Úlohy a príklady pre všetky operácie s desatinnými miestami. Príklady a úlohy pre všetky operácie s desatinnými zlomkami Príklady na zlomky s desatinnými operáciami
V tomto návode sa pozrieme na každú z týchto operácií samostatne.
Obsah lekciePridávanie desatinných miest
Ako vieme, desatinný zlomok pozostáva z celého čísla a zlomkovej časti. Pri pridávaní desatinných miest sa oddelene pridávajú celé a zlomkové časti.
Pridajme napríklad desatinné zlomky 3,2 a 5,3. Je vhodnejšie pridať desatinné zlomky do stĺpca.
Najprv napíšme tieto dva zlomky do stĺpca, pričom celé čísla musia byť nevyhnutne pod celými číslami a zlomkové časti pod zlomkové. V škole sa táto požiadavka nazýva "čiarka pod čiarkou" .
Zlomky napíšeme do stĺpca tak, aby bola čiarka pod čiarkou:
Sčítame zlomkové časti: 2 + 3 = 5. Päť napíšeme do zlomkovej časti našej odpovede:
Teraz sčítame celé časti: 3 + 5 = 8. Do celej časti našej odpovede napíšeme osmičku:
Teraz oddelíme celú časť od zlomkovej časti čiarkou. Aby sme to dosiahli, opäť sa riadime pravidlom "čiarka pod čiarkou" :
Odpoveď sme dostali 8.5. To znamená, že výraz 3,2 + 5,3 sa rovná 8,5
3,2 + 5,3 = 8,5
V skutočnosti nie je všetko také jednoduché, ako sa na prvý pohľad zdá. Sú tu aj úskalia, o ktorých si teraz povieme.
Miesta v desatinných číslach
Desatinné zlomky, rovnako ako bežné čísla, majú svoje vlastné číslice. Sú to miesta desatiny, miesta stotiny, miesta tisíciny. V tomto prípade číslice začínajú za desatinnou čiarkou.
Prvá číslica za desatinnou čiarkou zodpovedá za desatinné miesto, druhá číslica za desatinnou čiarkou za desatinné miesto a tretia číslica za desatinnou čiarkou za tisícinu.
Desatinné miesta obsahujú užitočné informácie. Konkrétne vám povedia, koľko desatín, stotín a tisícin je v desatinnej čiarke.
Uvažujme napríklad desatinný zlomok 0,345
Pozícia, kde sa nachádza trojka, sa nazýva desiate miesto
Pozícia, kde sa štvorka nachádza, sa nazýva stotinové miesto
Pozícia, kde sa nachádza päťka, sa nazýva tisícke miesto
Pozrime sa na tento výkres. Vidíme, že na desiatom mieste je trojka. To znamená, že v desatinnom zlomku 0,345 sú tri desatiny.
Ak zlomky sčítame, dostaneme pôvodný desatinný zlomok 0,345
Najprv sme dostali odpoveď, ale previedli sme ju na desatinný zlomok a dostali sme 0,345.
Pri sčítavaní desatinných zlomkov platia rovnaké pravidlá ako pri sčítavaní obyčajných čísel. Sčítanie desatinných zlomkov prebieha v čísliciach: desatiny sa pripočítavajú k desatinám, stotiny k stotinám, tisíciny k tisícinám.
Preto pri pridávaní desatinných zlomkov musíte dodržiavať pravidlo "čiarka pod čiarkou". Čiarka pod čiarkou uvádza samotné poradie, v ktorom sa pridávajú desatiny k desatinám, stotiny až stotiny, tisíciny až tisíciny.
Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu 1,5 + 3,4
Najprv spočítame zlomkové časti 5 + 4 = 9. Do zlomkovej časti našej odpovede napíšeme deväť:
Teraz pridáme celé časti 1 + 3 = 4. Štyri zapíšeme do celočíselnej časti našej odpovede:
Teraz oddelíme celú časť od zlomkovej časti čiarkou. Aby sme to dosiahli, opäť sa riadime pravidlom „čiarka pod čiarkou“:
Odpoveď sme dostali 4.9. To znamená, že hodnota výrazu 1,5 + 3,4 je 4,9
Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu: 3,51 + 1,22
Tento výraz zapíšeme do stĺpca, pričom dodržíme pravidlo „čiarka pod čiarkou“.
Najprv spočítame zlomkovú časť, a to stotiny 1+2=3. V stotej časti našej odpovede píšeme trojku:
Teraz pridajte desatiny 5+2=7. V desiatej časti našej odpovede píšeme sedmičku:
Teraz pridáme celé časti 3+1=4. Štyri píšeme v celej časti našej odpovede:
Celú časť oddeľujeme od zlomkovej časti čiarkou, pričom dodržiavame pravidlo „čiarka pod čiarkou“:
Odpoveď, ktorú sme dostali, bola 4,73. To znamená, že hodnota výrazu 3,51 + 1,22 sa rovná 4,73
3,51 + 1,22 = 4,73
Rovnako ako pri bežných číslach, pri pridávaní desatinných miest platí . V tomto prípade sa do odpovede zapíše jedna číslica a zvyšok sa prenesie na ďalšiu číslicu.
Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu 2,65 + 3,27
Tento výraz zapíšeme do stĺpca:
Pridajte stotinové diely 5+7=12. Číslo 12 sa nezmestí do stotiny našej odpovede. Preto v stej časti napíšeme číslo 2 a presunieme jednotku na ďalšiu číslicu:
Teraz sčítame desatiny 6+2=8 plus jednotku, ktorú sme dostali z predchádzajúcej operácie, dostaneme 9. Do desatiny našej odpovede napíšeme číslo 9:
Teraz pridáme celé časti 2+3=5. Do celočíselnej časti našej odpovede napíšeme číslo 5:
Odpoveď, ktorú sme dostali, bola 5,92. To znamená, že hodnota výrazu 2,65 + 3,27 sa rovná 5,92
2,65 + 3,27 = 5,92
Príklad 4. Nájdite hodnotu výrazu 9,5 + 2,8
Tento výraz zapíšeme do stĺpca
Sčítame zlomkové časti 5 + 8 = 13. Číslo 13 sa nezmestí do zlomkovej časti našej odpovede, preto si najskôr zapíšeme číslo 3 a jednotku presunieme na ďalšiu číslicu, resp. celá časť:
Teraz sčítame celé časti 9+2=11 plus jednotku, ktorú sme dostali z predchádzajúcej operácie, dostaneme 12. Do celočíselnej časti našej odpovede napíšeme číslo 12:
Oddeľte celú časť od zlomkovej časti čiarkou:
Odpoveď sme dostali 12.3. To znamená, že hodnota výrazu 9,5 + 2,8 je 12,3
9,5 + 2,8 = 12,3
Pri pridávaní desatinných miest musí byť počet číslic za desatinnou čiarkou v oboch zlomkoch rovnaký. Ak nie je dostatok čísel, potom sú tieto miesta v zlomkovej časti vyplnené nulami.
Príklad 5. Nájdite hodnotu výrazu: 12,725 + 1,7
Pred napísaním tohto výrazu do stĺpca urobme rovnaký počet číslic za desatinnou čiarkou v oboch zlomkoch. Desatinný zlomok 12,725 má za desatinnou čiarkou tri číslice, ale zlomok 1,7 má iba jednu. To znamená, že v zlomku 1,7 musíte na konci pridať dve nuly. Potom dostaneme zlomok 1,700. Teraz môžete tento výraz zapísať do stĺpca a začať počítať:
Pridajte tisíciny dielov 5+0=5. Číslo 5 napíšeme do tisíciny našej odpovede:
Pridajte stotinové diely 2+0=2. Číslo 2 napíšeme do stej časti našej odpovede:
Pridajte desatiny 7+7=14. Číslo 14 sa nezmestí do desatiny našej odpovede. Preto si najprv zapíšeme číslo 4 a presunieme jednotku na ďalšiu číslicu:
Teraz sčítame celé časti 12+1=13 plus jednotku, ktorú sme dostali z predchádzajúcej operácie, dostaneme 14. Do celočíselnej časti našej odpovede napíšeme číslo 14:
Oddeľte celú časť od zlomkovej časti čiarkou:
Dostali sme odpoveď 14 425. To znamená, že hodnota výrazu 12,725+1,700 je 14,425
12,725+ 1,700 = 14,425
Odčítanie desatinných miest
Pri odčítaní desatinných zlomkov musíte dodržiavať rovnaké pravidlá ako pri pridávaní: „čiarka pod desatinnou čiarkou“ a „rovnaký počet číslic za desatinnou čiarkou“.
Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu 2,5 − 2,2
Tento výraz zapíšeme do stĺpca, pričom dodržíme pravidlo „čiarka pod čiarkou“:
Vypočítame zlomkovú časť 5−2=3. V desiatej časti našej odpovede píšeme číslo 3:
Vypočítame časť celého čísla 2−2=0. Do celočíselnej časti našej odpovede napíšeme nulu:
Oddeľte celú časť od zlomkovej časti čiarkou:
Dostali sme odpoveď 0,3. To znamená, že hodnota výrazu 2,5 − 2,2 sa rovná 0,3
2,5 − 2,2 = 0,3
Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu 7,353 - 3,1
Tento výraz má rôzny počet desatinných miest. Zlomok 7,353 má tri číslice za desatinnou čiarkou, ale zlomok 3,1 má iba jednu. To znamená, že v zlomku 3.1 musíte na koniec pridať dve nuly, aby bol počet číslic v oboch zlomkoch rovnaký. Potom dostaneme 3100.
Teraz môžete tento výraz napísať do stĺpca a vypočítať ho:
Dostali sme odpoveď 4 253. To znamená, že hodnota výrazu 7,353 − 3,1 sa rovná 4,253
7,353 — 3,1 = 4,253
Rovnako ako pri bežných číslach, niekedy si budete musieť požičať jedno zo susednej číslice, ak sa odčítanie stane nemožné.
Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu 3,46 − 2,39
Odčítajte stotiny 6-9. Číslo 9 nemôžete odpočítať od čísla 6. Preto si musíte požičať jedno zo susednej číslice. Požičaním jedničky zo susednej číslice sa číslo 6 zmení na číslo 16. Teraz môžete vypočítať stotiny z 16−9=7. V stotej časti našej odpovede píšeme sedmičku:
Teraz odčítame desatiny. Keďže sme obsadili jednu jednotku na desiatom mieste, číslo, ktoré sa tam nachádzalo, sa znížilo o jednotku. Inými slovami, na desatinnom mieste teraz nie je číslo 4, ale číslo 3. Vypočítajme desatiny z 3−3=0. V desiatej časti našej odpovede píšeme nulu:
Teraz odčítame celé časti 3−2=1. Jednu zapíšeme do celočíselnej časti našej odpovede:
Oddeľte celú časť od zlomkovej časti čiarkou:
Dostali sme odpoveď 1.07. To znamená, že hodnota výrazu 3,46−2,39 sa rovná 1,07
3,46−2,39=1,07
Príklad 4. Nájdite hodnotu výrazu 3−1.2
Tento príklad odpočítava desatinné číslo od celého čísla. Napíšme tento výraz do stĺpca tak, aby celá časť desatinného zlomku 1,23 bola pod číslom 3
Teraz urobme rovnaký počet číslic za desatinnou čiarkou. Aby sme to dosiahli, za číslom 3 dáme čiarku a pridáme jednu nulu:
Teraz odčítame desatiny: 0-2. Od nuly nemôžete odčítať číslo 2. Preto si musíte požičať jednotku od susednej číslice. Po požičaní jednotky zo susednej číslice sa 0 zmení na číslo 10. Teraz môžete vypočítať desatiny z 10−2=8. V desiatej časti našej odpovede píšeme osmičku:
Teraz odčítame celé časti. Predtým sa číslo 3 nachádzalo v celku, ale zobrali sme z neho jednu jednotku. V dôsledku toho sa zmenil na číslo 2. Preto od 2 odčítame 1. 2−1=1. Jednu zapíšeme do celočíselnej časti našej odpovede:
Oddeľte celú časť od zlomkovej časti čiarkou:
Odpoveď, ktorú sme dostali, bola 1.8. To znamená, že hodnota výrazu 3−1,2 je 1,8
Násobenie desatinných miest
Násobenie desatinných miest je jednoduché a dokonca zábavné. Ak chcete násobiť desatinné miesta, vynásobte ich ako bežné čísla, čiarky ignorujte.
