Ir dota normāli sadalīta gadījuma lieluma X matemātiskā cerība a=3 un standartnovirze =5.

Uzrakstiet varbūtības sadalījuma blīvumu un shematiski uzzīmējiet to.

Atrodiet varbūtību, ka x ņems vērtību no intervāla (2;10).

Atrodiet varbūtību, ka x saņems vērtību, kas lielāka par 10.

Atrodiet simetrisku intervālu attiecībā pret matemātisko cerību, kurā lieluma x vērtības tiks ietvertas ar varbūtību =0,95.

1). Sastādīsim sadalījuma blīvuma funkciju nejaušam lielumam X ar parametriem а=3, =5, izmantojot formulu

. Izveidosim funkcijas shematisku grafiku
. Pievērsīsim uzmanību faktam, ka normālā līkne ir simetriska attiecībā pret taisni x = 3 un tai ir max šajā punktā vienāda ar
, t.i.
un divi lēciena punkti
ar ordinātām

Izveidosim grafiku

2) Izmantosim formulu:

Funkciju vērtības ir atrodamas lietojumprogrammu tabulā.

4) Izmantosim formulu
. Saskaņā ar nosacījumu, varbūtība iekrist intervālā, kas ir simetrisks attiecībā pret matemātisko cerību
. Izmantojot tabulu, atrodam t, pie kura Ф(t)=0,475, t=2. Līdzekļi
. Tādējādi
. Atbilde ir x(-1;7).

Uz problēmām 31-40.

Atrodiet ticamības intervālu novērtējumam ar ticamību 0,95 no nezināmas matemātiskās cerības a vispārējai populācijai normāli sadalītam raksturlielumam X, ja vispārējā standartnovirze =5, izlases vidējais
un izlases lielums n=25.

Mums ir jāatrod ticamības intervāls
.

Visi daudzumi, izņemot t, ir zināmi. Atradīsim t no attiecības Ф(t)=0,95/2=0,475. Izmantojot pielikuma tabulu, atrodam t=1,96. Aizstājot, mēs beidzot iegūstam vēlamo ticamības intervālu 12.04

Uz problēmām 41-50.

Tehniskās kontroles departaments pārbaudīja 200 identisku produktu partijas un saņēma šādu empīrisko sadalījumu, biežums n i - partiju skaits, kas satur x i nestandarta produktus. Pie nozīmības līmeņa 0,05 jāpārbauda hipotēze, ka nestandarta produkti X tiek izplatīti saskaņā ar Puasona likumu.

Atradīsim parauga vidējo vērtību:

Par Puasona sadalījuma parametra  novērtējumu pieņemsim izlases vidējo =0,6. Tāpēc pieņemtais Puasona likums
izskatās kā
.

Iestatījums i=0,1,2,3,4, mēs atrodam i nestandarta produktu parādīšanās varbūtības P i 200 partijās:
,
,
,
,
.

Atradīsim teorētiskās frekvences, izmantojot formulu
. Aizvietojot varbūtības vērtības šajā formulā, mēs iegūstam
,
,
,
,
.

Salīdzināsim empīriskās un teorētiskās frekvences, izmantojot Pīrsona testu. Lai to izdarītu, mēs izveidosim aprēķinu tabulu. Apvienosim mazās frekvences (4+2=6) un atbilstošās teorētiskās frekvences (3,96+0,6=4,56).

Praksē lielākā daļa gadījuma lielumu, kurus ietekmē liels skaits nejaušu faktoru, ievēro parasto varbūtības sadalījuma likumu. Tāpēc dažādos varbūtību teorijas pielietojumos šim likumam ir īpaša nozīme.

Nejaušais lielums $X$ pakļaujas normālajam varbūtības sadalījuma likumam, ja tā varbūtības sadalījuma blīvumam ir šāda forma

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

Funkcijas $f\left(x\right)$ diagramma ir shematiski parādīta attēlā un tiek saukta par "Gausa līkni". Pa labi no šī grafika ir Vācijas 10 marku banknote, kas tika izmantota pirms eiro ieviešanas. Ja paskatās uzmanīgi, uz šīs banknotes var redzēt Gausa līkni un tās atklājēju, izcilāko matemātiķi Karlu Frīdrihu Gausu.

Atgriezīsimies pie mūsu blīvuma funkcijas $f\left(x\right)$ un sniegsim dažus paskaidrojumus par sadalījuma parametriem $a,\ (\sigma )^2$. Parametrs $a$ raksturo gadījuma lieluma vērtību izkliedes centru, tas ir, tam ir matemātiskas cerības nozīme. Mainoties parametram $a$ un parametram $(\sigma )^2$ paliekot nemainīgam, funkcijas $f\left(x\right)$ grafikā var novērot nobīdi pa abscisu, savukārt blīvuma grafikā. pati nemaina savu formu.

Parametrs $(\sigma )^2$ ir dispersija un raksturo blīvuma grafika līknes $f\left(x\right)$ formu. Mainot parametru $(\sigma )^2$ ar parametru $a$ nemainīgu, varam novērot, kā blīvuma grafiks maina savu formu, saspiežot vai stiepjoties, nepārvietojoties pa abscisu asi.

Normāli sadalīta gadījuma lieluma varbūtība iekrist noteiktā intervālā

Kā zināms, varbūtību, ka gadījuma lielums $X$ iekritīs intervālā $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, var aprēķināt $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Šeit funkcija $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ ir Laplasa funkcija. Šīs funkcijas vērtības ir ņemtas no . Var atzīmēt šādas funkcijas $\Phi \left(x\right)$ īpašības.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, tas ir, funkcija $\Phi \left(x\right)$ ir nepāra.

2 . $\Phi \left(x\right)$ ir monotoni pieaugoša funkcija.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ pa kreisi(x\pa labi)\ )=-0,5$.

Lai aprēķinātu funkcijas $\Phi \left(x\right)$ vērtības, programmā Excel varat izmantot arī funkcijas $f_x$ vedni: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\labais )-0,5$. Piemēram, aprēķināsim funkcijas $\Phi \left(x\right)$ vērtības $x=2$.

