Линейная функция y=kx, ее свойства и график. Что такое угловой коэффициент линейной функции? Y kx b решение
Тема урока : Функция y =к x 2 , ее свойства и график .
Цель урока : обобщить и систематизировать знаний о квадратичной функции, ее свойствах и графике
Образовательные задачи:
закрепить основные свойства квадратичной функции y =kx 2 и ее график с применением компьютерного моделирования, интерактивной доски.
решение математических задач несколькими методами и способами, выявляя достоинства и недостатки каждого из них.
Развивающие задачи
развитие коммуникативных способностей учащихся,
развитие интеллектуально-исследовательской культуры учащихся,
развитие навыков компьютерного моделирования и работы на интерактивной доске
Воспитательные задачи:
воспитывать уважение к мнению других людей
серьёзное и ответственное отношение к учебному труду.
Вид урока: урок презентация, практикум.
Методы обучения: беседа, объяснение, деловая игра, демонстрация, компьютерное моделирование, практическая работа.
Формы организации работы с учащимися: индивидуальная, фронтальная, парная (групповая).
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, обычная доска, миллиметровая бумага, раздаточный материал: разноуровневые задания, памятка с требованиями к выполнению практической работы.
Программное обеспечение: презентация, подготовленная в Microsoft PowerPoint ; Advanced Grapher 1.62 (Многофункциональная программа исследования математических функций с удобным графическим интерфейсом. Позволяет строить графики функций и их производных, находить экстремумы функций и корни уравнений, осуществлять интегрирование, получать таблицу значений функции по ее формуле и др., статус: freeware, авторские права: SerpikSoft, сайт: ); программное обеспечение интерактивной доски.
План урока.
1. Организационный момент – 1-2 мин.
2. Постановка целей и задач урока – 2 мин.
3. Оборудование – 1мин.
4. Повторение ранее изученного материала – 10 мин.
задания № 1
задания № 2
5. Практическая работа – 25 мин.
Задание № 3
Защита выполненного задания № 3
Задание № 4
Защита выполненного задания № 4
6. Домашнее задание – 2 мин.
7. Подведение итогов урока. Выставление оценок – 3 мин.
Ход урока
Демонстрируется слайд 1.
Этап I . Организационный момент.
Учитель приветствует ребят, отмечает отсутствующих, проверяет наличие чертежных инструментов, раздаточного материала: карточек-заданий, миллиметровой бумаги, памяток.
Постановка цели и задач урока
Демонстрируется слайд 2-5
Учитель. Сегодня мы подведем итог и проверим полученные знания и умения на практике, расширим и систематизируем знания о квадратичной функции y = kx 2 , как одной из математической модели. Продолжим освоение возможностей интерактивной доски, используя в работе компьютер, рассмотрим построении графиков квадратичной функций с его применением.
В реальной жизни встречаются процессы, описываемые различными математическими моделями вида y = f ( x ), г де f ( x ) - функция. В 7 классе мы познакомились с линейной функцией, в 8 классе начали знакомство с другой математической моделью, изучив f ( x ) – квадратичную функцию. Как вы научились отличать одну модель от другой, проверим в первом задании.
Этап II . Повторение.
Задание 1. Подпиши график функции.
Для каждого графика, изображенного на интерактивной доске, найти соответствующую ей функцию.
Демонстрируется слайд 6
На интерактивной доске учащиеся по цепочке, используя метод перемещения объектов (названия функций) из галереи рисунков, передвигают функции к соответствующему ей графику, при этом обосновывая свой выбор.
Остальные учащиеся в тетради и двое на обычной доске одновременно записывают функции в два столбика таблицы, указывая соответствующее значение k и b . Подводится итог работы. Ученики осуществляют взаимопроверку (на интерактивной и обычной доске, в тетрадях).