Po prijatí odpovede musíte celú časť oddeliť od zlomkovej časti čiarkou. Ak to chcete urobiť, musíte spočítať počet číslic za desatinnou čiarkou v oboch zlomkoch, potom spočítať rovnaký počet číslic sprava v odpovedi a dať čiarku.
Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu 2,5 × 1,5
Vynásobme tieto desatinné zlomky ako obyčajné čísla, čiarky ignorujme. Ak chcete čiarky ignorovať, môžete si dočasne predstaviť, že úplne chýbajú:
Dostali sme 375. V tomto čísle je potrebné oddeliť časť celého čísla od zlomkovej časti čiarkou. Aby ste to dosiahli, musíte spočítať počet číslic za desatinnou čiarkou v zlomkoch 2,5 a 1,5. Prvý zlomok má jednu číslicu za desatinnou čiarkou a druhý zlomok má tiež jednu. Spolu dve čísla.
Vraciame sa k číslu 375 a začíname sa pohybovať sprava doľava. Musíme spočítať dve číslice vpravo a dať čiarku:
Dostali sme odpoveď 3,75. Takže hodnota výrazu 2,5 × 1,5 je 3,75
2,5 x 1,5 = 3,75
Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu 12,85 × 2,7
Vynásobme tieto desatinné zlomky, pričom čiarky ignorujeme:
Dostali sme 34695. V tomto čísle musíte oddeliť celú časť od zlomkovej časti čiarkou. Aby ste to dosiahli, musíte spočítať počet číslic za desatinnou čiarkou v zlomkoch 12,85 a 2,7. Zlomok 12,85 má za desatinnou čiarkou dve číslice a zlomok 2,7 jednu číslicu – spolu tri číslice.
Vraciame sa k číslu 34695 a začíname sa pohybovať sprava doľava. Musíme spočítať tri číslice sprava a dať čiarku:
Dostali sme odpoveď 34 695. Takže hodnota výrazu 12,85 × 2,7 je 34,695
12,85 × 2,7 = 34,695
Násobenie desatinného čísla obyčajným číslom
Niekedy nastanú situácie, keď potrebujete vynásobiť desatinný zlomok bežným číslom.
Ak chcete vynásobiť desatinné miesto a číslo, vynásobte ich bez toho, aby ste venovali pozornosť čiarke v desatinnej čiarke. Po prijatí odpovede musíte celú časť oddeliť od zlomkovej časti čiarkou. Ak to chcete urobiť, musíte spočítať počet číslic za desatinnou čiarkou v desatinnom zlomku, potom spočítať rovnaký počet číslic sprava v odpovedi a dať čiarku.
Napríklad vynásobte 2,54 číslom 2
Vynásobte desatinný zlomok 2,54 obvyklým číslom 2, čiarku ignorujte:
Dostali sme číslo 508. V tomto čísle je potrebné oddeliť časť celého čísla od zlomkovej časti čiarkou. Aby ste to dosiahli, musíte spočítať počet číslic za desatinnou čiarkou v zlomku 2,54. Zlomok 2,54 má za desatinnou čiarkou dve číslice.
Vraciame sa k číslu 508 a začíname sa pohybovať sprava doľava. Musíme spočítať dve číslice vpravo a dať čiarku:
Odpoveď sme dostali 5.8. Takže hodnota výrazu 2,54 × 2 je 5,08
2,54 x 2 = 5,08
Násobenie desatinných miest 10, 100, 1000
Násobenie desatinných miest 10, 100 alebo 1000 sa vykonáva rovnakým spôsobom ako násobenie desatinných miest bežnými číslami. Musíte vykonať násobenie bez toho, aby ste venovali pozornosť čiarke v desatinnom zlomku, potom v odpovedi oddeľte celú časť od zlomkovej časti a počítajte sprava rovnaký počet číslic, koľko bolo číslic za desatinnou čiarkou.
Napríklad vynásobte 2,88 číslom 10
Vynásobte desatinný zlomok 2,88 10, pričom čiarku v desatinnom zlomku ignorujte:
Dostali sme 2880. V tomto čísle musíte oddeliť časť celého čísla od zlomkovej časti čiarkou. Aby ste to dosiahli, musíte spočítať počet číslic za desatinnou čiarkou v zlomku 2,88. Vidíme, že zlomok 2,88 má za desatinnou čiarkou dve číslice.
Vraciame sa k číslu 2880 a začíname sa pohybovať sprava doľava. Musíme spočítať dve číslice vpravo a dať čiarku:
Dostali sme odpoveď 28.80. Vypustíme poslednú nulu a dostaneme 28.8. To znamená, že hodnota výrazu 2,88×10 je 28,8
2,88 × 10 = 28,8
Existuje druhý spôsob, ako vynásobiť desatinné zlomky 10, 100, 1000. Táto metóda je oveľa jednoduchšia a pohodlnejšia. Spočíva v posunutí desatinnej čiarky doprava o toľko číslic, koľko núl je vo faktore.
Napríklad predchádzajúci príklad 2,88×10 vyriešime takto. Bez uvedenia akýchkoľvek výpočtov sa okamžite pozrieme na faktor 10. Zaujíma nás, koľko núl je v ňom. Vidíme, že je v ňom jedna nula. Teraz v zlomku 2,88 posunieme desatinnú čiarku doprava o jednu číslicu, dostaneme 28,8.
2,88 × 10 = 28,8
Skúsme vynásobiť 2,88 číslom 100. Hneď sa pozrieme na faktor 100. Zaujíma nás, koľko núl je v ňom. Vidíme, že sú v ňom dve nuly. Teraz v zlomku 2,88 posunieme desatinnú čiarku na pravé dve číslice, dostaneme 288
2,88 × 100 = 288
Skúsme vynásobiť 2,88 číslom 1000. Hneď sa pozrieme na faktor 1000. Zaujíma nás, koľko núl je v ňom. Vidíme, že sú v ňom tri nuly. Teraz v zlomku 2,88 posunieme desatinnú čiarku doprava o tri číslice. Nie je tam žiadna tretia číslica, preto pridáme ďalšiu nulu. Výsledkom je 2880.
2,88 × 1 000 = 2 880
Násobenie desatinných miest 0,1 0,01 a 0,001
Násobenie desatinných miest 0,1, 0,01 a 0,001 funguje rovnakým spôsobom ako násobenie desatinného miesta desatinným číslom. Zlomky je potrebné vynásobiť ako obyčajné čísla a do odpovede dať čiarku, pričom treba počítať toľko číslic vpravo, koľko je číslic za desatinnou čiarkou v oboch zlomkoch.
Napríklad vynásobte 3,25 číslom 0,1
Tieto zlomky násobíme ako obyčajné čísla, čiarky ignorujeme:
Dostali sme 325. V tomto čísle musíte oddeliť časť celého čísla od zlomkovej časti čiarkou. Aby ste to dosiahli, musíte spočítať počet číslic za desatinnou čiarkou v zlomkoch 3,25 a 0,1. Zlomok 3,25 má za desatinnou čiarkou dve číslice a zlomok 0,1 jednu číslicu. Celkovo tri čísla.
Vraciame sa k číslu 325 a začíname sa pohybovať sprava doľava. Musíme spočítať tri číslice sprava a dať čiarku. Po odpočítaní troch číslic zistíme, že čísla sa minuli. V tomto prípade musíte pridať jednu nulu a pridať čiarku:
Dostali sme odpoveď 0,325. To znamená, že hodnota výrazu 3,25 × 0,1 je 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Existuje druhý spôsob, ako násobiť desatinné miesta 0,1, 0,01 a 0,001. Táto metóda je oveľa jednoduchšia a pohodlnejšia. Spočíva v posunutí desatinnej čiarky doľava o toľko číslic, koľko núl je vo faktore.
Napríklad predchádzajúci príklad 3,25 × 0,1 vyriešime takto. Bez uvedenia akýchkoľvek výpočtov sa okamžite pozrieme na násobiteľ 0,1. Zaujíma nás, koľko núl je v ňom. Vidíme, že je v ňom jedna nula. Teraz v zlomku 3,25 posunieme desatinnú čiarku doľava o jednu číslicu. Posunutím čiarky o jednu číslicu doľava vidíme, že pred trojkou už nie sú žiadne číslice. V tomto prípade pridajte jednu nulu a vložte čiarku. Výsledok je 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Skúsme vynásobiť 3,25 číslom 0,01. Okamžite sa pozrieme na multiplikátor 0,01. Zaujíma nás, koľko núl je v ňom. Vidíme, že sú v ňom dve nuly. Teraz v zlomku 3,25 posunieme desatinnú čiarku doľava o dve číslice, dostaneme 0,0325
3,25 × 0,01 = 0,0325
Skúsme vynásobiť 3,25 číslom 0,001. Okamžite sa pozrieme na multiplikátor 0,001. Zaujíma nás, koľko núl je v ňom. Vidíme, že sú v ňom tri nuly. Teraz v zlomku 3,25 posunieme desatinnú čiarku doľava o tri číslice, dostaneme 0,00325
3,25 × 0,001 = 0,00325
Nezamieňajte násobenie desatinných zlomkov 0,1, 0,001 a 0,001 s násobením 10, 100, 1000. Typická chyba pre väčšinu ľudí.
Pri násobení 10, 100, 1000 sa desatinná čiarka posunie doprava o rovnaký počet číslic, o koľko sú nuly v násobidle.
A pri násobení 0,1, 0,01 a 0,001 sa desatinná čiarka posunie doľava o rovnaký počet číslic, o koľko je nul v násobidle.
Ak je na začiatku ťažké zapamätať si, môžete použiť prvú metódu, v ktorej sa násobenie vykonáva ako pri bežných číslach. V odpovedi budete musieť oddeliť celú časť od zlomkovej časti a spočítať rovnaký počet číslic napravo, ako je číslic za desatinnou čiarkou v oboch zlomkoch.
Delenie menšieho čísla väčším číslom. Pokročilá úroveň.
V jednej z predchádzajúcich lekcií sme si povedali, že pri delení menšieho čísla väčším číslom dostaneme zlomok, ktorého čitateľom je dividenda a menovateľom je deliteľ.