Varbūtību, ka normāli sadalīts gadījuma lielums $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ iekritīs intervālā, kas ir simetrisks attiecībā pret matemātisko cerību $a$, var aprēķināt, izmantojot formulu

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Trīs sigmu noteikums. Ir gandrīz droši, ka normāli sadalīts gadījuma lielums $X$ nonāks intervālā $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

1. piemērs . Nejaušais lielums $X$ ir pakļauts parastajam varbūtības sadalījuma likumam ar parametriem $a=2,\ \sigma =3$. Atrodiet varbūtību, ka $X$ iekritīs intervālā $\left(0.5;1\right)$ un nevienādības $\left|X-a\right|< 0,2$.

Izmantojot formulu

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

mēs atrodam $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ over (3) ))\right)=\Phi \left(-0,33\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,5\right)-\Phi \ left(0,33\right)=0,191- 0,129 = 0,062 ASV dolāri.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

2. piemērs . Pieņemsim, ka gada laikā noteikta uzņēmuma akciju cena ir nejaušs lielums, kas sadalīts saskaņā ar parasto likumu ar matemātisko cerību, kas vienāda ar 50 nosacītām naudas vienībām un standartnovirzi, kas vienāda ar 10. Kāda ir varbūtība, ka uz nejauši izvēlēta Apspriežamā perioda dienā akcijas cena būs:

a) vairāk nekā 70 parastās naudas vienības?

b) zem 50 par akciju?

c) no 45 līdz 58 parastajām naudas vienībām uz vienu akciju?

Lai nejaušais lielums $X$ ir kāda uzņēmuma akciju cena. Pēc nosacījuma $X$ ir pakļauts normālam sadalījumam ar parametriem $a=50$ - matemātiskā cerība, $\sigma =10$ - standarta novirze. Varbūtība $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ virs (10))\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$

$$b)\P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

1. piemērs. Matemātiskā sagaidāma normāli sadalīta nepārtraukta SV X M(X) = 6, un standarta novirze s( X) = 2.

Atrodiet: 1) varbūtību sasniegt SV vērtības X intervālā (2; 9);

3) intervāls simetrisks attiecībā pret a X ar varbūtību g = 0,9642.

Risinājums. 1) Atrodiet varbūtību sasniegt SV vērtības X intervālā (2; 9).

Laplasa funkcijas vērtības ņemts no galda. Funkcijas Ф(–) dīvainības īpašība X) = – Ф( X).

2) Nosakiet varbūtību

Jo a = M(X) = 6 un s = s( X) = 2, tad

3) Atrodiet intervālu, kas ir simetrisks attiecībā pret a, kas satur SV vērtības X ar varbūtību g = 0,9642.

No Laplasa funkcijas vērtību tabulas mēs atklājam, ka d = 4,2. Tad intervāls ir –4,2< X – 6 < 4,2 и
1,8 < X < 10,2.

2. piemērs. Izlases vērtība T(stundas) – ierīces darbspējas laikam ir eksponenciāls sadalījums. Atrodiet varbūtību, ka ierīce bez remonta darbosies vismaz 600 stundas, ja šāda veida ierīču vidējais bezatteices darbības laiks ir 400 stundas.

Risinājums. M(T) = 400 stundas, tātad pēc formulas (1.46) Kopš eksponenciālajam sadalījumam Tas
0,2233.

3. piemērs. Izlases vērtība X vienmērīgi sadalīts pa segmentu [ a, b]. Atrodiet varbūtību trāpīt nejaušam mainīgajam X segmentam
, pilnībā ietverts segmentā [ a, b].

Risinājums. Izmantosim formulu kur ir varbūtības blīvums

.

Tādējādi

4. piemērs. Elektriskie vilcieni ar intervālu kursē stingri saskaņā ar grafiku
20 minūtes. Atrodiet varbūtību, ka pasažieris, kurš ieradīsies uz perona, gaidīs vairāk nekā 10 minūtes uz nākamo elektrovilcienu, kā arī vidējo gaidīšanas laiku.

Risinājums. X– gaidīšanas laiku (min.) elektrovilcienam var uzskatīt par vienmērīgi sadalītu nejaušu lielumu ar blīvumu:

un tas ir vidējais elektrovilciena gaidīšanas laiks.

5. piemērs. Iekārta ražo bukses. Bukse tiek uzskatīta par piemērotu, ja novirze X tā diametrs no projektētā izmēra absolūtā vērtībā ir mazāks par 1 mm. Pieņemot, ka nejaušais mainīgais X sadalīts normāli ar standarta novirzi s = 0,5 mm un matemātisko cerību a= 0, noskaidro, cik piemērotu bukses būs starp 100 saražotajām, kā arī varbūtību, ka novirze no projektētā izmēra būs ne mazāka par 0,4 mm un ne lielāka par 0,8 mm.

Risinājums. Izmantosim formulu () pie d = 1, s = 0,5 un a = 0.

No tā izriet, ka piemērotas būs aptuveni 95 bukses no 100.

Lai noteiktu varbūtību, ka novirze no projektētā izmēra būs ne mazāka par 0,4 mm un ne lielāka par 0,8 mm, mēs izmantojam formulu (1,54)

plkst a= 0, s = 0,5, a = 0,4, b = 0,8.

Funkcijas Ф( x) atrodam no tabulas.

Uzdevuma iespējas

1. IESPĒJA

X (CB X) ir norādīta sadalījuma sērijā:

x i
p i	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

F(x M(X), dispersiju D(XX), mode M 0 (X); 3) varbūtība P(8≤ X < 30). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Uzdevums 2. Katrs šāvējs mērķī šauj vienu reizi. Varbūtība, ka pirmais, otrais un trešais šāvējs trāpīs mērķī ar vienu šāvienu, ir attiecīgi vienāda ar 0,8; 0,6 un 0,9. Priekš
CB X– kopējais sitienu skaits mērķī noteiktos apstākļos, sastādīt sadalījuma sēriju un atrast F(x), M(X), s( X) Un D(X).

3. uzdevums. Kāda notikuma iestāšanās varbūtība A katrā eksperimentā ir 0,6. Nepieciešams: 1) izveidot diskrētu sadalījumu sēriju CB X– notikuma reižu skaits Ačetros neatkarīgos eksperimentos; 2) novērtējiet varbūtību, ka 80 neatkarīgu eksperimentu sērijā šis notikums parādīsies vismaz 60 reizes.

Problēma 4. Diskrēts CB X ko nosaka sadalījuma sērija:

x i	–2	–1
p i	0,05	0,10	0,15	?	0,15	0,20	0,10

Atrodiet izplatīšanas sērijas CB Y = –2X 2 + 3, M(Y) Un D(Y).