Классификация по виду математической модели
y = kx + b
y = kx 2
y = 3x + 2 ; k = 3 b = 2
y =3x 2 ; k = 3
y =2x ; k =2 b =0
y = - 3x 2 ; k =-3
y =2x ; k =2 b =0
y = x 2 ; k =1
прямая
парабола
Задание 2. Перечислить свойства квадратичной функции.
Демонстрируется слайд 7
Учитель. В математике важно отличать одну модель от другой, зная свойства каждой, уметь использовать различные языки (словесный, символический, графический) при описании этих свойств. При подготовке к уроку группа ребят систематизировала общие сведения о квадратичной функции в таблицу, используя символический язык. На интерактивной доске таблица свойств функций закрыта шторкой. Давайте вспомним, что нам известно о свойствах квадратичной функции.
После фронтально опроса по перечислению свойств квадратичной функции, используя прием шторки слева на направо, открывается первый столбик таблицы. Ребята сверяют по таблице, все ли свойства были названы. Затем перечисляются свойства функции в зависимости от коэффициента, в ходе беседы одновременно открываются строки таблицы – прием сдвига шторки вниз.
Заслушиваются ответы учащихся, подводится итог повторения свойств квадратичной функции. Учащиеся осуществляют самоконтроль.
Этап III . Применение знаний и умений
Практическая работа
Демонстрируется слайд 8
Задание № 3. «Построить и описать свойства кусочно-заданной функции
Учитель. Итак, теперь мы попробуем реализовать все знания на практике разными способами.
Сейчас вы разделитесь на три группы:
Группа № 1 «программисты » – строят график функции с помощью компьютера.
Группа № 2 «практики» – строят график функции без использования компьютера на миллиметровой бумаге.
Группа № 3 «теоретики» – описывают свойства данной функции.
Для ребят группы № 1 (посещающие факультатив по ИВТ), на интерактивной доске высвечивается алгоритм работы для компьютерного моделирования (Демонстрируется слайд 9), группа № 2 пользуется памяткой слайд 23, приложение № 2), группа № 3 имеет на столе уже готовый график данной функции, выполненный заранее учащимися на факультативе по ИВТ (слайд 14 ).
Задание для ребят группы № 2, со способностями ниже средних, разбито на подзадачи. Слабые учащиеся строят график только одной квадратичной функции, посильнее – квадратичную и линейную, продвинутые – выполняют все задание в комплексе.
Учитель проверяет задание у учащихся, выполнивших задание первыми в каждой группе. Далее по мере завершения практической работы учащиеся по цепочке проверяют задания друг у друга. Таким образом, у всех учащихся работы будут проверены. Те учащиеся, которые испытывают затруднения, обращаются за помощью к учителю либо к товарищам соседней пары.
Демонстрируется слайд 10-15
Защита выполненной работы
Каждая группа определяет лидера, ответственного для защиты работы. Учащиеся анализируют этапы построения и описания свойств функции. Учащиеся группы № 2 осуществляют самоконтроль, сопоставляя свой график с графиком на интерактивной доске, построенный с помощью компьютерного моделирования учащимися группы № 1. Учащиеся группы № 3 по цепочке комментируют свойства функции, график которой представлен на доске.
Во время защиты учитель задает вопросы, которые помогают выявить достоинства и недостатки каждого способа построения графика функции:
В чем преимущество данного способа построения графика функции?
Какие недостатки этого способа вы можете назвать?
Защита работы, выполненной с помощью компьютера
Демонстрируется слайд 16
Достоинства способа:
Наглядность, быстрота работы, точность построения, простота реализации, возможность автоматизации проверки результата; создается график не только на бумаге, но и в электронном виде.
Недостатки способа:
Не совершенствуются вычислительные навыки, отсутствует связь с теорией, наличие технических средств и программного обеспечения.
Демонстрируется слайд 17
Защита работы, выполненной без помощи компьютера
Достоинства способа:
Независимость от вычислительной техники при использовании; развитие вычислительных навыков, связь с теорией.
Недостатки способа:
Длительность работы по времени, нет точности в построении, невозможность автоматизации проверки результата; создается график только на бумаге.