Ak chcete napríklad rozdeliť jedno jablko medzi dve, musíte do čitateľa napísať 1 (jedno jablko) a do menovateľa napísať 2 (dvaja priatelia). V dôsledku toho dostaneme zlomok . To znamená, že každý priateľ dostane jablko. Inými slovami, polovica jablka. Zlomok je odpoveďou na problém „Ako rozdeliť jedno jablko na dve“
Ukazuje sa, že tento problém môžete ďalej vyriešiť, ak delíte 1 2. Koniec koncov, zlomková čiara v akomkoľvek zlomku znamená delenie, a preto je toto delenie v zlomku povolené. Ale ako? Sme zvyknutí, že dividenda je vždy väčšia ako deliteľ. Ale tu je naopak dividenda menšia ako deliteľ.
Všetko sa vyjasní, ak si zapamätáme, že zlomok znamená drvenie, delenie, delenie. To znamená, že jednotku možno rozdeliť na toľko častí, koľko chcete, a nie iba na dve časti.
Keď vydelíte menšie číslo väčším číslom, dostanete desatinný zlomok, v ktorom je celá časť 0 (nula). Zlomková časť môže byť čokoľvek.
Vydeľme teda 1 2. Vyriešme tento príklad s rohom:
Nedá sa úplne rozdeliť na dve časti. Ak položíte otázku „koľko dvojičiek je v jednom“ , potom bude odpoveď 0. Preto do kvocientu napíšeme 0 a dáme čiarku:
Teraz, ako obvykle, vynásobíme podiel deliteľom, aby sme dostali zvyšok:
Nastal moment, kedy je možné jednotku rozdeliť na dve časti. Ak to chcete urobiť, pridajte ďalšiu nulu napravo od výslednej:
Dostali sme 10. Vydeľte 10 2, dostaneme 5. Päť napíšeme do zlomkovej časti našej odpovede:
Teraz vyberieme posledný zvyšok na dokončenie výpočtu. Vynásobte 5 x 2, aby ste dostali 10
Dostali sme odpoveď 0,5. Takže zlomok je 0,5
Polovicu jablka je možné zapísať aj pomocou desatinného zlomku 0,5. Ak spočítame tieto dve polovice (0,5 a 0,5), dostaneme opäť pôvodné jedno celé jablko: 
Tento bod možno pochopiť aj vtedy, ak si predstavíte, ako je 1 cm rozdelený na dve časti. Ak rozdelíte 1 centimeter na 2 časti, dostanete 0,5 cm
Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu 4:5
Koľko pätiek je vo štvorici? Vôbec nie. Do podielu napíšeme 0 a dáme čiarku:
Vynásobíme 0 5, dostaneme 0. Pod štvorku napíšeme nulu. Okamžite odpočítajte túto nulu od dividendy:
Teraz začneme štvoricu deliť (rozdeľovať) na 5 častí. Ak to chcete urobiť, pridajte nulu napravo od 4 a vydeľte 40 5, dostaneme 8. Do podielu napíšeme osem.
Príklad dokončíme vynásobením 8 x 5, aby sme dostali 40:
Dostali sme odpoveď 0,8. To znamená, že hodnota výrazu 4:5 je 0,8
Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu 5: 125
Koľko čísel je 125 v piatich? Vôbec nie. Do podielu napíšeme 0 a dáme čiarku:
Vynásobíme 0 5, dostaneme 0. Pod päťku napíšeme 0. Okamžite odpočítajte 0 od piatich
Teraz začneme deliť (rozdeľovať) päťku na 125 častí. Za týmto účelom napíšeme nulu napravo od tejto päťky:
Vydeľte 50 číslom 125. Koľko čísel je 125 v čísle 50? Vôbec nie. Takže v kvociente napíšeme opäť 0
Vynásobte 0 125, dostaneme 0. Napíšte túto nulu pod 50. Okamžite odpočítajte 0 od 50
Teraz rozdeľte číslo 50 na 125 častí. Za týmto účelom napíšeme ďalšiu nulu napravo od 50:
Vydeľte 500 číslom 125. Koľko čísel je 125 v čísle 500? V čísle 500 sú štyri čísla 125. Štyri zapíšte do podielu:
Príklad dokončíme vynásobením 4 číslom 125, aby sme dostali 500
Dostali sme odpoveď 0,04. To znamená, že hodnota výrazu 5: 125 je 0,04
Delenie čísel bez zvyšku
Dajme teda za jednotku v kvociente čiarku, čím označíme, že delenie celých častí sa skončilo a prejdeme k zlomkovej časti:
K zvyšku 4 pripočítajme nulu
Teraz vydelíme 40 5, dostaneme 8. Do podielu napíšeme osem:
40-40=0. Zostáva nám 0. To znamená, že rozdelenie je úplne dokončené. Delením 9 5 dostaneme desatinný zlomok 1,8:
9: 5 = 1,8
Príklad 2. Vydeľte 84 číslom 5 bezo zvyšku
Najprv vydeľte 84 číslom 5 ako zvyčajne so zvyškom:
Súkromne nás máme 16 a ešte 4 ostali. Teraz vydeľme tento zvyšok 5. Do kvocientu dajte čiarku a k zvyšku 4 pridajte 0
Teraz vydelíme 40 5, dostaneme 8. Osem zapíšeme do podielu za desatinnou čiarkou:
a dokončite príklad kontrolou, či je tam ešte zvyšok:
Delenie desatinnej čiarky bežným číslom
Desatinný zlomok, ako vieme, pozostáva z celého čísla a zlomkovej časti. Pri delení desatinného zlomku bežným číslom musíte najskôr:
- vydeľte celú časť desatinného zlomku týmto číslom;
- po rozdelení celej časti musíte do kvocientu okamžite vložiť čiarku a pokračovať vo výpočte ako pri normálnom delení.
Napríklad vydeľte číslo 4,8 číslom 2
Napíšme tento príklad do rohu:
Teraz vydelme celú časť 2. Štyri delené dvoma sa rovná dvom. Do podielu napíšeme dva a hneď dáme čiarku:
Teraz vynásobíme podiel deliteľom a uvidíme, či existuje zvyšok z delenia:
4-4 = 0. Zvyšok je nula. Nulu zatiaľ nezapisujeme, keďže riešenie nie je dokončené. Ďalej pokračujeme vo výpočte ako pri bežnom delení. Zoberte 8 a vydeľte ho 2
8: 2 = 4. Štvorky zapíšeme do podielu a hneď ho vynásobíme deliteľom:
Odpoveď sme dostali 2.4. Hodnota výrazu 4,8:2 je 2,4
Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu 8,43: 3
Vydelíme 8 3, dostaneme 2. Hneď za 2 dáme čiarku:
Teraz vynásobíme podiel deliteľom 2 × 3 = 6. Šestku napíšeme pod osmičku a zvyšok nájdeme:
Vydelíme 24 3, dostaneme 8. Do podielu napíšeme osem. Okamžite ho vynásobte deliteľom, aby ste našli zvyšok delenia:
24-24 = 0. Zvyšok je nula. Nulu zatiaľ nezapisujeme. Z dividendy odoberieme posledné tri a vydelíme 3, dostaneme 1. Okamžite vynásobte 1 x 3, aby ste dokončili tento príklad:
Odpoveď, ktorú sme dostali, bola 2,81. To znamená, že hodnota výrazu 8,43:3 je 2,81
Delenie desatinnej čiarky desatinnou čiarkou
Ak chcete deliť desatinný zlomok desatinným zlomkom, musíte posunúť desatinnú čiarku v deliteľovi a deliteľovi doprava o rovnaký počet číslic, aký je za desatinnou čiarkou v deliteľovi, a potom vydeliť zvyčajným číslom.
Napríklad vydeľte 5,95 číslom 1,7
Napíšme tento výraz rohom
Teraz v delenci a v deliteľovi posunieme desatinnú čiarku doprava o rovnaký počet číslic, ako je za desatinnou čiarkou v deliteľovi. Deliteľ má jednu číslicu za desatinnou čiarkou. To znamená, že v deliteľovi a deliteľovi musíme posunúť desatinnú čiarku doprava o jednu číslicu. Prevádzame:
Po posunutí desatinnej čiarky o jednu číslicu doprava sa z desatinného zlomku 5,95 stal zlomok 59,5. A desatinný zlomok 1,7 sa po posunutí desatinnej čiarky o jednu číslicu doprava zmenil na obvyklé číslo 17. A už vieme, ako sa desatinný zlomok delí bežným číslom. Ďalší výpočet nie je ťažký:
Čiarka je presunutá doprava, aby sa uľahčilo delenie. Je to povolené, pretože pri vynásobení alebo delení dividendy a deliteľa rovnakým číslom sa podiel nezmení. Čo to znamená?
Toto je jedna zo zaujímavých vlastností delenia. Nazýva sa to vlastnosť kvocientu. Uvažujme výraz 9: 3 = 3. Ak sa v tomto výraze delenec a deliteľ vynásobia alebo vydelia rovnakým číslom, potom sa podiel 3 nezmení.
Vynásobme dividendu a deliteľa 2 a uvidíme, čo z toho vzíde:
(9 × 2): (3 × 2) = 18: 6 = 3
Ako vidno z príkladu, kvocient sa nezmenil.
To isté sa stane, keď posunieme čiarku v dividende a v deliteľovi. V predchádzajúcom príklade, kde sme vydelili 5,91 číslom 1,7, sme posunuli čiarku v dividende a deliteľovi o jednu číslicu doprava. Po posunutí desatinnej čiarky sa zlomok 5,91 pretransformoval na zlomok 59,1 a zlomok 1,7 sa zmenil na obvyklé číslo 17.
V skutočnosti v tomto procese došlo k násobeniu 10. Takto to vyzeralo:
5,91 × 10 = 59,1
Preto počet číslic za desatinnou čiarkou v deliteľovi určuje, čím sa bude delenec a deliteľ násobiť. Inými slovami, počet číslic za desatinnou čiarkou v deliteľovi určí, o koľko číslic v deleni a v deliteľovi sa desatinná čiarka posunie doprava.
Delenie desatinného čísla 10, 100, 1000
Delenie desatinného čísla 10, 100 alebo 1000 sa vykonáva rovnakým spôsobom ako . Napríklad vydeľte 2,1 10. Vyriešte tento príklad pomocou rohu:
Existuje však aj druhý spôsob. Je ľahší. Podstatou tejto metódy je, že čiarka v delenci sa posunie doľava o toľko číslic, koľko núl je v deliteľovi.
Vyriešme predchádzajúci príklad takto. 2,1: 10. Pozeráme sa na deliteľa. Zaujíma nás, koľko núl je v ňom. Vidíme, že je tam jedna nula. To znamená, že v dividende 2,1 musíte posunúť desatinnú čiarku doľava o jednu číslicu. Čiarku posunieme o jednu číslicu doľava a vidíme, že už nezostali žiadne ďalšie číslice. V tomto prípade pridajte pred číslo ďalšiu nulu. Výsledkom je 0,21
Skúsme vydeliť 2,1 100. V 100 sú dve nuly. To znamená, že v dividende 2.1 musíme posunúť čiarku doľava o dve číslice:
2,1: 100 = 0,021
Skúsme vydeliť 2,1 1000. V 1000 sú tri nuly. To znamená, že v dividende 2.1 musíte posunúť čiarku doľava o tri číslice:
2,1: 1000 = 0,0021
Delenie desatinného čísla 0,1, 0,01 a 0,001
Delenie desatinného zlomku 0,1, 0,01 a 0,001 sa vykonáva rovnakým spôsobom ako . V delenci a v deliteľovi musíte posunúť desatinnú čiarku doprava o toľko číslic, koľko je za desatinnou čiarkou v deliteľovi.