Problēma 5. Nepārtraukta CB X

Atrast: a) sadalījuma blīvumu f(x); b) M(x); V) d) varbūtība, ka trīs neatkarīgos izmēģinājumos CB Xņems vērtības, kas pieder intervālam tieši divas reizes

6. uzdevums. Dota funkcija

A CB X. Atrast F(x), M(X) Un D(X). Izveidojiet grafiku F(x).

Problēma 7. Ņemot vērā M(X) = 14 un s( X ZA X. Atrast:

1) varbūtība ;

2) varbūtība ;

3) simetrisks relatīvi a CB X ar varbūtību g = 0,8385.

8. uzdevums. Hronometra skalas dalījuma vērtība ir 0,2 s. Laiks tiek skaitīts līdz tuvākajam veselam dalījumam, noapaļots līdz tuvākajam punktam. Skaitīšanas kļūdu noteiktos apstākļos var uzskatīt par vienmērīgi sadalītu gadījuma lielumu.

Atrodiet laika noteikšanas varbūtību, izmantojot šo hronometru ar kļūdu a) mazāku par 0,05 s; b) ne mazāk kā 0,01 s un ne vairāk kā 0,05 s.

2. IESPĒJA

1. uzdevums. Diskrēts gadījuma lielums X (CB X) ir norādīta sadalījuma sērijā:

x i	–2	–1
p i	0,2	0,2	0,1	0,3	0,2

Atrodi: 1) sadales funkciju F(x); 2) skaitliskie raksturlielumi: matemātiskā cerība M(X), dispersiju D(X), standarta novirze s( X), mode M 0 (X); 3) varbūtība P(–2≤ X < 5). Построить многоугольник распределения и график F(x).

2. uzdevums. Loterijā ir 100 biļetes, no kurām 10 laimē. Kāds nopērk 4 biļetes. Priekš SV X– laimēto biļešu skaits starp iegādātajām, izveido izplatīšanas sēriju un atrodi F(x), M(X), s( X).

3. uzdevums. Pārskati tiek sastādīti neatkarīgi viens no otra. Kļūdas iespējamība, sagatavojot katru atskaiti, ir 0,3. Nepieciešams: 1) izveidot sadalījuma sēriju CB X — ziņojumu skaits ar kļūdām starp četriem sastādītajiem; aprēķināt M(X), D(X) un s( X); 2) novērtēt varbūtību, ka, sastādot 50 pārskatus, būs 20 pārskati ar kļūdām.

Problēma 4. Ir zināms, ka diskrēta CB X var ņemt tikai divas vērtības x 1 = –2 un x 2 = 3 un tā matemātiskā cerība M(X) = 1,5. Sastādīt izplatīšanas sērijas CB X Un CB Z= Atrast F(z) un s( Z).

Problēma 5. Nepārtraukta CB X ko dod sadales funkcija

f(x); 2) M(x) Un D(X);
3) 4) varbūtība, ka trīs neatkarīgos izmēģinājumos CB X tieši vienreiz iegūs vērtību, kas pieder intervālam (1; 4).

6. uzdevums. Dota funkcija

Definējiet parametra vērtību A, pie kuras šī funkcija norāda kādas nepārtrauktas varbūtības sadalījuma blīvumu CB X. Atrast F(x), M(X), D(X). Izveidojiet grafiku F(x).

Problēma 7. Ņemot vērā M(X) = 12 un s( X ZA X. Atrast:

1) varbūtība ;

2) varbūtība ;

3) simetrisks relatīvi a intervāls, kurā vērtības iekrīt CB X ar varbūtību g = 0,4515.

Problēma 8. Noteiktas daļas nejaušā mērījuma kļūda ir pakļauta normālā likumam ar parametru s = 20 mm. Atrodi varbūtību, ka: a) daļa tika izmērīta ar kļūdu, kas absolūtā vērtībā nepārsniedz 22 mm; b) nevienā no diviem veiktajiem mērījumiem kļūda nepārsniegs 22 mm absolūtā vērtībā.

3. IESPĒJA

1. uzdevums. Diskrēts gadījuma lielums X (CB X) ir norādīta sadalījuma sērijā:

x i
p i	0,3	0,1	0,1	0,4	0,1

Atrodi: 1) sadales funkciju F(x); 2) skaitliskie raksturlielumi: matemātiskā cerība M(X), dispersiju D(X), standarta novirze s( X), mode M 0 (X); 3) varbūtība P(1≤ X < 7). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Problēma 2. No trim augstlēkšanas sacensībās valsts jaunatnes izlasē iekļautajiem sportistiem kvalificētos startus var iziet ar varbūtību 0,9, otro ar 0,8 un trešo ar 0,6. Priekš CB X– komandas sportistu skaits, kuri iekļūs nākamajā sacensību kārtā, izveido sadales sēriju un atrod M(X), s( X).

3. uzdevums. Uz mērķi tiek raidīta virkne neatkarīgu šāvienu. Varbūtība trāpīt mērķī ar katru šāvienu ir 0,8. Nepieciešams: 1) izveidot sadalījuma sēriju CB X — sitienu skaits ar trim metieniem; 2) novērtēt varbūtību, ka ar 100 šāvieniem būs vismaz 90 sitieni.

4. uzdevums. Diskrēts gadījuma lielums X (CB X) ir norādīta sadalījuma sērijā:

x i	–3	–2	–1
p i	0,1	0,2	0,3	0,2	?

Atrodiet sēriju un sadales funkciju CB Y = 2X + 1, M(Y) Un D(Y).

Problēma 5. Nepārtraukta CB X ko dod sadales funkcija

Atrast: 1) sadalījuma blīvumu f(x); 2) M(x) Un D(X);
3) P(–2,3 < X <1,5);4) вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X tieši divas reizes tiks ņemtas vērtības, kas pieder intervālam (-2,3; 1,5).

6. uzdevums. Dota funkcija

Definējiet parametra vērtību A, pie kuras šī funkcija norāda kādas nepārtrauktas varbūtības sadalījuma blīvumu CB X. Atrast F(x), Un M(X). Izveidojiet grafiku F(x).

Problēma 7. Ņemot vērā M(X) = 13 un s( X ZA X. Atrast:

1) varbūtība ;

2) varbūtība ;

3) simetrisks relatīvi a intervāls, kurā vērtības iekrīt CB X ar varbūtību g = 0,9973.