Задание № 4 «Решить уравнение x 2 = 4 x - 4»
Демонстрируется слайд 18
Учитель. Предлагается вашему вниманию решить уравнение двумя методами: графический и аналитический
1. Графический метод – двумя способами (компьютерное моделирование и без помощи компьютера).
2. Метод – аналитический.
Анализируя этапы графического решения уравнения, учащиеся формулируют алгоритм выполнения задания. Демонстрируется слайд 19
При аналитическом методе решения необходимо вспомнить формулу квадрата разности двух выражений.
Графический метод решения можно представить двумя способами с помощью компьютерного моделирования и традиционно.
Задание выполняется учащимися групп № 1-3 по той же схеме, как и при выполнении практической работы задания № 3. Учащиеся выполняют задание и сверяют результат.
Защита выполненной работы.
Группа ребят, работающая у компьютера, демонстрируют результат работы с помощью мультимедийного проектора на интерактивной доске, указывая точку пересечения графиков функции и подписывая ее координаты. Группа учащихся № 3 – «теоретики», решение выносят на обычную доску. Группа учащихся № 3 – «практики», сверяют результат с интерактивной доской.
Демонстрируется слайд 20
Учитель дает задание сопоставить результаты. Определить на свой взгляд более эффективный метод.
Этап IV . Домашнее задание.
Демонстрируется слайд 21
Учитель. В классе вы работали в группах, в парах, выполняя вместе одно задание. Дома вам предстоит выполнить практическую работу с учетом ваших способностей. Задание дифференцировано по уровням сложности (слайд 22 -приложение 2, слайд 23 ). На доске демонстрируется слайд с предписанием выполнения работы.
Этап V . Подведение итогов урока. Выставление оценок.
Демонстрируется слайд 24
Сегодня мы обобщили и систематизировали знания по теме «Функция y =x 2 , ее свойства и график» с применением компьютерного моделирования, интерактивной доски, рассмотрели решение математической задачи несколькими способами, выяснили достоинства и недостатки каждого способа. Для вас более универсальным оказался способ – применение математического моделирования. Однако выбор конкретного способа зависит еще и от тех целей, которые мы ставим, решая ту или иную задачу. Разные математические задачи дают нам возможность применять различные приемы, методы и способы для конкретных практических задач. И вы вправе выбирать те из них, которые будут более подходящими в заданных условиях. На следующем уроке переходим к знакомству с новой математической моделью, пополняя запас изучаемых функций. Все знания и умения, полученные при построении графиков функций двумя способами, помогут вам в дальнейшей работе. Спасибо всем за работу.
Литература
Журнал «Математика в школе», № 10, 2008 г
Журнал «Информатика и образование», № 10, 2008 г.
А.Г.Мордкович. Алгебра 8 класс. Часть 1. Учебник. М.: Мнемозина, 2005 г.
А.Г.Мордкович. Алгебра 8 класс. Часть 2. Задачник. М.: Мнемозина, 2005 г.
Л.А.Александрова. Алгебра 8 класс. Самостоятельные работы / под ред. А.Г.Мордкович. М.: Мнемозина, 2006 г.
А.Г.Мордкович. Алгебра 7-9. Методическое пособие для учителя. М.: Мнемозина, 2000 г.
Приложение 1
Памятка
1. Как построить график функции.
Составить таблицу значений.
Построить точки на координатной плоскости.
Соединить точки плавной линией.
Подписать график функции.
2. Как найти значение функции f (x ) по графику.
На оси абсцисс найти соответствующее значение переменной.
Провести перпендикуляр на график функции, зафиксировать на нем точку.
Из данной точки провести перпендикуляр на ось ординат.
Точка пересечения с осью у – и есть значение функции f ( x ).
3. Как проверить принадлежность точки графику функции.
Найти значение функции от абсциссы точки.
Сопоставить результат с ординатой точки.
Если значения совпадают – точка принадлежит графику функции.