Napríklad vydeľme 6,3 číslom 0,1. Najprv posuňme čiarky v deliteľovi a deliteľovi doprava o rovnaký počet číslic, aký je za desatinnou čiarkou v deliteľovi. Deliteľ má jednu číslicu za desatinnou čiarkou. To znamená, že posunieme čiarky v dividende a deliteľovi doprava o jednu číslicu.
Po posunutí desatinnej čiarky o jednu číslicu doprava sa desatinný zlomok 6,3 stane obvyklým číslom 63 a desatinný zlomok 0,1 po posunutí desatinnej čiarky doprava o jednu číslicu sa zmení na jednotku. A delenie 63 číslom 1 je veľmi jednoduché:
To znamená, že hodnota výrazu 6,3: 0,1 je 63
Existuje však aj druhý spôsob. Je ľahší. Podstatou tejto metódy je, že čiarka v delenci sa posunie doprava o toľko číslic, koľko núl je v deliteľovi.
Vyriešme predchádzajúci príklad takto. 6,3: 0,1. Pozrime sa na deliteľa. Zaujíma nás, koľko núl je v ňom. Vidíme, že je tam jedna nula. To znamená, že v dividende 6,3 musíte posunúť desatinnú čiarku doprava o jednu číslicu. Posuňte čiarku o jedno číslo doprava a získate 63
Skúsme vydeliť 6,3 číslom 0,01. Deliteľ 0,01 má dve nuly. To znamená, že v dividende 6.3 musíme posunúť desatinnú čiarku doprava o dve číslice. Ale v dividende je len jedna číslica za desatinnou čiarkou. V tomto prípade musíte na koniec pridať ďalšiu nulu. Výsledkom je 630
Skúsme vydeliť 6,3 číslom 0,001. Deliteľ 0,001 má tri nuly. To znamená, že v dividende 6.3 musíme posunúť desatinnú čiarku doprava o tri číslice:
6,3: 0,001 = 6300
Úlohy na samostatné riešenie
Páčila sa vám lekcia?
Pripojte sa k našej novej skupine VKontakte a začnite dostávať upozornenia na nové lekcie
Už na základnej škole sú žiaci vystavení zlomkom. A potom sa objavia v každej téme. Na akcie s týmito číslami nemôžete zabudnúť. Preto potrebujete vedieť všetky informácie o obyčajných a desatinných zlomkoch. Tieto pojmy nie sú zložité, hlavnou vecou je pochopiť všetko v poriadku.
Prečo sú potrebné zlomky?
Svet okolo nás pozostáva z celých predmetov. O akcie preto nie je núdza. Ale každodenný život neustále tlačí ľudí k práci s časťami predmetov a vecí.
Napríklad čokoláda sa skladá z niekoľkých kusov. Predstavte si situáciu, že jeho dlaždicu tvorí dvanásť obdĺžnikov. Ak ho rozdelíte na dve časti, získate 6 častí. Dá sa ľahko rozdeliť na tri. Ale nebude možné dať piatim ľuďom celý počet čokoládových rezov.
Mimochodom, tieto plátky sú už zlomky. A ich ďalšie delenie vedie k vzniku zložitejších čísel.
Čo je to "zlomok"?
Toto je číslo zložené z častí jednotky. Navonok to vyzerá ako dve čísla oddelené vodorovnou čiarou alebo lomkou. Táto funkcia sa nazýva zlomková. Číslo napísané hore (vľavo) sa nazýva čitateľ. To, čo je dole (vpravo), je menovateľ.
V podstate sa lomka ukáže ako znak delenia. To znamená, že čitateľ sa môže nazývať dividenda a menovateľ sa môže nazývať deliteľ.
Aké zlomky existujú?
V matematike existujú iba dva typy: obyčajné a desatinné zlomky. S prvými sa školáci zoznámia na základnej škole a nazývajú ich jednoducho „zlomky“. To druhé sa bude učiť v 5. ročníku. Vtedy sa objavia tieto mená.
Bežné zlomky sú všetky tie, ktoré sú zapísané ako dve čísla oddelené čiarou. Napríklad 4/7. Desatinné číslo je číslo, v ktorom má zlomková časť pozičný zápis a je oddelené od celého čísla čiarkou. Napríklad 4.7. Študenti musia jasne pochopiť, že uvedené dva príklady sú úplne odlišné čísla.
Každý jednoduchý zlomok možno zapísať ako desatinné číslo. Toto tvrdenie je takmer vždy pravdivé naopak. Existujú pravidlá, ktoré vám umožňujú zapísať desatinný zlomok ako bežný zlomok.
Aké podtypy majú tieto typy zlomkov?
Je lepšie začať v chronologickom poradí, ako sú študované. Na prvom mieste sú bežné zlomky. Medzi nimi možno rozlíšiť 5 poddruhov.
Správne. Jeho čitateľ je vždy menší ako jeho menovateľ.
Nesprávne. Jeho čitateľ je väčší alebo rovný jeho menovateľovi.
Redukovateľný/neredukovateľný. Môže sa ukázať ako správne alebo nesprávne. Ďalšou dôležitou vecou je, či čitateľ a menovateľ majú spoločné faktory. Ak existujú, potom je potrebné obe časti zlomku nimi rozdeliť, to znamená znížiť.
Zmiešané. Celé číslo je priradené k jeho obvyklej pravidelnej (nepravidelnej) zlomkovej časti. Navyše je vždy vľavo.
Kompozitný. Tvorí sa z dvoch navzájom oddelených frakcií. To znamená, že obsahuje tri zlomkové čiary naraz.
Desatinné zlomky majú iba dva podtypy:
konečný, teda taký, ktorého zlomková časť je obmedzená (má koniec);
nekonečné - číslo, ktorého číslice za desatinnou čiarkou nekončia (možno ich písať donekonečna).
Ako previesť desatinný zlomok na bežný zlomok?
Ak je toto konečné číslo, potom sa aplikuje asociácia na základe pravidla - ako počujem, tak píšem. To znamená, že ho musíte správne prečítať a zapísať, ale bez čiarky, ale so zlomkom.
Ako pomôcku o požadovanom menovateli si musíte pamätať, že je to vždy jedna a niekoľko núl. Musíte napísať toľko z nich, koľko je číslic v zlomkovej časti príslušného čísla.
Ako previesť desatinné zlomky na obyčajné zlomky, ak ich celočíselná časť chýba, to znamená rovná nule? Napríklad 0,9 alebo 0,05. Po použití zadaného pravidla sa ukáže, že musíte napísať nula celých čísel. Ale to nie je uvedené. Zostáva len zapísať zlomkové časti. Prvé číslo bude mať menovateľa 10, druhé bude mať menovateľa 100. To znamená, že uvedené príklady budú mať ako odpovede tieto čísla: 9/10, 5/100. Navyše sa ukazuje, že to druhé možno znížiť o 5. Preto je potrebné zapísať výsledok ako 1/20.
Ako môžete previesť desatinný zlomok na obyčajný zlomok, ak sa jeho celočíselná časť líši od nuly? Napríklad 5,23 alebo 13,00108. V oboch príkladoch sa načíta celá časť a zapíše sa jej hodnota. V prvom prípade je to 5, v druhom je to 13. Potom musíte prejsť na zlomkovú časť. Predpokladá sa, že s nimi bude vykonaná rovnaká operácia. Prvé číslo sa objaví 23/100, druhé - 108/100000. Druhú hodnotu je potrebné opäť znížiť. Odpoveď dáva tieto zmiešané zlomky: 5 23/100 a 13 27/25 000.
Ako previesť nekonečný desatinný zlomok na obyčajný zlomok?
Ak je to neperiodické, potom takáto operácia nebude možná. Táto skutočnosť je spôsobená skutočnosťou, že každý desatinný zlomok je vždy prevedený buď na konečný alebo periodický zlomok.
Jediné, čo môžete s takýmto zlomkom urobiť, je zaokrúhliť ho. Ale potom sa desatinné číslo bude približne rovnať tomu nekonečnu. Dá sa už premeniť na obyčajný. Ale opačný proces: prevod na desatinné číslo nikdy nedá počiatočnú hodnotu. To znamená, že nekonečné neperiodické zlomky sa nepremieňajú na obyčajné zlomky. Toto je potrebné mať na pamäti.
Ako zapísať nekonečný periodický zlomok ako obyčajný zlomok?
V týchto číslach je vždy jedna alebo viac číslic za desatinnou čiarkou, ktoré sa opakujú. Hovorí sa im obdobie. Napríklad 0,3(3). Tu je "3" v období. Sú klasifikované ako racionálne, pretože sa dajú previesť na bežné zlomky.
Tí, ktorí sa stretli s periodickými zlomkami, vedia, že môžu byť čisté alebo zmiešané. V prvom prípade bodka začína hneď od čiarky. V druhom sa zlomková časť začína niekoľkými číslami a potom sa začína opakovanie.
Pravidlo, podľa ktorého musíte písať nekonečnú desatinnú čiarku ako spoločný zlomok, sa bude líšiť pre dva uvedené typy čísel. Je celkom jednoduché písať čisté periodické zlomky ako obyčajné zlomky. Rovnako ako u konečných je potrebné ich previesť: zapíšte si bodku do čitateľa a menovateľom bude číslo 9, ktoré sa opakuje toľkokrát, koľko číslic bodka obsahuje.
Napríklad 0, (5). Číslo nemá celú časť, takže musíte okamžite začať s zlomkovou časťou. Ako čitateľ napíš 5 a ako menovateľ 9. To znamená, že odpoveď bude zlomok 5/9.
Pravidlo, ako zapísať obyčajný desatinný periodický zlomok, ktorý je zmiešaný.
Pozrite sa na dĺžku obdobia. Toľko 9 bude mať menovateľ.
Zapíšte si menovateľa: najprv deviatky, potom nuly.
Ak chcete určiť čitateľa, musíte zapísať rozdiel dvoch čísel. Všetky čísla za desatinnou čiarkou budú minimalizované spolu s bodkou. Odpočítateľná - je bez bodky.
Napríklad 0,5(8) - zapíšte periodický desatinný zlomok ako bežný zlomok. Zlomková časť pred bodkou obsahuje jednu číslicu. Takže tam bude jedna nula. V perióde je tiež len jedno číslo - 8. To znamená, že je len jedna deviatka. To znamená, že do menovateľa musíte napísať 90.
Ak chcete určiť čitateľa, musíte od 58 odčítať 5. Ukáže sa 53. Odpoveď by ste napríklad museli napísať ako 53/90.
Ako sa zlomky prevedú na desatinné miesta?
Najjednoduchšou možnosťou je číslo, ktorého menovateľom je číslo 10, 100 atď. Potom sa menovateľ jednoducho zahodí a medzi zlomkovú a celočíselnú časť sa vloží čiarka.
Sú situácie, keď sa menovateľ ľahko zmení na 10, 100 atď. Napríklad čísla 5, 20, 25. Stačí ich vynásobiť 2, 5 a 4. Stačí vynásobiť nielen menovateľa, ale aj čitateľa rovnakým číslom.
Pre všetky ostatné prípady je užitočné jednoduché pravidlo: vydeľte čitateľa menovateľom. V tomto prípade môžete dostať dve možné odpovede: konečný alebo periodický desatinný zlomok.