8. uzdevums. Ir zināms, ka televizora remonta laiks ir nejaušs lielums X, izplatīts saskaņā ar eksponenciālu likumu, un vidējais televizora remonta laiks ir divas nedēļas. Atrodiet varbūtību, ka uz darbnīcu atvestā televizora remonts prasīs: a) mazāk nekā 10 dienas; b) no 9 līdz 12 dienām.

4. IESPĒJA

1. uzdevums. Diskrēts gadījuma lielums X (CB X) ir norādīta sadalījuma sērijā:

x i	–10	–5
p i	0,1	0,1	0,4	0,1	0,3

Atrodi: 1) sadales funkciju F(x); 2) skaitliskie raksturlielumi: matemātiskā cerība M(X), dispersiju D(X), standarta novirze s( X), mode M 0 (X); 3) varbūtība P(–10≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Problēma 2. Dežurantam ir 5 dažādas atslēgas dažādām telpām. Nejauši izņēmis atslēgu, viņš mēģina atvērt vienas istabas durvis. Par diskrētu CB X– mēģinājumu skaits atvērt durvis (pārbaudītā atslēga netiek izmantota otrreiz), sastādīt sadales sēriju un atrast F(x) Un M(X).

3. uzdevums. Varbūtība, ka katrai daļai no standarta sagataves tiks izgatavota daļa ar norādītajiem precizitātes parametriem, ir 0,8.

Nepieciešams: 1) izveidot sadalījuma sēriju CB X– detaļu skaits ar norādītajām precizitātes īpašībām, kuras tiks izgatavotas no piecām standarta sagatavēm; 2) novērtēt varbūtību, ka no 90 sagatavēm tiks izgatavotas 70 detaļas ar norādītajiem precizitātes raksturlielumiem.

CB X Un Y:

x i
p i	?	0,5	0,2

y i
p i	0,6	?

Izveidojiet izplatīšanas sēriju CB Z = Y – X. Atrast M(Z) Un D(Z).

Problēma 5. Nepārtraukta CB X ko dod sadales funkcija

Atrast: 1) sadalījuma blīvumu f(x); 2) M(x); 3) CB Xņems vērtības, kas pieder intervālam tieši trīs reizes

6. uzdevums. Dota funkcija

Definējiet parametra vērtību A, pie kuras šī funkcija norāda kādas nepārtrauktas varbūtības sadalījuma blīvumu CB X. Atrast F(x), M(X) Un D(X). Izveidojiet grafiku F(x).

Problēma 7. Ņemot vērā M(X) = 16 un s( X) = 2 normāli sadalīti nepārtraukti ZA X. Atrast:

1) varbūtība ;

2) varbūtība ;

3) simetrisks relatīvi a intervāls, kurā vērtības iekrīt CB X ar varbūtību g = 0,9281.

8. uzdevums. Pieauguša vīrieša augums ir SV X, sadalīts saskaņā ar parasto likumu ar parametriem A= 175 cm un s = 10 cm. Atrodi varbūtību, ka nejauši izvēlēta vīrieša augums būs: a) mazāks par 180 cm; b) ne mazāk kā 170 cm un ne vairāk kā 175 cm.

5. IESPĒJA

1. uzdevums. Diskrēts gadījuma lielums X (CB X) ir norādīta sadalījuma sērijā:

x i
p i	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1

Atrodi: 1) sadales funkciju F(x); 2) skaitliskie raksturlielumi: matemātiskā cerība M(X), dispersiju D(X), standarta novirze s( X), mode M 0 (X); 3) varbūtība P(40≤ X < 80). Построить многоугольник распределения и график F(x).

2. uzdevums. Mērķis sastāv no apļa un diviem koncentriskiem gredzeniem. Par sitienu riņķī ir 6 punkti, 2. gredzens ir 4 punktu un 3. gredzens ir divu punktu vērts. Varbūtības iekļūt aplī un attiecīgi gredzenos 2 un 3 ir 0,2; 0,3 un 0,5. Par diskrētu SV X– trīs sitienu rezultātā izsisto punktu summa, sastādīt sadalījuma sēriju un atrast F(x), M(X), s( X).

Uzdevums 3. Automātiskā līnija sastāv no n viena veida neatkarīgi strādājošas mašīnas. Varbūtība, ka mašīnai būs jāpielāgo maiņas laikā katrai mašīnai ir 0,3. Nepieciešams: 1) izveidot sadalījuma sēriju CB X– mašīnu skaits, kuras maiņas laikā būs jāregulē, ja n= 4; 2) novērtēt varbūtību, ka 20 mašīnām būs nepieciešama regulēšana maiņā, ja n = 100.

4. uzdevums. Diskrētā kopīgs sadalījums CB X Un Y dots tabulā:

Y X
	0,20	0,15	0,10
	0,30	0,20	0,05

Izveidojiet izplatīšanas likumu CB Z = Y + X. Atrast M(Z) Un D(Z).

Problēma 5. Nepārtraukta CB X ko dod sadales funkcija

Atrast: 1) sadalījuma blīvumu f(x); 2) M(x) Un D(X);
3) P(3 < X < 9); 4) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях CB X tieši divas reizes tiks ņemtas vērtības, kas pieder intervālam (3; 9).

6. uzdevums. Dota funkcija

Definējiet parametra vērtību A, pie kuras šī funkcija norāda kādas nepārtrauktas varbūtības sadalījuma blīvumu CB X. Atrast F(x), M(X). Izveidojiet grafiku F(x).

Problēma 7. Ņemot vērā M(X) = 10 un s( X) = 4 normāli sadalīti nepārtraukti ZA X. Atrast:

1) varbūtība ;

2) varbūtība ;

3) simetrisks relatīvi a intervāls, kurā vērtības iekrīt CB X ar varbūtību g = 0,5161.

8. uzdevums. Elektriskā pulksteņa minūšu rādītājs katras minūtes beigās strauji kustas. Izlases vērtība X– starpībai starp displejā redzamo laiku un patieso laiku ir vienmērīgs sadalījums. Atrodi varbūtību, ka kādā laika brīdī pulkstenis rādīs laiku, kas atšķiras no patiesā: a) ne mazāk kā 10 s un ne vairāk kā 25 s; b) ne mazāk kā 25 s.