Приложение 2
Практическая работа
Вариант А
1. Построить график функции у = 2 х 2
а) значение у при х = -1; 2; 1/2
б) значение х , если у = -8
в) y наиб. и y наим. на отрезке [-1; 2]
3. Принадлежит ли графику функции точка А (-5; 50)?
Вариант В
1. Построить график функции у = - 0,5 х 2
2. Для данной функции найдите:
а) значение у при х = -2; 0; 3
б) значение х если у = - 8
в) y наиб. и y наим. на отрезке [- 4; 0]
3. Принадлежит ли графику функции точка А (-10; - 50)
Вариант С
1. Построить график функции у = 3/2 х 2
2. Для данной функции найдите:
а) значение у при х = 2; 1; 2/ 3
б) значение х если у = 6
в) y наиб. и y наим. на отрезке [- 2; 1]
3. Принадлежит ли графику функции точка А (-8;- 96)?
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
2). Затем строим график линейной функции y = -3x + 6 у х y = -3x + 6
Функции, графики которых параллельны оси абсцисс 2-ой случай: K=0 В этом случае функция принимает вид у=b y Y=2 Y=-3 Y=0 x
Если k больше нуля, то прямые расположены в первой и третьей четвертях. Чем больше коэффициент, тем ближе прямая прижимается к оси Оу, а чем меньше коэффициент, тем прямая ближе к оси Ох. То есть, чем больше угловой коэффициент, тем больше угол между прямой и осью абсцисс.
5 У = 2х +6 У = 2х - 5 х у Две прямые параллельны, если у них одинаковый угол наклона, а он зависит от углового коэффициента k 0 Две прямые параллельны, если у них одинаковый угловой коэффициент.
Выводы 1.Функция вида у = kх + b, где k и b некоторые числа, называется линейной функцией. Графиком линейной является прямая. 2.Функцию вида y= kx называют прямой пропорциональностью, и её график проходит через начало координат. 3.График функции у = b параллелен оси абсцисс и проходит через точку с координатами (0; b). 4.Коэффициент k называется угловым коэффициентом. От него зависит угол наклона прямой к оси Ох. 5.Если у двух различных прямых равны угловые коэффициенты, то графики этих функций будут параллельны, если их угловые коэффициенты не равны, то графики будут пересекаться.
Функция вида y = kx + b называется линейной. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой необходимо и достаточно две точки.
Функция вида y = kx
Функция вида y = kx называется прямой пропорциональностью.
Графиком является прямая, проходящая через начало координат и располагающаяся в 1 и 3 четвертях, если k > 0, во 2 и 4 четвертях, если k < 0.
k - называется коэффициентом пропорциональности и определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ. k = tg б
Прямая у = х является биссектрисой 1 и 3 координатных углов, а прямая у = х является биссектрисой 1 и 4 координатных углов.
Пример. Построить графики функций у = 2х, у = х, у = 2х.
Функция прямая пропорциональная зависимость, графикам являются прямые.
Так как графики проходят через начало координат, то одна из точек имеет координаты (0; 0), поэтому можно взять еще одну точку.
у = х, у = 2х, у = 2х,
х = 1, у = 1; х = 1, у = 2; х = 1, у = 2.
Функция вида y = kx + b
Графиком функции является прямая, у = kx, смещенная параллельным переносом по оси У на b единиц, в сторону согласно знаку b.
Построение можно вести по двум точкам или параллельным смещением.
Пример. Построить график функции у = 3х 4.
Функция линейная, графиком является прямая.
Построение можно вести параллельным переносом прямой у = 3х на 2 единицы вниз по оси У.
Функция вида у = b
Графиком функции является прямая, параллельная оси Х, проходящая через точку с координатами (0; b).
Построить график функции у = 3.
Функция линейная, графиком является прямая, параллельная оси ОХ, проходящая через точку (0;3)
Уравнение прямой х = с
Прямая х = с не является функцией. Однако, графиком является прямая, параллельная оси О У и проходящая через точку с координатами (с; 0).