Operácie s obyčajnými zlomkami
Sčítanie a odčítanie
Žiaci sa s nimi zoznámia skôr ako ostatní. Okrem toho majú zlomky najprv rovnakých menovateľov a potom ich majú rôzne. Všeobecné pravidlá možno zredukovať na tento plán.
Nájdite najmenší spoločný násobok menovateľov.
Napíšte ďalšie faktory pre všetky bežné zlomky.
Vynásobte čitateľov a menovateľov faktormi, ktoré sú pre ne určené.
Sčítajte (odčítajte) čitateľov zlomkov a ponechajte spoločného menovateľa nezmenený.
Ak je čitateľ minuendu menší ako subtrahend, potom musíme zistiť, či máme zmiešané číslo alebo správny zlomok.
V prvom prípade si treba požičať jeden z celej časti. Pridajte menovateľa do čitateľa zlomku. A potom urobte odčítanie.
V druhom je potrebné uplatniť pravidlo odčítania väčšieho čísla od menšieho čísla. To znamená, že od modulu subtrahendu odčítajte modul minuendu a ako odpoveď vložte znak „-“.
Pozorne si prezrite výsledok sčítania (odčítania). Ak získate nesprávny zlomok, musíte vybrať celú časť. To znamená, že vydeľte čitateľa menovateľom.
Násobenie a delenie
Na ich vykonanie nie je potrebné zlomky redukovať na spoločného menovateľa. To uľahčuje vykonávanie akcií. Ale stále vyžadujú, aby ste dodržiavali pravidlá.
Pri násobení zlomkov sa musíte pozrieť na čísla v čitateloch a menovateľoch. Ak má niektorý čitateľ a menovateľ spoločný faktor, možno ich znížiť.
Vynásobte čitateľov.
Vynásobte menovateľov.
Ak je výsledkom redukovateľný zlomok, potom ho treba znova zjednodušiť.
Pri delení musíte najskôr nahradiť delenie násobením a deliteľa (druhý zlomok) zlomkom (zameniť čitateľa a menovateľa).
Potom postupujte ako pri násobení (začnite od bodu 1).
V úlohách, kde potrebujete vynásobiť (deliť) celým číslom, by sa toto číslo malo zapísať ako nesprávny zlomok. To znamená s menovateľom 1. Potom postupujte podľa vyššie uvedeného popisu.
Operácie s desatinnými miestami
Sčítanie a odčítanie
Samozrejme, vždy môžete previesť desatinné miesto na zlomok. A konať podľa už opísaného plánu. Niekedy je však pohodlnejšie konať bez tohto prekladu. Potom budú pravidlá pre ich sčítanie a odčítanie úplne rovnaké.
Vyrovnajte počet číslic v zlomkovej časti čísla, teda za desatinnou čiarkou. Pridajte k nej chýbajúci počet núl.
Zlomky píšte tak, aby bola čiarka pod čiarkou.
Sčítajte (odčítajte) ako prirodzené čísla.
Odstráňte čiarku.
Násobenie a delenie
Je dôležité, aby ste sem nemuseli pridávať nuly. Zlomky by mali byť ponechané tak, ako sú uvedené v príklade. A potom ísť podľa plánu.
Ak chcete násobiť, musíte zlomky písať pod sebou, čiarky ignorujte.
Násobte ako prirodzené čísla.
Do odpovede vložte čiarku, pričom od pravého konca odpovede počítajte toľko číslic, koľko je v zlomkových častiach oboch faktorov.
Ak chcete deliť, musíte najprv transformovať deliteľa: urobiť z neho prirodzené číslo. To znamená, vynásobte ho 10, 100 atď., v závislosti od toho, koľko číslic je v zlomkovej časti deliteľa.
Vynásobte dividendu rovnakým číslom.
Vydeľte desatinný zlomok prirodzeným číslom.
V odpovedi umiestnite čiarku v momente, keď sa končí delenie celej časti.
Čo ak jeden príklad obsahuje oba typy zlomkov?
Áno, v matematike sú často príklady, v ktorých musíte vykonávať operácie s obyčajnými a desatinnými zlomkami. Pri takýchto úlohách existujú dve možné riešenia. Treba objektívne zvážiť čísla a vybrať si to optimálne.
Prvý spôsob: predstavujú obyčajné desatinné miesta
Je vhodné, ak výsledkom delenia alebo prekladu sú konečné zlomky. Ak aspoň jedno číslo uvádza periodickú časť, potom je táto technika zakázaná. Preto, aj keď neradi pracujete s obyčajnými zlomkami, budete ich musieť počítať.
Druhý spôsob: píšte desatinné zlomky ako obyčajné
Táto technika sa ukáže ako vhodná, ak časť za desatinnou čiarkou obsahuje 1-2 číslice. Ak ich je viac, môžete skončiť s veľmi veľkým spoločným zlomkom a desiatkový zápis zrýchli a zjednoduší výpočet úlohy. Preto treba vždy triezvo zhodnotiť úlohu a zvoliť najjednoduchší spôsob riešenia.
Zlomky zapísané v tvare 0,8; 0,13; 2,856; 5,2; 0,04 sa nazýva desatinné. V skutočnosti sú desatinné čísla zjednodušeným zápisom obyčajných zlomkov. Tento zápis je vhodný na použitie pre všetky zlomky, ktorých menovateľmi sú 10, 100, 1000 atď.
Pozrime sa na príklady (0,5 sa číta ako nultý bod päť);
(0,15 čítané ako, nula bodu pätnásť);
(5.3 znie ako, piaty bod tri).
Upozorňujeme, že v zápise desatinného zlomku oddeľuje čiarka celú časť čísla od zlomkovej časti, celá časť vlastného zlomku je 0. Zápis zlomkovej časti desatinného zlomku obsahuje toľko číslic, koľko v zápise menovateľa príslušného obyčajného zlomku sú nuly.
Pozrime sa na príklad, 
, 
, 
.
V niektorých prípadoch môže byť potrebné považovať prirodzené číslo za desatinné číslo, ktorého zlomková časť je nula. Je zvykom písať, že 5 = 5,0; 245 = 245,0 a tak ďalej. Všimnite si, že v desiatkovom zápise prirodzeného čísla je jednotka najmenej významnej číslice 10-krát menšia ako jednotka susednej najvýznamnejšej číslice. Rovnakú vlastnosť má aj zápis desatinných zlomkov. Preto hneď za desatinnou čiarkou je miesto v desatinách, potom miesto v stotinách, potom miesto v tisícinách atď. Nižšie sú uvedené názvy číslic čísla 31,85431, prvé dva stĺpce sú celočíselnou časťou, zvyšné stĺpce sú zlomkovou časťou.
Tento zlomok sa číta ako tridsaťjeden bod osemdesiatpäťtisícštyristotridsaťstotisícin.
Sčítanie a odčítanie desatinných miest
Prvým spôsobom je previesť desatinné zlomky na obyčajné zlomky a vykonať sčítanie. 
Ako vidno z príkladu, táto metóda je veľmi nepohodlná a je lepšie použiť druhú metódu, ktorá je správnejšia, bez premeny desatinných zlomkov na obyčajné. Ak chcete pridať dva desatinné zlomky, musíte:
- vyrovnať počet číslic za desatinnou čiarkou v podmienkach;
- napíš pojmy pod sebou tak, aby každá číslica druhého termínu bola pod zodpovedajúcou číslicou prvého termínu;
- pridajte výsledné čísla rovnakým spôsobom ako prirodzené čísla;
- Vo výslednom súčte umiestnite čiarku pod čiarky v podmienkach.
Pozrime sa na príklady:
- vyrovnať počet číslic za desatinnou čiarkou v minuende a subtrahende;
- napíšte subtrahend pod menovku tak, aby každá číslica subtrahendu bola pod zodpovedajúcou číslicou menovky;
- vykonávať odčítanie rovnakým spôsobom, ako sa odčítavajú prirodzené čísla;
- do výsledného rozdielu dajte čiarku pod čiarky v minuende a subtrahende.
Pozrime sa na príklady:
Na príkladoch diskutovaných vyššie je vidieť, že sčítanie a odčítanie desatinných zlomkov prebiehalo bit po bite, teda rovnakým spôsobom, ako sme robili podobné operácie s prirodzenými číslami. To je hlavná výhoda desiatkovej formy zápisu zlomkov.
Násobenie desatinných miest
Ak chcete vynásobiť desatinný zlomok 10, 100, 1 000 atď., musíte posunúť desatinnú čiarku v tomto zlomku doprava o 1, 2, 3 atď. Preto, ak sa čiarka posunie doprava o 1, 2, 3 atď. číslice, zlomok sa zodpovedajúcim spôsobom zvýši o 10, 100, 1000 atď. Ak chcete vynásobiť dva desatinné zlomky, musíte:
- vynásobte ich ako prirodzené čísla, čiarky ignorujte;
- vo výslednom produkte oddeľte čiarkou toľko číslic vpravo, koľko je za čiarkami v oboch faktoroch spolu.
Sú prípady, keď súčin obsahuje menej číslic, než je potrebné oddeliť čiarkou, požadovaný počet núl sa pridá vľavo pred tento súčin a potom sa čiarka posunie doľava o požadovaný počet číslic.
Pozrime sa na príklady: 2 * 4 = 8, potom 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, potom 0,023 * 0,35 = 0,00805.
Existujú prípady, keď sa jeden z multiplikátorov rovná 0,1; 0,01; 0,001 a tak ďalej, je vhodnejšie použiť nasledujúce pravidlo.
- Vynásobenie desatinného miesta číslom 0,1; 0,01; 0,001 a tak ďalej, v tomto desatinnom zlomku musíte posunúť desatinnú čiarku doľava o 1, 2, 3 atď.
Pozrime sa na príklady: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.
Vlastnosti násobenia prirodzených čísel platia aj pre desatinné zlomky.
- ab = ba- komutatívna vlastnosť násobenia;
- (ab) c = a (bc)- asociatívna vlastnosť násobenia;
- a (b + c) = ab + ac je distributívna vlastnosť násobenia vzhľadom na sčítanie.
Desatinné delenie
Je známe, že ak delíte prirodzené číslo a na prirodzené číslo b znamená nájsť také prirodzené číslo c, čo po vynásobení b dáva číslo a. Toto pravidlo platí, ak je aspoň jedno z čísel a, b, c je desatinný zlomok.
Pozrime sa na príklad: musíte vydeliť 43,52 číslom 17 rohom, pričom čiarku ignorujete. V tomto prípade by mala byť čiarka v kvociente umiestnená bezprostredne pred prvou číslicou za desatinnou čiarkou v dividende.
Existujú prípady, keď je dividenda menšia ako deliteľ, potom sa celá časť kvocientu rovná nule. Pozrime sa na príklad:
Pozrime sa na ďalší zaujímavý príklad.
Proces delenia sa zastavil, pretože sa minuli číslice dividendy a zvyšok nemá nulu. Je známe, že desatinný zlomok sa nezmení, ak sa k nemu vpravo pridá ľubovoľný počet núl. Potom je jasné, že čísla dividend nemôžu skončiť.
Ak chcete deliť desatinný zlomok 10, 100, 1 000 atď., musíte posunúť desatinnú čiarku v tomto zlomku doľava o 1, 2, 3 atď. Pozrime sa na príklad: 5,14: 10 = 0,514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.
Ak sa dividenda a deliteľ zvýšia súčasne o 10, 100, 1000 atď., potom sa podiel nezmení.