6. IESPĒJA

1. uzdevums. Diskrēts gadījuma lielums X (CB X) ir norādīta sadalījuma sērijā:

x i	–5	–3	–1
p i	0,2	0,2	0,1	0,4	0,1

Atrodi: 1) sadales funkciju F(x); 2) skaitliskie raksturlielumi: matemātiskā cerība M(X), dispersiju D(X), standarta novirze s( X), mode M 0 (X); 3) varbūtība P(– 3≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Problēma 2. Grupā ir 12 skolēni, no kuriem 5 dzīvo kopmītnēs. No saraksta nejauši tiek atlasīti 4 skolēni. Priekš SV X– kopmītnē dzīvojošo studentu skaits starp atlasītajiem, sastādīt sadales sēriju un atrast F(x), M(X) Un D(X).

Problēma 3. Ražojot viena veida detaļas, izmantojot novecojušas iekārtas, katra daļa var izrādīties bojāta ar varbūtību 0,1. Izveidojiet sadales sēriju CB X< 3);
4) varbūtība, ka četros neatkarīgos izmēģinājumos CB Xņems vērtības, kas pieder intervālam (1; 3), tieši divas reizes.

6. uzdevums. Dota funkcija

Definējiet parametra vērtību A, pie kuras šī funkcija norāda kādas nepārtrauktas varbūtības sadalījuma blīvumu CB X. Atrast F(x), M(X) Un D(X). Izveidojiet grafiku F(x).

Problēma 7. Ņemot vērā M(X) = 11 un s( X) = 3 normāli sadalīti nepārtraukti ZA X. Atrast:

1) varbūtība ;

2) varbūtība ;

3) simetrisks relatīvi a intervāls, kurā vērtības iekrīt CB X ar varbūtību g = 0,9973.

8. uzdevums. Konkrēta zīmola TV darbības laiks ir nejaušs lielums, kas sadalīts saskaņā ar parasto likumu ar parametriem A= 12 gadi un s = 2 gadi. Atrodi varbūtību, ka televizors darbosies bez remonta: a) no 9 līdz 12 gadiem;
b) vismaz 10 gadus.

7. IESPĒJA

1. uzdevums. Diskrēts gadījuma lielums X (CB X) ir norādīta sadalījuma sērijā:

x i
p i	0,2	0,1	0,2	0,3	0,2

Atrodi: 1) sadales funkciju F(x); 2) skaitliskie raksturlielumi: matemātiskā cerība M(X), dispersiju D(X), standarta novirze s( X), mode M 0 (X); 3) varbūtība P(2≤ X < 10). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Problēma 2. Strādnieks uztur 4 neatkarīgi strādājošas mašīnas. Varbūtība, ka stundas laikā mašīna neprasīs strādnieka uzmanību pirmajai mašīnai, ir 0,7; par otro – 0,75; par trešo – 0,8; par ceturto – 0,9. Par diskrētu SV X- mašīnu skaits, kurām stundas laikā nebūs nepieciešama strādnieka uzmanība, izveidojiet izplatīšanas sēriju un atrodiet F(x), M(X) Un D(X).

3. problēma. Pieejams n patstāvīgi strādājošas mašīnas. Izveidojiet sadales sēriju CB X– konkrētajā laikā strādājošo mašīnu skaits, ja n= 6, un varbūtība, ka iekārta darbojas noteiktā laikā, ir 0,9; aprēķināt M(X) Un D(X). Novērtējiet varbūtību, ka uzņēmums, kuram ir n= 180 un katras mašīnas darbības varbūtība ir 0,98, pašlaik strādājošo mašīnu skaits būs vismaz 170.

4. uzdevums. Neatkarīgā diskrēta sadalījuma likumi CB X Un Y:

x i
p i	0,3	?	0,5

y i	–2	–1
p i	?	0,4

Izveidojiet izplatīšanas sēriju CB Z = XY+ 2. Atrast M(Z) Un D(Z).

Varbūtība, ka CB novirze X no viņas M.O. a absolūtā vērtībā būs mazāks par doto pozitīvu skaitli, vienāds

Ja mēs ieliekam šo vienlīdzību, mēs saņemam

s w:space="720"/>"> ,

Tas ir, normāli izplatīts SV X nomaldās no sava M.O. a, kā likums, par mazāk nekā 3. Tas ir tā sauktais 3 sigmu noteikums, ko bieži izmanto matemātiskajā statistikā.

Viena nejauša lieluma funkcija. Viena SV funkcijas matemātiskā cerība. (tetr)

Ja katra iespējamā gadījuma lieluma vērtība X atbilst vienai iespējamai gadījuma lieluma vērtībai Y , Tas Y sauca nejauša argumenta funkcija X: Y = φ (X ).

Noskaidrosim, kā atrast funkcijas sadalījuma likumu, pamatojoties uz zināmo argumentu sadalījuma likumu.

1) Ļaujiet argumentēt X – diskrēts gadījuma lielums ar dažādām vērtībām X dažādas vērtības atbilst Y . Tad atbilstošo vērtību varbūtības X Un Y vienāds .

2) Ja atšķiras vērtības X var atbilst vienādas vērtības Y , tad tiek summētas argumentu vērtību varbūtības, pie kurām funkcijai ir tāda pati vērtība.

3) Ja X - nepārtraukts gadījuma lielums, Y = φ (X ), φ (x ) ir monotona un diferencējama funkcija, un ψ (plkst ) – funkcija apgriezti φ (X ).

Viena nejauša argumenta funkcijas matemātiskā cerība.

Ļaujiet Y = φ (X ) – nejauša argumenta funkcija X , un ir jāatrod tā matemātiskā cerība, zinot sadalījuma likumu X .

