione F durante questo movimento.
SOLUZIONE

28.21 Un pendolo matematico, la cui oscillazione dura un secondo, è chiamato pendolo dei secondi e viene utilizzato per contare il tempo. Trova la lunghezza l di questo pendolo, assumendo che l'accelerazione dovuta alla gravità sia 981 cm/s2. A che ora mostrerà questo pendolo sulla Luna, dove l'accelerazione di gravità è 6 volte inferiore a quella della Terra? Quale lunghezza l1 dovrebbe avere il secondo pendolo lunare?
SOLUZIONE

28.22 Ad un certo punto sulla Terra, il pendolo dei secondi conta il tempo correttamente. Quando viene spostato in un altro luogo, resta indietro di T secondi al giorno. Determina l'accelerazione dovuta alla gravità nella nuova posizione del pendolo dei secondi.