Uvažujme o príklade: 39,44: 1,6 = 24,65, zvýšte dividendu a deliteľa 10-krát 394,4: 16 = 24,65 Je spravodlivé poznamenať, že delenie desatinného zlomku prirodzeným číslom v druhom príklade je jednoduchšie.
Ak chcete deliť desatinný zlomok desatinným číslom, musíte:
- posuňte čiarky v deliteľovi a deliteľovi doprava o toľko číslic, koľko je za desatinnou čiarkou v deliteľovi;
- deliť prirodzeným číslom.
Zoberme si príklad: 23,6: 0,02, všimnime si, že deliteľ má dve desatinné miesta, preto obe čísla vynásobíme 100 a dostaneme 2360: 2 = 1180, výsledok vydelíme 100 a dostaneme odpoveď 11,80 alebo 23,6: 0, 02 = 11.8.
Porovnanie desatinných miest
Existujú dva spôsoby porovnávania desatinných miest. Metóda jedna, musíte porovnať dva desatinné zlomky 4,321 a 4,32, vyrovnať počet desatinných miest a začať porovnávať miesto po mieste, desatiny s desatinami, stotiny so stotinami, a tak ďalej, nakoniec dostaneme 4,321 > 4,320.
Druhý spôsob porovnania desatinných zlomkov je násobením, vynásobte uvedený príklad číslom 1000 a porovnajte 4321 > 4320. Ktorý spôsob je pohodlnejší, si každý vyberie sám.
KAPITOLA III.
desiatkové čísla.
§ 31. Úlohy a príklady na všetky operácie s desatinnými zlomkami.
Nasleduj tieto kroky:
767. Nájdite podiel delenia:
Nasleduj tieto kroky:
772. Vypočítať:
Nájsť X , Ak:
776. Neznáme číslo sa vynásobilo rozdielom medzi číslami 1 a 0,57 a súčin bol 3,44. Nájdite neznáme číslo.
777. Súčet neznámeho čísla a 0,9 sa vynásobil rozdielom medzi 1 a 0,4 a súčin bol 2,412. Nájdite neznáme číslo.
778. Pomocou údajov z diagramu o tavení železa v RSFSR (obr. 36) vytvorte problém, na vyriešenie ktorého musíte použiť akcie sčítania, odčítania a delenia.
779. 1) Dĺžka Suezského prieplavu je 165,8 km, dĺžka Panamského prieplavu je o 84,7 km menšia ako Suezský prieplav a dĺžka Bielomorsko-Baltského prieplavu je o 145,9 km väčšia ako dĺžka Panamského prieplavu. Aká je dĺžka kanála Biele more a Baltské more?
2) Moskovské metro (do roku 1959) bolo postavené v 5 etapách. Dĺžka prvej etapy metra je 11,6 km, druhej -14,9 km, dĺžka tretej je o 1,1 km menšia ako dĺžka druhej etapy, dĺžka štvrtej etapy je o 9,6 km dlhšia ako tretia etapa. , a dĺžka piatej etapy je o 11,5 km menej štvrtej. Aká bola dĺžka moskovského metra na začiatku roku 1959?
780. 1) Najväčšia hĺbka Atlantického oceánu je 8,5 km, najväčšia hĺbka Tichého oceánu je o 2,3 km väčšia ako hĺbka Atlantického oceánu a najväčšia hĺbka Severného ľadového oceánu je 2-krát menšia ako najväčšia hĺbka Tichý oceán. Aká je najväčšia hĺbka Severného ľadového oceánu?
2) Auto Moskvich spotrebuje 9 litrov benzínu na 100 km, auto Pobeda spotrebuje o 4,5 litra viac ako Moskvich a Volga je 1,1-krát viac ako Pobeda. Koľko benzínu spotrebuje auto Volga na 1 km jazdy? (Zaokrúhlená odpoveď s presnosťou na 0,01 l.)
781. 1) Žiak išiel cez prázdniny k dedkovi. Po železnici cestoval 8,5 hodiny, zo stanice na koni 1,5 hodiny. Celkovo precestoval 440 km. Akou rýchlosťou išiel študent po železnici, ak išiel na koňoch rýchlosťou 10 km za hodinu?
2) Kolektívny farmár musel byť v bode, ktorý sa nachádzal vo vzdialenosti 134,7 km od jeho domova. Autobusom išiel 2,4 hodiny priemernou rýchlosťou 55 km za hodinu, zvyšok cesty išiel rýchlosťou 4,5 km za hodinu. Ako dlho chodil?
782. 1) Počas leta jeden gopher zničí asi 0,12 centov chleba. Na jar pionieri vyhubili 1250 sysel na 37,5 hektároch. Koľko chleba ušetrili školáci pre JZD? Koľko ušetreného chleba je na 1 hektár?
2) JZD vypočítalo, že ničením gopherov na ploche 15 hektárov ornej pôdy ušetrili školáci 3,6 tony obilia. Koľko hluchavcov sa zničí v priemere na 1 hektár pôdy, ak jedna hlucháň zničí cez leto 0,012 tony obilia?
783. 1) Pri mletí pšenice na múku sa stratí 0,1 jej hmotnosti a pri pečení sa získa výpek rovnajúci sa 0,4 hmotnosti múky. Koľko upečeného chleba sa vyrobí z 2,5 tony pšenice?
2) JZD vyzbieralo 560 ton slnečnicových semien. Koľko slnečnicového oleja sa vyrobí z nazbieraných zŕn, ak hmotnosť zrna je 0,7 hmotnosti slnečnicových semien a hmotnosť výsledného oleja je 0,25 hmotnosti zrna?
784. 1) Výťažnosť smotany z mlieka je 0,16 hmotnosti mlieka a výťažnosť masla zo smotany je 0,25 hmotnosti smotany. Koľko mlieka (podľa hmotnosti) je potrebné na výrobu 1 centu masla?
2) Koľko kilogramov suchohríbov treba nazbierať na získanie 1 kg sušených húb, ak pri príprave na sušenie zostane 0,5 z hmotnosti a počas sušenia 0,1 z hmotnosti spracovanej huby?
785. 1) Pôda pridelená JZD sa využíva takto: 55 % z nej zaberá orná pôda, 35 % lúka a zvyšok pôdy vo výmere 330,2 ha je pridelený na záhradu JZD a na statky kolektívnych farmárov. Koľko pôdy je na JZD?
2) JZD osialo 75 % z celkovej osiatej plochy obilninami, 20 % zeleninou a zvyšnú plochu kŕmnymi trávami. Akú osevnú plochu malo JZD, ak zasialo 60 hektárov kŕmnych tráv?
786. 1) Koľko centov semien bude potrebných na zasiatie poľa v tvare obdĺžnika s dĺžkou 875 m a šírkou 640 m, ak sa na 1 hektár zasiate 1,5 centu semien?
2) Koľko centov semien bude potrebných na zasiatie poľa v tvare obdĺžnika, ak je jeho obvod 1,6 km? Šírka poľa je 300 m. Na zasiatie 1 hektára je potrebných 1,5 centu semien.
787. Koľko štvorcových tanierov so stranou 0,2 dm sa zmestí do obdĺžnika s rozmermi 0,4 dm x 10 dm?
788. Čitáreň má rozmery 9,6 m x 5 m x 4,5 m Na koľko miest je určená čitáreň, ak sú potrebné 3 metre kubické na osobu? m vzduchu?
789. 1) Akú plochu lúky pokosí traktor s prívesom štyroch kosačiek za 8 hodín, ak je pracovná šírka každej kosačky 1,56 m a rýchlosť traktora je 4,5 km za hodinu? (Čas zastávok sa neberie do úvahy.) (Odpoveď zaokrúhlite na najbližších 0,1 hektára.)
2) Pracovná šírka traktorovej sejačky zeleniny je 2,8 m Aká plocha sa dá touto sejačkou posiať za 8 hodín. pracovať rýchlosťou 5 km za hodinu?
790. 1) Nájdite výkon trojradličného traktorového pluhu za 10 hodín. práce, ak je rýchlosť traktora 5 km za hodinu, priľnavosť jedného tela je 35 cm a strata času bola 0,1 z celkového času stráveného. (Odpoveď zaokrúhlite na najbližších 0,1 hektára.)
2) Nájdite výkon päťradličného traktorového pluhu za 6 hodín. práce, ak je rýchlosť traktora 4,5 km za hodinu, priľnavosť jedného tela je 30 cm a strata času bola 0,1 z celkového času stráveného. (Odpoveď zaokrúhlite na najbližších 0,1 hektára.)
791. Spotreba vody na 5 km jazdy pre parný rušeň osobného vlaku je 0,75 t. Vodná nádrž tendra pojme 16,5 tony vody. Koľko kilometrov bude mať vlak dostatok vody na prejdenie, ak bude nádrž naplnená na 0,9 jej kapacity?
792. Na vlečku sa zmestí len 120 nákladných vozňov s priemernou dĺžkou vozňa 7,6 m. Koľko štvornápravových osobných vozňov, každý s dĺžkou 19,2 m, sa zmestí na túto koľaj, ak sa na túto koľaj umiestni o 24 nákladných vozňov viac?
793. Na zabezpečenie pevnosti železničného násypu sa odporúča spevnenie svahov výsevom poľných tráv. Na každý štvorcový meter násypu je potrebných 2,8 g semien, čo stojí 0,25 rubľov. na 1 kg. Koľko bude stáť zasiatie 1,02 hektára svahov, ak cena práce je 0,4 ceny osiva? (Odpoveď zaokrúhlite na najbližší 1 rubeľ.)
794. Tehliareň dodávala tehly na železničnú stanicu. Na preprave tehál pracovalo 25 koní a 10 nákladných áut. Každý kôň viezol 0,7 tony na jednu cestu a vykonal 4 cesty za deň. Každé vozidlo prepravilo 2,5 tony na cestu a vykonalo 15 jázd denne. Preprava trvala 4 dni. Koľko tehál bolo dodaných na stanicu, ak priemerná hmotnosť jednej tehly je 3,75 kg? (Odpoveď zaokrúhlite na najbližších tisíc jednotiek.)
795. Zásoba múky bola rozdelená medzi tri pekárne: prvá dostala 0,4 z celkového množstva, druhá 0,4 zvyšku a tretia pekáreň dostala o 1,6 tony múky menej ako prvá. Koľko múky sa celkovo rozdalo?
796. V druhom ročníku ústavu študuje 176 študentov, v treťom 0,875 z tohto počtu a v prvom je jedenapolkrát viac ako v treťom ročníku. Počet študentov v prvom, druhom a treťom ročníku bol 0,75 z celkového počtu študentov tohto ústavu. Koľko študentov bolo v ústave?
797. Nájdite aritmetický priemer:
1) dve čísla: 56,8 a 53,4; 705,3 a 707,5;
2) tri čísla: 46,5; 37,8 a 36; 0,84; 0,69 a 0,81;
3) štyri čísla: 5,48; 1,36; 3.24 a 2.04.
798. 1) Ráno bola teplota 13,6°, napoludnie 25,5° a večer 15,2°. Vypočítajte priemernú teplotu pre tento deň.
2) Aká je priemerná teplota za týždeň, ak počas týždňa teplomer ukazoval: 21°; 20,3°; 22,2°; 23,5°; 21,1°; 22,1°; 20,8°?
799. 1) Školská družina vyplila prvý deň 4,2 hektára repy, druhý deň 3,9 hektára a tretí deň 4,5 hektára. Určte priemerný výkon tímu za deň.