1) Ja X tad ir diskrēts gadījuma mainīgais

2) Ja X ir nepārtraukts gadījuma mainīgais, tad M (Y ) var meklēt dažādos veidos. Ja ir zināms sadalījuma blīvums g (y ), Tas

21. Divu nejaušu argumentu funkcija. Funkcijas Z=X+Y sadalījums diskrētiem neatkarīgiem SV X un Y. (tetr)

Ja katrs gadījuma lieluma X un Y iespējamo vērtību pāris atbilst vienai iespējamai gadījuma lieluma Z vērtībai, tad Z sauc par divu nejaušu argumentu X un Y funkciju un raksta Z=φ(X,Y) . Ja X un Y ir diskrēti neatkarīgi gadījuma lielumi, tad, lai atrastu funkcijas Z=X+Y sadalījumu, ir jāatrod visas iespējamās Z vērtības, kurām pietiek pievienot katru iespējamo X ar visām iespējamām Y vērtībām; Z atrasto iespējamo vērtību varbūtības ir vienādas ar X un Y pievienoto vērtību varbūtību reizinājumiem. Ja X un Y ir nepārtraukti neatkarīgi gadījuma lielumi, tad sadalījuma blīvums g(z) summu Z = X+Y (ar nosacījumu, ka vismaz viena argumenta sadalījuma blīvums ir norādīts intervālā (- oo, oo) ar vienu formulu) var atrast pēc formulas , vai pēc ekvivalentas formulas , kur f1 un f2 ir argumentu sadalījuma blīvumi; ja argumentu iespējamās vērtības ir nenegatīvas, tad vērtības Z=X + Y sadalījuma blīvums g(z) tiek atrasts, izmantojot formulu vai līdzvērtīgu formulu. Gadījumā, ja abi blīvumi f1(x) un f2(y) ir doti uz galīgiem intervāliem, lai atrastu lieluma Z = X+Y blīvumu g(z), vispirms ir ieteicams atrast sadalījuma funkciju G(z) un tad diferencēt to attiecībā pret z : g(z)=G'(z). Ja X un Y ir neatkarīgi gadījuma lielumi, kas noteikti ar atbilstošo sadalījuma blīvumu f1(x) un f2(y), tad varbūtība, ka nejaušs punkts (X, Y) nonāks apgabalā D ir vienāda ar dubulto integrāli pār šo apgabalu. sadalījuma blīvumu reizinājuma: P [( X, Y)cD] = . Diskrētus neatkarīgus gadījuma lielumus X un Y nosaka sadalījumi:

Р 0,3 0,7 Р 0,6 0,4

Atrodi gadījuma lieluma sadalījumu Z = X + K. Risinājums. Lai izveidotu vērtības Z=X+Y sadalījumu, ir jāatrod visas iespējamās Z vērtības un to varbūtības. Z iespējamās vērtības ir katras iespējamās X vērtības summas ar visām iespējamajām Y vērtībām: Z 1 = 1+2=3; z2 = 1+4 = 5; z 3 = 3 + 2 = 5; z4 = 3+4 = 7. Noskaidrosim šo iespējamo vērtību varbūtības. Lai Z=3, pietiek ar to, ka vērtība X pieņem vērtību x1= l un vērtība K-vērtība y1=2. Šo iespējamo vērtību varbūtības, kā izriet no šiem sadalījuma likumiem, ir attiecīgi vienādas ar 0,3 un 0,6. Tā kā argumenti X un Y ir neatkarīgi, notikumi X = 1 un Y = 2 ir neatkarīgi, līdz ar to to kopīgās iestāšanās varbūtība (t.i., notikuma Z = 3 varbūtība) saskaņā ar reizināšanas teorēmu ir 0,3 * 0,6 = 0 ,18. Līdzīgi mēs atrodam:

I B=!-f4 = 5) = 0,3 0,4 = 0,12;

P(Z = 34-2 = 5) = 0,7 0,6 = 0,42;

P(Z = 3. = 7) = 0,7-0,4 = 0,28. Uzrakstīsim nepieciešamo sadalījumu, vispirms saskaitot nesaderīgo notikumu Z = z 2 = 5, Z = z 3 = 5 (0,12 + 0,42 = 0,54) varbūtības:

Z 3 5 7 ; P 0,18 0,54 0,28 . Kontrole: 0,18 + 0,54 + 0,28 = 1.

Normālā varbūtības sadalījuma likums

Bez pārspīlējumiem to var saukt par filozofisku likumu. Vērojot dažādus objektus un procesus apkārtējā pasaulē, mēs bieži sastopamies ar to, ka kaut kas nav pietiekami, un ka ir norma:


Šeit ir pamata skats blīvuma funkcijas normāls varbūtības sadalījums, un es sveicu jūs šajā interesantajā nodarbībā.

Kādus piemērus jūs varat dot? Tajās vienkārši ir tumsa. Tas ir, piemēram, cilvēku (un ne tikai) augums, svars, fiziskais spēks, garīgās spējas utt. Ir "galvenā masa" (viena vai cita iemesla dēļ) un ir novirzes abos virzienos.

Tās ir dažādas nedzīvu objektu īpašības (vienāds izmērs, svars). Tas ir nejaušs procesu ilgums, piemēram, simts metru skrējiena laiks vai sveķu pārtapšana dzintarā. No fizikas es atcerējos gaisa molekulas: dažas no tām ir lēnas, dažas ir ātras, bet lielākā daļa pārvietojas ar “standarta” ātrumu.

Tālāk mēs novirzāmies no centra par vēl vienu standarta novirzi un aprēķinām augstumu:

Punktu atzīmēšana zīmējumā (zaļā krāsā) un mēs redzam, ka ar to pilnīgi pietiek.

Pēdējā posmā mēs rūpīgi uzzīmējam grafiku un īpaši uzmanīgi atspoguļo to izliekta/ieliekta! Nu, jūs droši vien jau sen sapratāt, ka x ass ir horizontālā asimptote, un aiz tā “rāpties” ir kategoriski aizliegts!

Iesniedzot risinājumu elektroniski, ir viegli izveidot grafiku programmā Excel, un negaidīti es pat ierakstīju nelielu video par šo tēmu. Bet vispirms parunāsim par to, kā mainās parastās līknes forma atkarībā no un vērtībām.

Palielinot vai samazinot "a" (ar pastāvīgu “sigmu”) grafiks saglabā savu formu un pārvietojas pa labi/pa kreisi attiecīgi. Tā, piemēram, kad funkcija iegūst formu un mūsu grafiks “pārvieto” 3 vienības pa kreisi - tieši līdz koordinātu sākumam:


Parasti sadalīts daudzums ar nulles matemātiskām cerībām saņēma pilnīgi dabisku nosaukumu - centrēts; tā blīvuma funkcija – pat, un grafiks ir simetrisks attiecībā pret ordinātu.

"Sigmas" maiņas gadījumā (ar konstanti "a"), grafiks “paliek nemainīgs”, bet maina formu. Palielinot, tas kļūst zemāks un iegarens, piemēram, astoņkājis, kas izstiepj savus taustekļus. Un otrādi, samazinot grafiku kļūst šaurāks un garāks- tas izrādās “pārsteigts astoņkājis”. Jā, kad samazināt“sigma” divreiz: iepriekšējais grafiks sašaurinās un divreiz stiepjas uz augšu:

Viss ir pilnīgā saskaņā ar grafu ģeometriskās transformācijas.

Tiek izsaukts normāls sadalījums ar vienības sigmas vērtību normalizēts, un ja arī tā ir centrēts(mūsu gadījumā), tad šādu sadalījumu sauc standarta. Tam ir vēl vienkāršāka blīvuma funkcija, kas jau ir atrasta Laplasa lokālā teorēma: . Standarta izplatīšana ir atradusi plašu pielietojumu praksē, un pavisam drīz mēs beidzot sapratīsim tā mērķi.

Nu, tagad skatīsimies filmu:

Jā, pilnīgi pareizi – kaut kā nepelnīti tā palika ēnā varbūtības sadalījuma funkcija. Atcerēsimies viņu definīcija:
– varbūtība, ka nejaušam mainīgajam būs mazāka vērtība nekā mainīgajam, kas “iziet cauri” visām reālajām vērtībām līdz “plus” bezgalībai.

Integrāļa iekšpusē parasti tiek izmantots cits burts, lai nebūtu “pārklāšanās” ar apzīmējumu, jo šeit katra vērtība ir saistīta ar nepareizs integrālis , kas ir vienāds ar dažiem numuru no intervāla .

Gandrīz visas vērtības nevar precīzi aprēķināt, taču, kā mēs tikko redzējām, ar mūsdienu skaitļošanas jaudu tas nav grūti. Tātad, par funkciju standarta sadalījums, atbilstošā Excel funkcija parasti satur vienu argumentu:

=NORMSDIST(z)

Viens, divi - un esat pabeidzis:

Zīmējums skaidri parāda visu īstenošanu sadalījuma funkcijas īpašības, un no tehniskajām niansēm šeit jums vajadzētu pievērst uzmanību horizontālās asimptotes un lēciena punkts.

Tagad atcerēsimies vienu no tēmas galvenajiem uzdevumiem, proti, noskaidrosim, kā atrast varbūtību, ka normāls gadījuma mainīgais ņems vērtību no intervāla. Ģeometriski šī varbūtība ir vienāda ar apgabalā starp parasto līkni un x asi attiecīgajā sadaļā:

bet katru reizi mēģinu iegūt aptuvenu vērtību ir nepamatots, un tāpēc to ir racionālāk izmantot "viegla" formula:
.

! Arī atceras , Kas

Šeit jūs varat atkal izmantot Excel, taču ir daži nozīmīgi “bet”: pirmkārt, tas ne vienmēr ir pa rokai, un, otrkārt, “gatavās” vērtības, visticamāk, radīs jautājumus no skolotāja. Kāpēc?

Esmu par to runājis jau daudzas reizes: savulaik (un ne ļoti sen) parasts kalkulators bija greznība, un attiecīgās problēmas risināšanas “manuālā” metode joprojām ir saglabāta mācību literatūrā. Tās būtība ir standartizēt vērtības “alfa” un “beta”, tas ir, samazina risinājumu līdz standarta sadalījumam:

Piezīme : funkciju ir viegli iegūt no vispārējā gadījumaizmantojot lineāro aizvietotāji. Tad arī:

un no aizstāšanas tika veikta šāda formula: pāreja no patvaļīga sadalījuma vērtībām uz atbilstošajām standarta sadalījuma vērtībām.

Kāpēc tas ir vajadzīgs? Fakts ir tāds, ka vērtības rūpīgi aprēķināja mūsu senči un apkopoja īpašā tabulā, kas ir daudzās grāmatās par terwer. Bet vēl biežāk ir vērtību tabula, ar kuru jau esam tikuši galā Laplasa integrāļa teorēma:

Ja mūsu rīcībā ir Laplasa funkcijas vērtību tabula , tad ar to mēs atrisinām:

Frakcionālās vērtības tradicionāli tiek noapaļotas līdz 4 zīmēm aiz komata, kā tas tiek darīts standarta tabulā. Un kontrolei ir 5. punkts izkārtojumu.

Es jums to atgādinu , un lai izvairītos no neskaidrībām vienmēr kontrolēt, jūsu acu priekšā ir tabula ar KĀDU funkciju.

Atbilde ir jānorāda procentos, tāpēc aprēķinātā varbūtība jāreizina ar 100 un rezultāts jāsniedz ar jēgpilnu komentāru:

– ar lidojumu no 5 līdz 70 m nokritīs aptuveni 15,87% čaulu

Trenējamies paši:

3. piemērs

Rūpnīcā ražotu gultņu diametrs ir nejaušs lielums, kas parasti ir sadalīts ar 1,5 cm matemātisko novirzi un 0,04 cm standarta novirzi.. Atrodiet varbūtību, ka nejauši izvēlēta gultņa izmērs ir robežās no 1,4 līdz 1,6 cm.

Parauga risinājumā un tālāk es izmantošu Laplasa funkciju kā visizplatītāko iespēju. Starp citu, ņemiet vērā, ka saskaņā ar formulējumu intervāla beigas šeit var iekļaut apsvērumā. Tomēr tas nav kritiski.

Un jau šajā piemērā mēs sastapāmies ar īpašu gadījumu - kad intervāls ir simetrisks attiecībā pret matemātisko gaidu. Šādā situācijā to var uzrakstīt formā un, izmantojot Laplasa funkcijas dīvainību, vienkāršot darba formulu:

Tiek izsaukts delta parametrs novirze no matemātiskās cerības, un dubulto nevienlīdzību var “iepakot”, izmantojot modulis:

– iespējamība, ka gadījuma lieluma vērtība novirzīsies no matemātiskās cerības mazāk nekā .

Labi, ka risinājums iekļaujas vienā rindā :)
– varbūtība, ka nejauši izvēlēta gultņa diametrs atšķiras no 1,5 cm ne vairāk kā par 0,1 cm.

Šī uzdevuma rezultāts izrādījās tuvu vienotībai, bet es vēlētos vēl lielāku uzticamību - proti, noskaidrot robežas, kurās atrodas diametrs gandrīz visi gultņi. Vai tam ir kāds kritērijs? Pastāv! Uz uzdoto jautājumu atbild t.s

trīs sigmu noteikums

Tās būtība ir tāda praktiski uzticams ir fakts, ka normāli sadalīts gadījuma mainīgais ņem vērtību no intervāla .