2) Na stanovenie štandardného času výroby nového dielu boli dodané 3 obracačky. Prvý vyrobil diel za 3,2 minúty, druhý za 3,8 minúty a tretí za 4,1 minúty. Vypočítajte časový štandard, ktorý bol nastavený na výrobu dielu.
800. 1) Aritmetický priemer dvoch čísel je 36,4. Jedno z týchto čísel je 36,8. Nájdite si niečo iné.
2) Teplota vzduchu sa merala trikrát denne: ráno, napoludnie a večer. Nájdite teplotu vzduchu ráno, ak bola na poludnie 28,4 °, večer 18,2 ° a priemerná denná teplota je 20,4 °.
801. 1) Auto prešlo za prvé dve hodiny 98,5 km a za ďalšie tri hodiny 138 km. Koľko kilometrov prešlo priemerné auto za hodinu?
2) Skúšobný úlovok a váženie ročného kapra ukázalo, že z 10 kaprov mali 4 0,6 kg, 3 0,65 kg, 2 0,7 kg a 1 0,8 kg. Aká je priemerná hmotnosť ročného kapra?
802. 1) Za 2 litre sirupu v cene 1,05 rubľov. na 1 liter sa pridá 8 litrov vody. Koľko stojí 1 liter výslednej vody so sirupom?
2) Hosteska kúpila 0,5 litrovú konzervu boršču za 36 kopejok. a prevaríme s 1,5 litrom vody. Koľko stojí tanier boršču, ak je jeho objem 0,5 litra?
803. Laboratórna práca „Meranie vzdialenosti medzi dvoma bodmi“,
1. stretnutie. Meranie zvinovacím metrom (meracia páska). Trieda je rozdelená na jednotky po troch ľuďoch. Príslušenstvo: 5-6 tyčí a 8-10 štítkov.
Postup práce: 1) označia sa body A a B a nakreslí sa medzi nimi priamka (pozri úlohu 178); 2) položte meter pozdĺž zavesenej priamky a zakaždým označte koniec metra štítkom. 2. stretnutie. Meranie, kroky. Trieda je rozdelená na jednotky po troch ľuďoch. Každý žiak prejde vzdialenosť z bodu A do bodu B, pričom počíta počet svojich krokov. Vynásobením priemernej dĺžky vášho kroku výsledným počtom krokov zistíte vzdialenosť od A do B.
3. stretnutie. Meranie okom. Každý žiak natiahne ľavú ruku so zdvihnutým palcom (obr. 37) a palcom nasmeruje palec na tyč v bode B (na obrázku strom) tak, aby ľavé oko (bod A), palec a bod B boli na rovnakom mieste. priamka. Bez zmeny polohy zatvorte ľavé oko a pravým sa pozerajte na palec. Zmerajte výsledný posun okom a zvýšte ho 10-krát. Toto je vzdialenosť od A do B.
804. 1) Podľa sčítania ľudu v roku 1959 bol počet obyvateľov ZSSR 208,8 milióna ľudí a vidiecke obyvateľstvo bolo o 9,2 milióna viac ako mestské obyvateľstvo. Koľko mestských a koľko vidieckych obyvateľov bolo v ZSSR v roku 1959?
2) Podľa sčítania ľudu v roku 1913 bola populácia Ruska 159,2 milióna ľudí a mestské obyvateľstvo bolo o 103,0 milióna menej ako vidiecke. Aká bola mestská a vidiecka populácia v Rusku v roku 1913?
805. 1) Dĺžka drôtu je 24,5 m. Tento drôt bol rozrezaný na dve časti tak, že prvá časť bola o 6,8 m dlhšia ako druhá. Koľko metrov má každá časť?
2) Súčet dvoch čísel je 100,05. Jedno číslo je o 97,06 viac ako druhé. Nájdite tieto čísla.
806. 1) V troch skladoch uhlia je 8656,2 tony uhlia, v druhom sklade je o 247,3 tony uhlia viac ako v prvom a v treťom o 50,8 tony viac ako v druhom. Koľko ton uhlia je v každom sklade?
2) Súčet troch čísel je 446,73. Prvé číslo je menšie ako druhé o 73,17 a väčšie ako tretie o 32,22. Nájdite tieto čísla.
807. 1) Loď sa pohybovala po rieke rýchlosťou 14,5 km za hodinu a proti prúdu rýchlosťou 9,5 km za hodinu. Aká je rýchlosť člna na stojatej vode a aká je rýchlosť prúdu rieky?
2) Parník prešiel 85,6 km pozdĺž rieky za 4 hodiny a 46,2 km proti prúdu za 3 hodiny. Aká je rýchlosť parníka na stojatej vode a aká je rýchlosť toku rieky?
808. 1) Dva parníky dodali 3 500 ton nákladu a jeden parník dodal 1,5-krát viac nákladu ako druhý. Koľko nákladu prepravila každá loď?
2) Plocha dvoch izieb je 37,2 metrov štvorcových. m. Plocha jednej miestnosti je 2-krát väčšia ako druhá. Aká je plocha každej miestnosti?
809. 1) Z dvoch osád, ktorých vzdialenosť je 32,4 km, išiel súčasne proti sebe motocyklista a cyklista. Koľko kilometrov prejde každý z nich pred stretnutím, ak je rýchlosť motocyklistu 4-násobkom rýchlosti cyklistu?
2) Nájdite dve čísla, ktorých súčet je 26,35 a podiel delenia jedného čísla druhým je 7,5.
810. 1) Závod odoslal tri druhy nákladu s celkovou hmotnosťou 19,2 t. Hmotnosť prvého typu nákladu bola trojnásobkom hmotnosti druhého typu nákladu a hmotnosť tretieho typu nákladu bola polovičná. ako hmotnosť prvého a druhého typu nákladu spolu. Aká je hmotnosť jednotlivých druhov nákladu?
2) Za tri mesiace vyťažil tím baníkov 52,5 tisíc ton železnej rudy. V marci sa ho vyrobilo 1,3-krát, vo februári 1,2-krát viac ako v januári. Koľko rudy ťažila posádka mesačne?
811. 1) Plynovod Saratov-Moskva je o 672 km dlhší ako Moskovský kanál. Nájdite dĺžku oboch štruktúr, ak je dĺžka plynovodu 6,25-krát väčšia ako dĺžka moskovského kanála.
2) Dĺžka rieky Don je 3,934-krát väčšia ako dĺžka rieky Moskva. Nájdite dĺžku každej rieky, ak je dĺžka rieky Don o 1 467 km väčšia ako dĺžka rieky Moskva.
812. 1) Rozdiel dvoch čísel je 5,2 a podiel jedného čísla delený druhým je 5. Nájdite tieto čísla.
2) Rozdiel medzi dvoma číslami je 0,96 a ich podiel je 1,2. Nájdite tieto čísla.
813. 1) Jedno číslo je o 0,3 menšie ako druhé a je z neho 0,75. Nájdite tieto čísla.
2) Jedno číslo je o 3,9 viac ako iné číslo. Ak sa menšie číslo zdvojnásobí, bude to 0,5 väčšieho čísla. Nájdite tieto čísla.
814. 1) JZD zasialo 2600 hektárov pôdy pšenicou a ražou. Koľko hektárov pôdy bolo osiatych pšenicou a koľko ražou, ak 0,8 plochy osiatej pšenicou sa rovná 0,5 plochy osiatej ražou?
2) Zbierka dvoch chlapcov spolu predstavuje 660 známok. Koľko známok pozostáva z kolekcie každého chlapca, ak 0,5 známok prvého chlapca sa rovná 0,6 zbierky druhého chlapca?
815. Dvaja študenti mali spolu 5,4 rubľov. Potom, čo prvý minul 0,75 svojich peňazí a druhý 0,8 svojich peňazí, zostalo im rovnaké množstvo peňazí. Koľko peňazí mal každý študent?
816. 1) Dva parníky vyrážajú proti sebe z dvoch prístavov, ktorých vzdialenosť je 501,9 km. Ako dlho im bude trvať, kým sa stretnú, ak rýchlosť prvej lode je 25,5 km za hodinu a rýchlosť druhej 22,3 km za hodinu?
2) Dva vlaky vyrazili proti sebe z dvoch bodov, ktorých vzdialenosť je 382,2 km. Ako dlho im bude trvať, kým sa stretnú, ak priemerná rýchlosť prvého vlaku bola 52,8 km za hodinu a druhého 56,4 km za hodinu?
817. 1) Dve autá opustili súčasne dve mestá vo vzdialenosti 462 km a stretli sa po 3,5 hodinách. Nájdite rýchlosť každého auta, ak rýchlosť prvého bola o 12 km za hodinu väčšia ako rýchlosť druhého auta.
2) Z dvoch osád, ktorých vzdialenosť je 63 km, vyrazili súčasne k sebe motocyklista a cyklista a stretli sa po 1,2 hodine. Zistite rýchlosť motocyklistu, ak cyklista išiel rýchlosťou o 27,5 km za hodinu nižšou ako rýchlosť motocyklistu.
818. Študent si všimol, že okolo neho prešiel vlak zložený z parnej lokomotívy a 40 vozňov 35 sekúnd. Určte rýchlosť vlaku za hodinu, ak je dĺžka rušňa 18,5 m a dĺžka vozňa 6,2 m. (Odpoveď uveďte s presnosťou 1 km za hodinu.)
819. 1) Cyklista odišiel z A do B priemernou rýchlosťou 12,4 km za hodinu. Po 3 hodinách 15 minútach. ďalší cyklista vyšiel z B smerom k nemu priemernou rýchlosťou 10,8 km za hodinu. Po koľkých hodinách a v akej vzdialenosti od A sa stretnú, ak 0,32 je vzdialenosť medzi A a B 76 km?
2) Z miest A a B, ktorých vzdialenosť je 164,7 km, jazdilo proti sebe nákladné auto z mesta A a osobné auto z mesta B. Rýchlosť kamiónu je 36 km, rýchlosť osobného auta je 1,25-krát. vyššie. Osobné auto odišlo o 1,2 hodiny neskôr ako kamión. Po akom čase a v akej vzdialenosti od mesta B sa stretne osobné auto s kamiónom?
820. Dve lode opustili v rovnakom čase rovnaký prístav a smerovali rovnakým smerom. Prvý parník prejde 37,5 km každých 1,5 hodiny a druhý parník prejde 45 km každé 2 hodiny. Ako dlho bude trvať, kým bude prvá loď 10 km od druhej?
821. Chodec najprv opustil jeden bod a 1,5 hodiny po jeho výjazde cyklista odišiel rovnakým smerom. V akej vzdialenosti od bodu dobehol cyklista chodca, ak chodec išiel rýchlosťou 4,25 km za hodinu a cyklista išiel rýchlosťou 17 km za hodinu?
822. Vlak odchádzal z Moskvy do Leningradu o 6. hodine. 10 min. ráno a išiel priemernou rýchlosťou 50 km za hodinu. Neskôr osobné lietadlo vzlietlo z Moskvy do Leningradu a dorazilo do Leningradu súčasne s príchodom vlaku. Priemerná rýchlosť lietadla bola 325 km za hodinu a vzdialenosť medzi Moskvou a Leningradom bola 650 km. Kedy vzlietlo lietadlo z Moskvy?
823. Parník cestoval po rieke 5 hodín, proti prúdu 3 hodiny a prešiel len 165 km. Koľko kilometrov prešiel po prúde a koľko proti prúdu, ak je rýchlosť toku rieky 2,5 km za hodinu?