Patiešām, novirzes no paredzamās vērtības varbūtība ir mazāka par:
jeb 99,73%

Runājot par gultņiem, tie ir 9973 gabali ar diametru no 1,38 līdz 1,62 cm un tikai 27 “nestandarta” eksemplāri.

Praktiskajos pētījumos trīs sigmu noteikums parasti tiek piemērots pretējā virzienā: ja statistiski Tika konstatēts, ka gandrīz visas vērtības pētāmais nejaušais mainīgais ietilpst 6 standartnoviržu intervālā, tad ir pārliecinoši iemesli uzskatīt, ka šī vērtība ir sadalīta saskaņā ar parasto likumu. Pārbaude tiek veikta, izmantojot teoriju statistiskās hipotēzes.

Mēs turpinām risināt skarbās padomju problēmas:

4. piemērs

Svēršanas kļūdas nejaušā vērtība tiek sadalīta saskaņā ar parasto likumu ar nulles matemātisko cerību un standarta novirzi 3 grami. Atrodiet varbūtību, ka nākamā svēršana tiks veikta ar kļūdu, kas absolūtā vērtībā nepārsniedz 5 gramus.

Risinājumsļoti vienkārši. Pēc nosacījuma mēs to uzreiz atzīmējam nākamajā svēršanā (kaut kas vai kāds) gandrīz 100% iegūsim rezultātu ar 9 gramu precizitāti. Bet problēma ir saistīta ar šaurāku novirzi un saskaņā ar formulu :

– varbūtība, ka nākamā svēršana tiks veikta ar kļūdu, kas nepārsniedz 5 gramus.

Atbilde:

Atrisinātā problēma būtiski atšķiras no šķietami līdzīgas. 3. piemērs nodarbība par vienmērīgs sadalījums. Radās kļūda noapaļošana mērījumu rezultātus, šeit ir runa par pašu mērījumu nejaušo kļūdu. Šādas kļūdas rodas pašas ierīces tehnisko īpašību dēļ. (pieņemamo kļūdu diapazons parasti ir norādīts viņa pasē), un arī eksperimentētāja vainas dēļ - kad mēs, piemēram, “ar aci” ņemam rādījumus no vienas un tās pašas skalas adatas.

Cita starpā ir arī t.s sistemātiski mērījumu kļūdas. Tas jau ir nav nejauši kļūdas, kas rodas nepareizas ierīces iestatīšanas vai darbības dēļ. Piemēram, neregulēti grīdas svari var vienmērīgi “pielikt” kilogramus, un pārdevējs sistemātiski nosver klientus. Vai arī to var aprēķināt ne sistemātiski. Tomēr jebkurā gadījumā šāda kļūda nebūs nejauša, un tās cerības atšķiras no nulles.

...Es steidzami izstrādāju pārdošanas apmācības kursu =)

Atrisināsim apgriezto problēmu paši:

5. piemērs

Veltņa diametrs ir nejauši normāli sadalīts gadījuma lielums, tā standartnovirze ir vienāda ar mm. Atrodiet intervāla garumu, kas ir simetrisks attiecībā pret matemātisko cerību, kurā, iespējams, iekritīs veltņa diametra garums.

5. punkts* dizaina izkārtojums palīdzēt. Lūdzu, ņemiet vērā, ka šeit nav zināmas matemātiskās cerības, taču tas ne mazākajā mērā neliedz mums atrisināt problēmu.

Un eksāmena uzdevums, ko ļoti iesaku materiāla nostiprināšanai:

6. piemērs

Normāli sadalītu gadījuma lielumu nosaka pēc tā parametriem (matemātiskā gaida) un (standarta novirze). Nepieciešams:

a) pierakstiet varbūtības blīvumu un shematiski attēlojiet tā grafiku;
b) atrodiet varbūtību, ka tas ņems vērtību no intervāla ;
c) atrast varbūtību, ka absolūtā vērtība novirzīsies no ne vairāk kā ;
d) izmantojot "trīs sigmu" noteikumu, atrodiet nejaušā mainīgā vērtības.

Šādas problēmas tiek piedāvātas visur, un prakses gadu laikā esmu to atrisinājis simtiem un simtiem. Noteikti vingrinieties zīmēt zīmējumu ar roku un izmantojot papīra tabulas;)

Es aplūkošu paaugstinātas sarežģītības piemēru:

7. piemērs

Gadījuma lieluma varbūtības sadalījuma blīvumam ir forma . Atrast, matemātiskās cerības, dispersija, sadalījuma funkcija, veidot blīvuma grafikus un sadalījuma funkcijas, atrast.

Risinājums: Pirmkārt, ņemiet vērā, ka nosacījums neko nepasaka par nejaušā mainīgā lieluma būtību. Eksponenta klātbūtne pati par sevi neko nenozīmē: var izrādīties, piemēram, indikatīvs vai pat patvaļīgi nepārtraukta izplatīšana. Un tāpēc sadalījuma “normalitāte” joprojām ir jāpamato:

Kopš funkcijas noteikts plkst jebkura reālā vērtība, un to var reducēt līdz formai , tad nejaušais lielums tiek sadalīts saskaņā ar parasto likumu.

Te nu mēs esam. Priekš šī atlasiet pilnu kvadrātu un organizēt trīsstāvu frakcija:


Noteikti veiciet pārbaudi, atgriežot indikatoru sākotnējā formā:

, ko mēs gribējām redzēt.

Tādējādi:
- Pēc noteikums par operācijām ar pilnvarām"noskniebt" Un šeit jūs varat nekavējoties pierakstīt acīmredzamos skaitliskos raksturlielumus:

Tagad noskaidrosim parametra vērtību. Tā kā normālā sadalījuma reizinātājam ir forma un , tad:
, no kurienes mēs izsakām un aizstājam savā funkcijā:
, pēc tam vēlreiz ar acīm iziesim cauri ierakstam un pārliecināsimies, vai iegūtajai funkcijai ir forma .

Izveidosim blīvuma grafiku:

un sadalījuma funkciju grafiks :

Ja jums nav pie rokas Excel vai pat parasta kalkulatora, pēdējo grafiku var viegli izveidot manuāli! Šajā punktā sadales funkcija ņem vērtību un šeit tas ir