824. Vlak opustil A a musí prísť do B v určitom čase; po prejdení polovice cesty a prejdení 0,8 km za 1 minútu sa vlak zastavil na 0,25 hodiny; po ďalšom zvýšení rýchlosti o 100 m na 1 milión, vlak dorazil do B včas. Nájdite vzdialenosť medzi A a B.
825. Od JZD do mesta 23 km. Poštár išiel na bicykli z mesta do JZD rýchlosťou 12,5 km za hodinu. O 0,4 hodiny potom vedúci kolektívnej farmy išiel do mesta na koni rýchlosťou rovnajúcou sa 0,6 rýchlosti poštára. Ako dlho po jeho odchode stretne kolchozník poštára?
826. Auto odišlo z mesta A do mesta B, vzdialeného 234 km od A, rýchlosťou 32 km za hodinu. 1,75 hodiny potom druhé auto opustilo mesto B smerom k prvému, ktorého rýchlosť bola 1,225-krát vyššia ako rýchlosť prvého. Koľko hodín po odchode sa stretne druhé auto s prvým?
827. 1) Jeden pisár dokáže prepísať rukopis za 1,6 hodiny a druhý za 2,5 hodiny. Ako dlho bude obom pisárom trvať napísanie tohto rukopisu pri spoločnej práci? (Odpoveď zaokrúhlite na najbližšiu 0,1 hodiny.)
2) Bazén je naplnený dvoma čerpadlami rôzneho výkonu. Prvé čerpadlo, ktoré pracuje samostatne, dokáže naplniť bazén za 3,2 hodiny a druhé za 4 hodiny. Ako dlho bude trvať naplnenie bazéna, ak tieto čerpadlá bežia súčasne? (Zaokrúhlená odpoveď na najbližšiu 0,1.)
828. 1) Jeden tím môže dokončiť objednávku za 8 dní. Druhý potrebuje 0,5 času na dokončenie tejto objednávky. Tretí tím môže dokončiť túto objednávku za 5 dní. Koľko dní bude trvať dokončenie celej objednávky, ak budú spolupracovať tri tímy? (Zaokrúhlená odpoveď s presnosťou na 0,1 dňa.)
2) Prvý pracovník môže dokončiť objednávku za 4 hodiny, druhý 1,25-krát rýchlejšie a tretí za 5 hodín. Koľko hodín bude trvať dokončenie objednávky, ak budú spolupracovať traja pracovníci? (Odpoveď zaokrúhlite na najbližšiu 0,1 hodiny.)
829. Dve autá pracujú na čistení ulice. Prvý z nich dokáže vyčistiť celú ulicu za 40 minút, druhý si vyžaduje 75 % času prvého. Oba stroje začali pracovať súčasne. Po spoločnej práci 0,25 hodiny prestal fungovať druhý stroj. Ako dlho potom prvý stroj dokončil čistenie ulice?
830. 1) Jedna zo strán trojuholníka je 2,25 cm, druhá je o 3,5 cm väčšia ako prvá a tretia je o 1,25 cm menšia ako druhá. Nájdite obvod trojuholníka.
2) Jedna zo strán trojuholníka je 4,5 cm, druhá je o 1,4 cm menšia ako prvá a tretia strana sa rovná polovici súčtu prvých dvoch strán. Aký je obvod trojuholníka?
831 . 1) Základňa trojuholníka je 4,5 cm a jeho výška je o 1,5 cm menšia. Nájdite oblasť trojuholníka.
2) Výška trojuholníka je 4,25 cm a jeho základňa je 3-krát väčšia. Nájdite oblasť trojuholníka. (Zaokrúhlená odpoveď na najbližšiu 0,1.)
832. Nájdite oblasť vytieňovaných obrázkov (obr. 38).
833. Ktorá plocha je väčšia: obdĺžnik so stranami 5 cm a 4 cm, štvorec so stranami 4,5 cm alebo trojuholník, ktorého základňa a výška sú 6 cm?
834. Miestnosť je dlhá 8,5 m, široká 5,6 m a vysoká 2,75 m. Plocha okien, dverí a kachlí je 0,1 z celkovej plochy stien miestnosti. Koľko kusov tapety bude potrebných na pokrytie tejto miestnosti, ak je kus tapety dlhý 7 m a široký 0,75 m? (Odpoveď zaokrúhlite na najbližší 1 kus.)
835. Jednoposchodový dom je potrebné z vonkajšej strany omietnuť a vybieliť, ktorého rozmery sú: dĺžka 12 m, šírka 8 m a výška 4,5 m. Dom má 7 okien o rozmeroch 0,75 m x 1,2 m a 2 dvere o rozmeroch 0,75 m x 2,5 m.Koľko bude stáť celé dielo, ak je bielenie a omietka 1 m2. m stojí 24 kopecks? (Odpoveď zaokrúhlite na najbližší 1 rubeľ.)
836. Vypočítajte povrch a objem vašej miestnosti. Zistite rozmery miestnosti meraním.
837. Záhrada má tvar obdĺžnika, ktorého dĺžka je 32 m, šírka 10 m. 0,05 z celej plochy záhrady je posiate mrkvou a zvyšok záhrady je vysadený zemiakmi a cibuľou a zemiakmi sa vysadí plocha 7x väčšia ako pri cibuľke. Koľko pôdy je jednotlivo vysadené zemiakmi, cibuľou a mrkvou?
838. Zeleninová záhrada má tvar obdĺžnika, ktorého dĺžka je 30 ma šírka 12 m. 0,65 z celej plochy zeleninovej záhrady je vysadených zemiakmi a zvyšok mrkvou a cviklou, a 84 metrov štvorcových je vysadených repou. m viac ako mrkva. Koľko pôdy je oddelene pre zemiaky, repu a mrkvu?
839. 1) Krabica v tvare kocky bola zo všetkých strán obložená preglejkou. Koľko preglejky sa použilo, ak má hrana kocky 8,2 dm? (Odpoveď zaokrúhlite na najbližších 0,1 štvorcových dm.)
2) Koľko farby bude potrebné na natretie kocky s hranou 28 cm, ak na 1 m2. cm použije sa 0,4 g farby? (Odpoveď, zaokrúhlite na najbližších 0,1 kg.)
840. Dĺžka liatinového predvalku v tvare pravouhlého rovnobežnostena je 24,5 cm, šírka 4,2 cm a výška 3,8 cm.Koľko váži 200 liatinových predvalkov ak 1 kubický. dm liatiny váži 7,8 kg? (Zaokrúhlená odpoveď s presnosťou na 1 kg.)
841. 1) Dĺžka škatule (s vekom) v tvare pravouhlého kvádra je 62,4 cm, šírka 40,5 cm, výška 30 cm Koľko štvorcových metrov dosiek bolo použitých na výrobu škatule, ak odpadové dosky predstavujú 0,2 plochy, ktorá by mala byť pokrytá doskami? (Odpoveď zaokrúhlite na najbližších 0,1 m2.)
2) Dno a bočné steny jamy, ktorá má tvar pravouhlého rovnobežnostena, musia byť pokryté doskami. Dĺžka jamy je 72,5 m, šírka 4,6 ma výška 2,2 m Koľko štvorcových metrov dosiek sa použilo na opláštenie, ak odpad z dosiek tvorí 0,2 plochy, ktorá by mala byť opláštená doskami? (Odpoveď zaokrúhlite na najbližší 1 m2.)
842. 1) Dĺžka suterénu v tvare pravouhlého rovnobežnostena je 20,5 m, šírka je 0,6 dĺžky a výška 3,2 m. Pivnica bola na 0,8 objemu zaplnená zemiakmi. Koľko ton zemiakov sa zmestí do pivnice, ak 1 kubický meter zemiakov váži 1,5 tony? (Zaokrúhlená odpoveď na najbližší 1 tisíc.)
2) Dĺžka nádrže v tvare pravouhlého rovnobežnostena je 2,5 m, šírka je 0,4 dĺžky a výška 1,4 m. Nádrž je naplnená petrolejom na 0,6 objemu. Koľko ton petroleja sa naleje do nádrže, ak hmotnosť kerozínu v objeme je 1 meter kubický? m sa rovná 0,9 t? (Zaokrúhlená odpoveď s presnosťou na 0,1 t.)
843. 1) Ako dlho môže trvať obnovenie vzduchu v miestnosti, ktorá je 8,5 m dlhá, 6 m široká a 3,2 m vysoká, ak cez okno za 1 sekundu. prechádza 0,1 metra kubického. m vzduchu?
2) Vypočítajte čas potrebný na osvieženie vzduchu vo vašej miestnosti.
844. Rozmery betónového bloku na stavbu stien sú nasledovné: 2,7 m x 1,4 m x 0,5 m Dutina tvorí 30 % objemu bloku. Koľko metrov kubických betónu bude potrebných na výrobu 100 takýchto blokov?
845. Grader-výťah (stroj na kopanie priekop) za 8 hodín. Dielo robí priekopu šírku 30 cm, hĺbku 34 cm a dĺžku 15 km. Koľko bagrov nahradí takýto stroj, ak jeden bager dokáže odobrať 0,8 metra kubického? m za hodinu? (Výsledok zaokrúhlite.)
846. Kôš v tvare pravouhlého rovnobežnostena je 12 m dlhý a 8 m široký. Do tohto zásobníka sa sype obilie do výšky 1,5 m. Aby zistili, koľko všetko obilie váži, zobrali debničku 0,5 m dlhú, 0,5 m širokú a 0,4 m vysokú, naplnili ju obilím a odvážili. Koľko vážilo zrno v zásobníku, ak obilie v boxe vážilo 80 kg?
848. 1) Pomocou diagramu „Výroba ocele v RSFSR“ (obr. 39). odpovedaj na nasledujúce otázky:
a) O koľko miliónov ton vzrástla výroba ocele v roku 1959 v porovnaní s rokom 1945?
b) Koľkokrát bola produkcia ocele v roku 1959 väčšia ako produkcia ocele v roku 1913? (S presnosťou na 0,1.)
2) Pomocou diagramu „Pestované plochy v RSFSR“ (obr. 40) odpovedzte na nasledujúce otázky:
a) O koľko miliónov hektárov vzrástla obrábaná plocha v roku 1959 v porovnaní s rokom 1945?
b) Koľkokrát bola osiata plocha v roku 1959 väčšia ako osiata plocha v roku 1913?
849. Zostrojte lineárny diagram rastu mestského obyvateľstva v ZSSR, ak v roku 1913 bolo mestské obyvateľstvo 28,1 milióna ľudí, v roku 1926 - 24,7 milióna, v roku 1939 - 56,1 milióna a v rokoch 1959 - 99 8 miliónov ľudí.
850. 1) Urobte si odhad na renováciu svojej triedy, ak potrebujete vybieliť steny a strop a vymaľovať podlahu. Údaje na vypracovanie odhadu (veľkosť triedy, náklady na bielenie 1 m2, náklady na vymaľovanie podlahy 1 m2) si zistite u správcu školy.
2) Na výsadbu v záhrade škola kúpila sadenice: 30 jabloní za 0,65 rubľov. za kus, 50 čerešní za 0,4 rubľov. za kus, 40 kríkov egreše za 0,2 rubľov. a 100 malinových kríkov za 0,03 rubľov. za kríkom. Napíšte faktúru za tento nákup pomocou nasledujúceho príkladu:
