Atrodiet vektoru summu, izmantojot paralelograma likumu. Vektoru pievienošanas noteikumi. Trīs punktu noteikums

Studentiem ne vienmēr ir skaidrs, kā notiek vektoru pievienošana. Bērniem nav ne jausmas, kas aiz viņiem slēpjas. Jums vienkārši jāatceras noteikumi, nevis jādomā par būtību. Tāpēc tieši vektoru lielumu saskaitīšanas un atņemšanas principi prasa daudz zināšanu.

Divu vai vairāku vektoru pievienošana vienmēr rada vēl vienu. Turklāt tas vienmēr būs vienāds neatkarīgi no tā, kā tas tiek atrasts.

Visbiežāk skolas ģeometrijas kursā tiek apsvērta divu vektoru pievienošana. To var veikt saskaņā ar trīsstūra vai paralelograma likumu. Šie zīmējumi izskatās savādāk, bet darbības rezultāts ir vienāds.

Kā notiek saskaitīšana, izmantojot trijstūra likumu?

To lieto, ja vektori nav kolineāri. Tas ir, tie neatrodas uz vienas taisnas līnijas vai paralēlām.

Šajā gadījumā pirmais vektors ir jāatzīmē no kāda patvaļīga punkta. No tā gala ir jāvelk paralēli un vienādi ar otro. Rezultāts būs vektors, kas sākas no pirmā sākuma un beidzas otrā beigās. Raksts atgādina trīsstūri. Līdz ar to noteikuma nosaukums.

Ja vektori ir kolineāri, tad var piemērot arī šo noteikumu. Tikai zīmējums atradīsies pa vienu līniju.

Kā tiek veikta saskaitīšana, izmantojot paralelograma likumu?

Jau atkal? attiecas tikai uz nekolineāriem vektoriem. Būvniecība tiek veikta pēc cita principa. Lai gan sākums tāds pats. Mums ir jāatceļ pirmais vektors. Un no tā sākuma - otrais. Pamatojoties uz tiem, aizpildiet paralelogramu un novelciet diagonāli no abu vektoru sākuma. Tāds būs rezultāts. Šādi tiek veikta vektoru saskaitīšana saskaņā ar paralelograma likumu.

Līdz šim bijušas divas. Bet ko tad, ja ir 3 vai 10 no tiem? Izmantojiet šādu tehniku.

Kā un kad tiek piemērots daudzstūru noteikums?

Ja jums ir nepieciešams pievienot vektorus, kuru skaits ir lielāks par diviem, nebaidieties. Pietiek tos visus secīgi nolikt malā un savienot ķēdes sākumu ar tā galu. Šis vektors būs vajadzīgā summa.

Kādas īpašības ir derīgas operācijām ar vektoriem?

Par nulles vektoru. Kurā teikts, ka, pievienojot tam, tiek iegūts oriģināls.

Par pretējo vektoru. Tas ir, par tādu, kam ir pretējs virziens un vienāds lielums. To summa būs nulle.

Par saskaitīšanas komutativitāti. Kaut kas zināms kopš pamatskolas. Mainot terminu pozīcijas, rezultāts nemainās. Citiem vārdiem sakot, nav svarīgi, kuru vektoru atlikt vispirms. Atbilde joprojām būs pareiza un unikāla.

Par pievienošanas asociativitāti.Šis likums ļauj pievienot jebkurus vektorus no trīskārša pa pāriem un pievienot tiem trešo. Ja rakstāt, izmantojot simbolus, jūs saņemsiet sekojošo:

pirmais + (otrais + trešais) = otrais + (pirmais + trešais) = trešais + (pirmais + otrais).

Kas ir zināms par vektoru atšķirību?

Nav atsevišķas atņemšanas darbības. Tas ir saistīts ar faktu, ka tas būtībā ir papildinājums. Tikai otrajam no tiem tiek dots pretējs virziens. Un tad viss tiek darīts tā, it kā būtu apsvērta vektoru pievienošana. Tāpēc par to atšķirību praktiski nav runas.

Lai vienkāršotu darbu ar to atņemšanu, tiek modificēts trijstūra noteikums. Tagad (atņemot) otrais vektors ir jāatstāj malā no pirmā sākuma. Atbilde būs tā, kas savienos minuend beigu punktu ar to pašu, kas ir apakšpunkts. Lai gan jūs varat to atlikt, kā aprakstīts iepriekš, vienkārši mainot otrā virzienu.

Kā atrast vektoru summu un starpību koordinātēs?

Problēma dod vektoru koordinātas un prasa noskaidrot to vērtības gala rezultātam. Šajā gadījumā nav nepieciešams veikt konstrukcijas. Tas nozīmē, ka varat izmantot vienkāršas formulas, kas apraksta vektoru pievienošanas noteikumu. Tie izskatās šādi:

a (x, y, z) + b (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);

a (x, y, z) -b (k, l, m) = c (x-k, y-l, z-m).

Ir viegli saprast, ka koordinātas ir vienkārši jāsaskaita vai jāatņem atkarībā no konkrētā uzdevuma.

Pirmais piemērs ar risinājumu

Stāvoklis. Dots taisnstūris ABCD. Tās malas ir vienādas ar 6 un 8 cm. Diagonāļu krustošanās punkts ir apzīmēts ar burtu O. Nepieciešams aprēķināt starpību starp vektoriem AO un VO.

Risinājums. Vispirms jums ir jāzīmē šie vektori. Tie ir vērsti no taisnstūra virsotnēm uz diagonāļu krustošanās punktu.

Ja paskatās cieši uz zīmējumu, var redzēt, ka vektori jau ir apvienoti tā, ka otrais no tiem saskaras ar pirmā gala. Vienkārši viņa virziens ir nepareizs. Tam vajadzētu sākt no šī punkta. Tas notiek, ja vektori tiek pievienoti, bet problēma ir saistīta ar atņemšanu. Stop. Šī darbība nozīmē, ka jums jāpievieno pretējā virziena vektors. Tas nozīmē, ka VO ir jāaizstāj ar OV. Un izrādās, ka abi vektori no trijstūra noteikuma jau ir izveidojuši malu pāri. Tāpēc to pievienošanas rezultāts, tas ir, vēlamā atšķirība, ir vektors AB.

Un tas sakrīt ar taisnstūra malu. Lai pierakstītu savu skaitlisko atbildi, jums būs nepieciešams šāds. Uzzīmējiet taisnstūri gareniski tā, lai lielākā mala būtu horizontāla. Sāciet numurēt virsotnes no apakšējās kreisās puses un virzieties pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Tad vektora AB garums būs 8 cm.

Atbilde. Atšķirība starp AO un VO ir 8 cm.

Otrais piemērs un tā detalizētais risinājums

Stāvoklis. Romba ABCD diagonāles ir 12 un 16 cm. To krustošanās punktu apzīmē ar burtu O. Aprēķiniet vektora garumu, ko veido vektoru AO un BO starpība.

Risinājums. Lai romba virsotņu apzīmējums būtu tāds pats kā iepriekšējā uzdevumā. Līdzīgi kā pirmā piemēra risinājumam, izrādās, ka vajadzīgā starpība ir vienāda ar vektoru AB. Un tā garums nav zināms. Problēmas atrisināšana bija viena no romba malām.

Šim nolūkam jums būs jāņem vērā trīsstūris ABO. Tas ir taisnstūrveida, jo romba diagonāles krustojas 90 grādu leņķī. Un tā kājas ir vienādas ar pusi no diagonālēm. Tas ir, 6 un 8 cm.. Problēmā meklētā mala sakrīt ar hipotenūzu šajā trīsstūrī.

Lai to atrastu, jums būs nepieciešama Pitagora teorēma. Hipotenūzas kvadrāts būs vienāds ar skaitļu 6 2 un 8 2 summu. Pēc sadalīšanas kvadrātā iegūtās vērtības ir: 36 un 64. To summa ir 100. No tā izriet, ka hipotenūza ir vienāda ar 10 cm.

Atbilde. Atšķirība starp vektoriem AO un VO ir 10 cm.

Trešais piemērs ar detalizētu risinājumu

Stāvoklis. Aprēķiniet divu vektoru starpību un summu. Viņu koordinātas ir zināmas: pirmajā ir 1 un 2, otrajā ir 4 un 8.

Risinājums. Lai atrastu summu, jums būs jāsaskaita pirmā un otrā koordinātas pa pāriem. Rezultātā tiks iegūti skaitļi 5 un 10. Atbilde būs vektors ar koordinātām (5; 10).

Lai iegūtu starpību, jums ir jāatņem koordinātas. Pēc šīs darbības veikšanas tiks iegūti skaitļi -3 un -6. Tās būs vēlamā vektora koordinātas.

Atbilde. Vektoru summa ir (5; 10), to starpība ir (-3; -6).

Ceturtais piemērs

Stāvoklis. Vektora AB garums ir 6 cm, BC ir 8 cm. Otrais ir nolikts no pirmā gala 90 grādu leņķī. Aprēķināt: a) starpību starp vektoru VA un BC moduļiem un starpības moduli starp VA un BC; b) to pašu moduļu summa un summas modulis.

Risinājums: a) vektoru garumi jau ir doti uzdevumā. Tāpēc to starpības aprēķināšana nav grūta. 6 - 8 = -2. Situācija ar atšķirību moduli ir nedaudz sarežģītāka. Vispirms jums jānoskaidro, kurš vektors būs atņemšanas rezultāts. Šim nolūkam jānoliek malā vektors BA, kas ir vērsts pretējā virzienā AB. Pēc tam uzzīmējiet vektoru BC no tā gala, virzot to virzienā, kas ir pretējs sākotnējam. Atņemšanas rezultāts ir vektors CA. Tās moduli var aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmu. Vienkārši aprēķini noved pie 10 cm vērtības.

b) vektoru moduļu summa ir vienāda ar 14 cm Lai atrastu otro atbildi, būs nepieciešama kāda transformācija. Vektors BA ir pretēji vērsts dotajam - AB. Abi vektori ir vērsti no viena punkta. Šajā situācijā varat izmantot paralelograma noteikumu. Papildinājuma rezultāts būs diagonāle, nevis tikai paralelograms, bet arī taisnstūris. Tās diagonāles ir vienādas, kas nozīmē, ka summas modulis ir tāds pats kā iepriekšējā punktā.

Atbilde: a) -2 un 10 cm; b) 14 un 10 cm.

Skalārais daudzums ir fizisks lielums, kam ir tikai viens raksturlielums - skaitliska vērtība.

Skalārais lielums var būt pozitīvs vai negatīvs.

Skalāro lielumu piemēri: temperatūra, masa, tilpums, laiks, blīvums. Matemātiskās darbības ar skalārajiem lielumiem ir algebriskas darbības.

Vektoru daudzums ir fizisks lielums, kam ir divas īpašības:

1) skaitliskā vērtība, kas vienmēr ir pozitīva (vektora modulis);

Vektoru fizisko lielumu piemēri: ātrums, paātrinājums, spēks.

Vektora lielumu apzīmē ar latīņu burtu un bultiņu virs šī burta. Piemēram:

Vektoru moduli apzīmē šādi:

vai - vektora modulis ,

vai - vektora modulis ,

vai - vektora modulis ,

Attēlā (grafiski) vektors ir attēlots ar virzītu taisnas līnijas segmentu. Vektora lielums ir vienāds ar virzītā segmenta garumu noteiktā mērogā.

2.2. Darbības ar vektoriem

Matemātiskās darbības ar vektoru lielumiem ir ģeometriskas darbības.

2.2.1. Vektoru salīdzinājums

Vienlīdzīgi vektori. Divi vektori ir vienādi, ja tiem ir:

vienādi moduļi,

vienādi virzieni.

Pretēji vektori. Divi vektori ir pretēji, ja tiem ir:

vienādi moduļi,

pretējos virzienos.

2.2.2. Vektoru pievienošana

Mēs varam ģeometriski pievienot divus vektorus, izmantojot paralelograma likumu un trīsstūra likumu.

Doti divi vektori Un (skat. attēlu). Atradīsim šo vektoru summu +=. Daudzumi Un ir komponentu vektori, vektors ir iegūtais vektors.

Paralēlogrammas noteikums divu vektoru pievienošanai:

1. Uzzīmēsim vektoru .

2. Uzzīmēsim vektoru lai tā sākums sakristu ar vektora sākumu ; leņķis starp vektoriem ir vienāds ar (skat. attēlu).

3. Caur vektora galu .

4. Caur vektora galu novelciet taisnu līniju, kas ir paralēla vektoram .

Mēs esam izveidojuši paralelogramu. Šī paralelograma malas ir komponentu vektori Un .

5. Uzzīmējiet paralelograma diagonāli no vektora kopējā sākuma punkta un vektora sākums .

6. Iegūtā vektora modulis ir vienāds ar paralelograma diagonāles garumu un tiek noteikts pēc formulas:

vektora sākums sakrīt ar vektora sākumu un vektora sākums (vektora virziens parādīts attēlā).

Trīsstūra noteikums divu vektoru pievienošanai:

1. Uzzīmēsim komponentu vektorus Un lai vektora sākums sakrīt ar vektora beigām . Šajā gadījumā leņķis starp vektoriem ir vienāds ar .

2. Iegūtais vektors ir vērsta tā, lai tā izcelsme sakristu ar vektora izcelsmi , un beigas sakrīt ar vektora beigām .

3. Iegūtā vektora moduli atrod pēc formulas:

2.2.3. Vektoru atņemšana

Vektoru atņemšana ir saskaitīšanas apgrieztā vērtība:

Atrodiet vektora atšķirību un vektors - tas ir tas pats, kas atrast vektora summu un vektors
, pretēji vektoram . Atšķirības vektoru varam atrast ģeometriski, izmantojot paralelograma likumu vai trijstūra likumu (sk. attēlu).

Paralelogrammas noteikums.

Paralelograma malas - vektors un vektors - ; paralelograma diagonāle - starpības vektors
.

Trijstūra noteikums.

Atšķirības vektors savieno vektora galu un vektora beigas (vektora sākums sakrīt ar vektora beigām ).

2.2.4. Vektora reizināšana ar skalāru

Ļaujiet dotajam vektoram un skalārs. Atradīsim vektora reizinājumu un skalārais vektors.

Reizinot vektoru ar skalāru, mēs iegūstam jaunu vektoru :

Vektora virziens tāds pats kā vektora virziens plkst
.

Vektora virziens pretēji vektora virzienam plkst
.

Vektoru modulis n reizes lielāks par vektora moduli , Ja
.

2.3. Punkts un krustojums

2.3.1. punktu produkts

No diviem vektoriem Un jūs varat izveidot skalāru saskaņā ar noteikumu:

Šo izteiksmi sauc par vektoru skalāro reizinājumu Un
, vai
.

Tāpēc . =
.

Pēc definīcijas skalāram reizinājumam ir šādas īpašības:

1)
,

2)
,

3)

2.3.2. Šķērsprodukts

No diviem vektoriem
Un
Jūs varat izveidot jaunu vektoru:

, Kur

Jaunā iegūtā vektora modulis tiek atrasts pēc formulas:

.

Šo darbību sauc par vektoru krustojumu Un un ir norādīts ar vienu no simboliem
vai
.

Arī formula ir labi zināma

,

Kur - leņķis starp vektoriem Un .

Vektora virziens var atrast, izmantojot šādu tehniku. Mēs garīgi apvienojam spārna garenisko asi (labā skrūve, korķviļķis) ar perpendikulāru plaknei, kurā atrodas reizinātie vektori (šajā piemērā vektori Un ). Tad mēs sākam griezt skrūves galvu (korķviļķa rokturi) īsākā griešanās virzienā no pirmā faktora uz otro, tas ir, no vektora uz vektoru . Propellera korpusa kustības virziens būs vektora virziens . Šo tehniku ​​sauc labās puses skrūvju kārta vai karkasa likums (skat. attēlu).

Vektora reizinājuma izteiksmē tiek izteikts spēka moments, leņķiskais impulss utt.. Runājot par vektoru, vienmēr domājam tā sastāvdaļas. Vektoru, atšķirībā no skalāra, nosaka trīs skaitļi. Tāpēc tādas darbības kā saskaitīšana, atņemšana, skalārais un vektorprodukts tiek reducētas līdz pazīstamām darbībām ar komponentiem.

Lai veiktu vektoru pievienošanas operāciju, ir vairākas metodes, kuras atkarībā no situācijas un aplūkojamo vektoru veida var būt ērtāk lietojamas. Apskatīsim vektoru pievienošanas noteikumus:

Trijstūra noteikums

Trīsstūra noteikums ir šāds: lai pievienotu divus vektorus x, y, jākonstruē vektors x tā, lai tā sākums sakristu ar vektora y beigām. Tad to summa būs vektora z vērtība, un vektora z sākums sakritīs ar vektora x sākumu un beigas ar vektora y beigām.

Trijstūra noteikums palīdz, ja vektoru skaits, kas jāsaskaita, nav lielāks par diviem.

Daudzstūra noteikums

Daudzstūra noteikums ir vienkāršākais un ērtākais, lai plaknē vai telpā pievienotu jebkuru vektoru skaitu. Noteikuma būtība ir šāda: pievienojot vektorus, tie ir jāpievieno secīgi viens pēc otra, lai nākamā vektora sākums sakristu ar iepriekšējā vektora beigām, savukārt vektors, kas aizver iegūto līkni, ir pievienoto vektoru summa. To skaidri parāda vienādība w= x + y + z, kur vektors w ir šo vektoru summa. Turklāt jāņem vērā, ka, mainot vektoru vārdu vietas, summa nemainās, tas ir, (x + y) + z = x + (y + z).

Paralelogrammas noteikums

Paralelograma noteikums tiek izmantots, lai pievienotu vektorus, kuru izcelsme ir no tā paša punkta. Šis noteikums nosaka, ka vektoru x un y summa, kuru izcelsme ir vienā punktā, būs trešais vektors z, kas arī izplūst no šī punkta, un vektori x un y ir paralelograma malas, un vektors z ir tā diagonāle. . Šajā gadījumā arī nav svarīgi, kādā secībā vektori tiks pievienoti.

Tādējādi daudzstūra noteikums, trijstūra noteikums un paralelograma noteikums palīdz atrisināt absolūti jebkuras sarežģītības vektoru pievienošanas problēmas gan plaknē, gan telpā.

Skalārais daudzums ir fizisks lielums, kam ir tikai viens raksturlielums - skaitliska vērtība.

Skalārais lielums var būt pozitīvs vai negatīvs.

Skalāro lielumu piemēri: temperatūra, masa, tilpums, laiks, blīvums. Matemātiskās darbības ar skalārajiem lielumiem ir algebriskas darbības.

Vektoru daudzums ir fizisks lielums, kam ir divas īpašības:

1) skaitliskā vērtība, kas vienmēr ir pozitīva (vektora modulis);

Vektoru fizisko lielumu piemēri: ātrums, paātrinājums, spēks.

Vektora lielumu apzīmē ar latīņu burtu un bultiņu virs šī burta. Piemēram:

Vektoru moduli apzīmē šādi:

vai - vektora modulis ,

vai - vektora modulis ,

vai - vektora modulis ,

Attēlā (grafiski) vektors ir attēlots ar virzītu taisnas līnijas segmentu. Vektora lielums ir vienāds ar virzītā segmenta garumu noteiktā mērogā.

2.2. Darbības ar vektoriem

Matemātiskās darbības ar vektoru lielumiem ir ģeometriskas darbības.

2.2.1. Vektoru salīdzinājums

Vienlīdzīgi vektori. Divi vektori ir vienādi, ja tiem ir:

vienādi moduļi,

vienādi virzieni.

Pretēji vektori. Divi vektori ir pretēji, ja tiem ir:

vienādi moduļi,

pretējos virzienos.

2.2.2. Vektoru pievienošana

Mēs varam ģeometriski pievienot divus vektorus, izmantojot paralelograma likumu un trīsstūra likumu.

Doti divi vektori Un (skat. attēlu). Atradīsim šo vektoru summu +=. Daudzumi Un ir komponentu vektori, vektors ir iegūtais vektors.

Paralēlogrammas noteikums divu vektoru pievienošanai:

1. Uzzīmēsim vektoru .

2. Uzzīmēsim vektoru lai tā sākums sakristu ar vektora sākumu ; leņķis starp vektoriem ir vienāds ar (skat. attēlu).

3. Caur vektora galu .

4. Caur vektora galu novelciet taisnu līniju, kas ir paralēla vektoram .

Mēs esam izveidojuši paralelogramu. Šī paralelograma malas ir komponentu vektori Un .

5. Uzzīmējiet paralelograma diagonāli no vektora kopējā sākuma punkta un vektora sākums .

6. Iegūtā vektora modulis ir vienāds ar paralelograma diagonāles garumu un tiek noteikts pēc formulas:

vektora sākums sakrīt ar vektora sākumu un vektora sākums (vektora virziens parādīts attēlā).

Trīsstūra noteikums divu vektoru pievienošanai:

1. Uzzīmēsim komponentu vektorus Un lai vektora sākums sakrīt ar vektora beigām . Šajā gadījumā leņķis starp vektoriem ir vienāds ar .

2. Iegūtais vektors ir vērsta tā, lai tā izcelsme sakristu ar vektora izcelsmi , un beigas sakrīt ar vektora beigām .

3. Iegūtā vektora moduli atrod pēc formulas:

2.2.3. Vektoru atņemšana

Vektoru atņemšana ir saskaitīšanas apgrieztā vērtība:

Atrodiet vektora atšķirību un vektors - tas ir tas pats, kas atrast vektora summu un vektors
, pretēji vektoram . Atšķirības vektoru varam atrast ģeometriski, izmantojot paralelograma likumu vai trijstūra likumu (sk. attēlu).

Paralelogrammas noteikums.

Paralelograma malas - vektors un vektors - ; paralelograma diagonāle - starpības vektors
.

Trijstūra noteikums.

Atšķirības vektors savieno vektora galu un vektora beigas (vektora sākums sakrīt ar vektora beigām ).

2.2.4. Vektora reizināšana ar skalāru

Ļaujiet dotajam vektoram un skalārs. Atradīsim vektora reizinājumu un skalārais vektors.

Reizinot vektoru ar skalāru, mēs iegūstam jaunu vektoru :

Vektora virziens tāds pats kā vektora virziens plkst
.

Vektora virziens pretēji vektora virzienam plkst
.

Vektoru modulis n reizes lielāks par vektora moduli , Ja
.

2.3. Punkts un krustojums

2.3.1. punktu produkts

No diviem vektoriem Un jūs varat izveidot skalāru saskaņā ar noteikumu:

Šo izteiksmi sauc par vektoru skalāro reizinājumu Un
, vai
.

Tāpēc . =
.

Pēc definīcijas skalāram reizinājumam ir šādas īpašības:

1)
,

2)
,

3)

2.3.2. Šķērsprodukts

No diviem vektoriem
Un
Jūs varat izveidot jaunu vektoru:

, Kur

Jaunā iegūtā vektora modulis tiek atrasts pēc formulas:

.

Šo darbību sauc par vektoru krustojumu Un un ir norādīts ar vienu no simboliem
vai
.

Arī formula ir labi zināma

,

Kur - leņķis starp vektoriem Un .

Vektora virziens var atrast, izmantojot šādu tehniku. Mēs garīgi apvienojam spārna garenisko asi (labā skrūve, korķviļķis) ar perpendikulāru plaknei, kurā atrodas reizinātie vektori (šajā piemērā vektori Un ). Tad mēs sākam griezt skrūves galvu (korķviļķa rokturi) īsākā griešanās virzienā no pirmā faktora uz otro, tas ir, no vektora uz vektoru . Propellera korpusa kustības virziens būs vektora virziens . Šo tehniku ​​sauc labās puses skrūvju kārta vai karkasa likums (skat. attēlu).

Vektora reizinājuma izteiksmē tiek izteikts spēka moments, leņķiskais impulss utt.. Runājot par vektoru, vienmēr domājam tā sastāvdaļas. Vektoru, atšķirībā no skalāra, nosaka trīs skaitļi. Tāpēc tādas darbības kā saskaitīšana, atņemšana, skalārais un vektorprodukts tiek reducētas līdz pazīstamām darbībām ar komponentiem.

Vektors- virzīts līnijas posms, tas ir, segments, kuram ir norādīts, kurš no tā robežpunktiem ir sākums un kurš beigas.

Vektors sākas ar punktu A (\displaystyle A) un beidzas noteiktā punktā B (\displeja stils B) parasti apzīmē kā . Vektorus var apzīmēt arī ar maziem latīņu burtiem ar bultiņu (dažreiz domuzīmi) virs tiem, piemēram. Vēl viens izplatīts rakstīšanas veids ir izcelt vektora simbolu treknrakstā: a (\displaystyle \mathbf (a) ).

Vektoru ģeometrijā dabiski salīdzina ar tulkojumu (paralēlo tulkojumu), kas acīmredzami precizē tā nosaukuma izcelsmi (lat. vektors, pārvadātājs). Tātad katrs virzītais segments unikāli definē kādu paralēlu plaknes vai telpas pārnesi: teiksim, vektoru A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) dabiski nosaka tulkojumu, kurā punkts A (\displaystyle A) dosies uz punktu B (\displeja stils B), arī otrādi, paralēla pārsūtīšana, kurā A (\displaystyle A) iet iekšā B (\displeja stils B), definē vienu virzītu segmentu A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))(vienīgais, ja mēs uzskatām visus viena virziena virzītos segmentus par vienādiem un - tas ir, uzskatām tos par; patiešām, paralēli tulkojot, visi punkti tiek nobīdīti vienā virzienā par vienu un to pašu attālumu, tāpēc šajā izpratnē A 1 B 1 → = A 2 B 2 → = A 3 B 3 → = … (\displaystyle (\overrightarrow (A_(1)B_(1)))=(\overrightarrow (A_(2)B_(2)) )=(\overright arrow (A_(3)B_(3)))=\punkti )).

Vektora kā pārneses interpretācija ļauj ieviest operāciju dabiskā un intuitīvi acīmredzamā veidā - kā divu (vai vairāku) pārnesumu kompozīciju (secīgu pielietojumu); tas pats attiecas uz vektora reizināšanas ar skaitli.

Pamatjēdzieni

Vektors ir virzīts segments, kas izveidots no diviem punktiem, no kuriem viens tiek uzskatīts par sākumu, bet otrs par beigām.

Vektora koordinātas tiek definētas kā starpība starp tā sākuma un beigu punktu koordinātām. Piemēram, koordinātu plaknē, ja ir norādītas sākuma un beigu koordinātas: T 1 = (x 1 , y 1) (\displaystyle T_(1)=(x_(1),y_(1))) Un T 2 = (x 2 , y 2) (\displaystyle T_(2)=(x_(2),y_(2))), tad vektora koordinātas būs: V → = T 2 − T 1 = (x 2 , y 2) − (x 1 , y 1) = (x 2 − x 1, y 2 − y 1) (\displeja stils (\overright bultiņa (V))=T_ (2)-T_(1)=(x_(2),y_(2))-(x_(1),y_(1))=(x_(2)-x_(1),y_(2)-y_ (1))).

Vektora garums V → (\displaystyle (\overright arrow (V))) ir attālums starp diviem punktiem T 1 (\displaystyle T_(1)) Un T 2 (\displaystyle T_(2)), to parasti apzīmē | V → | = | T 2 − T 1 | = | (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) | = (x 2 − x 1) 2 + (y 2 − y 1) 2 (\displaystyle |(\overright bultiņa (V))|=|T_(2)-T_(1)|=|(x_(2)- x_(1),y_(2)-y_(1))|=(\sqrt ((x_(2)-x_(1))^(2)+(y_(2)-y_(1))^( 2))))

Nulles lomu vektoru vidū spēlē nulles vektors, kura sākums un beigas sakrīt T 1 = T 2 (\displeja stils T_(1) = T_(2)); tai atšķirībā no citiem vektoriem nav piešķirts neviens virziens.

Vektoru koordinātu attēlošanai jēdzienam ir liela nozīme vektora projekcija uz asi(virziena taisne, sk. attēlu). Projekcija ir segmenta garums, ko veido vektora sākuma un beigu punktu projekcijas uz dotās taisnes, un projekcijai tiek piešķirta plus zīme, ja projekcijas virziens atbilst ass virzienam, pretējā gadījumā - mīnusa zīme. Projekcija ir vienāda ar sākotnējā vektora garumu, kas reizināts ar leņķa starp sākotnējo vektoru un asi kosinusu; vektora projekcija uz tai perpendikulāri asi ir nulle.

Lietojumprogrammas

Vektorus plaši izmanto ģeometrijā un lietišķajās zinātnēs, kur tos izmanto, lai attēlotu lielumus, kuriem ir virziens (spēki, ātrumi utt.). Vektoru izmantošana vienkāršo vairākas darbības – piemēram, leņķu noteikšanu starp taisnēm vai segmentiem, figūru laukumu aprēķināšanu. Datorgrafikā parastos vektorus izmanto, lai radītu pareizu ķermeņa apgaismojumu. Par koordinātu metodes pamatu var izmantot vektoru izmantošanu.

Vektoru veidi

Dažreiz tā vietā, lai apsvērtu vektoru kopu visi virzīti segmenti (uzskatot par atsevišķiem visus virzītos segmentus, kuru sākums un beigas nesakrīt), tie veic tikai dažas šīs kopas modifikācijas (faktoru kopa), tas ir, daži virzīti segmenti tiek uzskatīti par vienādiem, ja tiem ir vienāds virziens un garums, lai gan tiem var būt atšķirīgs sākums (un beigas), tas ir, tiek uzskatīts, ka vienāda garuma un virziena virzīti segmenti pārstāv vienu un to pašu vektoru; Tādējādi izrādās, ka katram vektoram ir atbilstoša vesela virzītu segmentu klase, kas ir vienādi pēc garuma un virziena, bet atšķiras pēc sākuma (un beigām).

Jā, viņi runā par "bezmaksas", "slīdošs" Un "fiksētie" vektori. Šie veidi atšķiras ar divu vektoru vienādības jēdzienu.

• Runājot par brīvajiem vektoriem, tie identificē jebkurus vektorus, kuriem ir vienāds virziens un garums;
• runājot par slīdošiem vektoriem, viņi piebilst, ka vienādu slīdošo vektoru sākumpunktiem jāsakrīt vai jāatrodas uz vienas taisnes, uz kuras atrodas šos vektorus attēlojošie virzītie segmenti (lai vienu varētu apvienot ar citu kustību tā norādītajā virzienā);
• runājot par fiksētiem vektoriem, viņi saka, ka tikai tie vektori, kuru virzieni un sākumi sakrīt, tiek uzskatīti par vienādiem (tas ir, šajā gadījumā nav faktorizācijas: nav divu fiksētu vektoru ar dažādu izcelsmi, kas tiktu uzskatīti par vienādiem).

Formāli:

Viņi to saka bezmaksas vektori A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) un ir vienādi, ja ir punkti E (\displaystyle E) Un F (\displaystyle F) tādi, ka četrstūri A B F E (\displaystyle ABFE) Un C D F E (\displaystyle CDFE)- paralelogrami.

Viņi to saka slīdošie vektori A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) Un C D → (\displaystyle \ (\overrightarrow (CD))) ir vienādi, ja

Bīdošie vektori īpaši tiek izmantoti mehānikā. Vienkāršākais slīdošā vektora piemērs mehānikā ir spēks, kas iedarbojas uz stingru ķermeni. Spēka vektora sākumpunkta nobīde pa taisni, uz kuras tas atrodas, nemaina spēka momentu attiecībā pret nevienu punktu; tā pārnešana uz citu taisni, pat ja nemaina vektora lielumu un virzienu, var izraisīt tā momenta izmaiņas (pat gandrīz vienmēr): tāpēc, aprēķinot momentu, spēku nevar uzskatīt par brīvu. vektoru, tas ir, to nevar uzskatīt par piemērotu stingru ķermeņu patvaļīgam punktam.

Viņi to saka fiksēti vektori A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) Un C D → (\displaystyle \ (\overrightarrow (CD))) ir vienādi, ja punkti sakrīt pa pāriem A (\displaystyle A) Un C (\displaystyle C), B (\displeja stils B) Un D (\displeja stils D).

Vektors vienā gadījumā ir virzīts segments, bet citos gadījumos dažādi vektori ir dažādas virzītu segmentu ekvivalences klases, ko nosaka kāda noteikta ekvivalences sakarība. Turklāt ekvivalences attiecības var būt dažādas, nosakot vektora veidu (“bezmaksas”, “fiksēts” utt.). Vienkārši sakot, ekvivalences klasē visi tajā iekļautie virzītie segmenti tiek uzskatīti par pilnīgi vienādiem, un katrs var vienādi pārstāvēt visu klasi.

Visas darbības ar vektoriem (saskaitīšana, reizināšana ar skaitli, skalāra un vektora reizinājums, moduļa vai garuma aprēķins, leņķis starp vektoriem utt.) principā ir definētas vienādi visiem vektoru veidiem; tipu atšķirība ir samazināta tas attiecas tikai uz to, ka kustīgajiem un fiksētajiem vektoriem tiek noteikts ierobežojums iespējai veikt darbības starp diviem vektoriem, kuriem ir dažādi sākumi (piemēram, diviem fiksētiem vektoriem saskaitīšana ir aizliegta - vai nav jēgas - ja to sākumi ir atšķiras; tomēr visos gadījumos, kad šī darbība ir atļauta vai tai ir nozīme, tā ir tāda pati kā brīvajiem vektoriem). Tāpēc bieži vien vektora tips vispār nav skaidri norādīts, tiek pieņemts, ka tas ir acīmredzams no konteksta. Turklāt atkarībā no problēmas konteksta vienu un to pašu vektoru var uzskatīt par fiksētu, slīdošu vai brīvu; piemēram, mehānikā, atrodot rezultāto, ķermenim pielikto spēku vektorus var summēt neatkarīgi no pielietojuma punkta. (gan statikā, gan dinamikā, pētot masas centra kustību, impulsa izmaiņas u.c.), taču nevar tikt pieskaitīti viens otram, neņemot vērā pielietojuma punktus griezes momenta aprēķināšanā (arī statikā un dinamikā) .

Attiecības starp vektoriem

Koordinātu pārstāvniecība

Strādājot ar vektoriem, bieži tiek ieviesta noteikta Dekarta koordinātu sistēma un tajā noteiktas vektora koordinātas, sadalot to bāzes vektoros. Bāzes paplašināšana var attēlot ģeometriski, izmantojot vektoru projekcijas uz koordinātu asīm. Ja ir zināmas vektora sākuma un beigu koordinātas, paša vektora koordinātas iegūst, no vektora beigu koordinātām atņemot tā sākuma koordinātas.

A B → = (A B x , A B y , A B z) = (B x − A x , B y − A y , B z − A z) (\displaystyle (\overright arrow (AB))=(AB_(x), AB_(y),AB_(z))=(B_(x)-A_(x),B_(y)-A_(y),B_(z)-A_(z)))

Koordinātu vienību vektori, apzīmēti ar i → , j → , k → (\displaystyle (\vec (i)), (\vec (j)), (\vec (k))), kas atbilst asīm x , y , z (\displaystyle x,y,z). Tad vektors a → (\displaystyle (\vec (a))) var rakstīt kā

a → = a x i → + a y j → + a z k → (\displeja stils (\vec (a))=a_(x)(\vec (i))+a_(y)(\vec (j))+a_(z) (\vec (k)))

Jebkuru ģeometrisko īpašību var ierakstīt koordinātēs, pēc tam pētījums no ģeometriskā kļūst algebrisks un bieži vien tiek vienkāršots. Pretējais, vispārīgi runājot, nav pilnīgi taisnība: parasti ir pieņemts teikt, ka tikai tām attiecībām, kas pastāv jebkurā Dekarta koordinātu sistēmā, ir “ģeometriskā interpretācija”. nemainīgs).

Darbības ar vektoriem

Vektoru modulis

Vektoru modulis A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) ir skaitlis, kas vienāds ar segmenta garumu A B (\displaystyle AB). Apzīmēts kā | A B → | (\displaystyle |(\overright arrow (AB))|). Izmantojot koordinātas, to aprēķina šādi:

| a → | = a x 2 + a y 2 + a z 2 (\displaystyle |(\vec (a))|=(\sqrt (a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^( 2))))

Vektoru pievienošana

Koordinātu attēlojumā summas vektoru iegūst, summējot atbilstošās terminu koordinātas:

a → + b → = (a x + b x , a y + b y , a z + b z) (\displeja stils (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_ (y)+b_(y),a_(z)+b_(z)))

Ģeometriski konstruēt summas vektoru c → = a → + b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))+(\vec (b))) izmantot dažādus noteikumus (metodes), taču tie visi dod vienu un to pašu rezultātu. Viena vai otra noteikuma izmantošana ir pamatota ar risināmo problēmu.

Trijstūra noteikums

Trīsstūra noteikums visdabiskāk izriet no vektora izpratnes par pārnesi. Ir skaidrs, ka divu pārskaitījumu secīgas piemērošanas rezultāts a → (\displaystyle (\vec (a))) un kāds brīdis būs tas pats, kas piemērot vienu pārskaitījumu uzreiz atbilstoši šim noteikumam. Lai pievienotu divus vektorus a → (\displaystyle (\vec (a))) Un b → (\displaystyle (\vec (b))) saskaņā ar trijstūra likumu abi šie vektori tiek pārnesti paralēli paši sev tā, lai viena no tiem sākums sakristu ar otra beigām. Tad summas vektoru uzrāda iegūtā trijstūra trešā mala, un tā sākums sakrīt ar pirmā vektora sākumu, bet beigas ar otrā vektora beigām.

Šo noteikumu var tieši un dabiski vispārināt, pievienojot jebkuru vektoru skaitu, pārvēršoties par lauztas līnijas noteikums:

Trīs punktu noteikums

Ja segments A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) attēlo vektoru a → (\displaystyle (\vec (a))) un segmentu B C → (\displaystyle (\overrightarrow (BC))) attēlo vektoru b → (\displaystyle (\vec (b))), tad segments A C → (\displaystyle (\overrightarrow (AC))) attēlo vektoru a → + b → (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))) .

Daudzstūra noteikums

Otrā vektora sākums sakrīt ar pirmā vektora beigām, trešā sākums ar otrā vektora beigām un tā tālāk, summa n (\displaystyle n) vektori ir vektors, kura sākums sakrīt ar pirmā sākumu un beigas sakrīt ar beigām n (\displaystyle n)-th (tas ir, attēlots ar virzītu segmentu, kas aizver polilīniju). To sauc arī par lauztās līnijas noteikumu.

Paralelogrammas noteikums

Lai pievienotu divus vektorus a → (\displaystyle (\vec (a))) Un b → (\displaystyle (\vec (b))) Saskaņā ar paralelograma likumu abi šie vektori tiek pārnesti paralēli paši sev, lai to izcelsme sakristu. Tad summas vektoru dod uz tiem konstruētā paralelograma diagonāle, sākot no to kopīgās sākuma. (Izmantojot trijstūra likumu, ir viegli redzēt, ka šī diagonāle sakrīt ar trijstūra trešo malu).

Paralelograma noteikums ir īpaši ērts, ja ir nepieciešams attēlot summas vektoru, kas uzreiz tiek piemērots vienam un tam pašam punktam, uz kuru attiecas abi termini, tas ir, lai attēlotu visus trīs vektorus kā kopēju izcelsmi.

Vektoru summas modulis

Divu vektoru summas modulis var aprēķināt, izmantojot kosinusu teorēmu:

| a → + b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) (\displaystyle |(\vec (a))+(\vec (b))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+|( \vec (b))|^(2)+2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b))) ), Kur a → (\displaystyle (\vec (a))) Un b → (\displaystyle (\vec (b))).

Ja vektori ir attēloti saskaņā ar trijstūra likumu un leņķis tiek ņemts saskaņā ar zīmējumu - starp trijstūra malām -, kas nesakrīt ar parasto leņķa definīciju starp vektoriem, un tāpēc ar leņķi iepriekš formulu, tad pēdējais termins iegūst mīnusa zīmi, kas atbilst kosinusa teorēmai tās tiešajā formulējumā.

Patvaļīga vektoru skaita summai ir piemērojama līdzīga formula, kurā ir vairāk terminu ar kosinusu: viens šāds termins pastāv katram vektoru pārim no summētās kopas. Piemēram, trīs vektoriem formula izskatās šādi:

| a → + b → + c → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + | c → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) + 2 | a → | | c → | cos ⁡ (a → , c →) + 2 | b → | | c → | cos ⁡ (b → , c →) . (\displaystyle |(\vec (a))+(\vec (b))+(\vec (c))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+|(\ vec (b))|^(2)+|(\vec (c))|^(2)+2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec) (a)),(\vec (b)))+2|(\vec (a))||(\vec (c))|\cos((\vec (a)),(\vec (c) ))+2|(\vec (b))||(\vec (c))|\cos((\vec (b)),(\vec (c))).)

Vektoru atņemšana

Divi vektori a → , b → (\displaystyle (\vec (a)),(\vec (b))) un to atšķirības vektors

Lai iegūtu koordinātu formas atšķirību, jums jāatņem atbilstošās vektoru koordinātas:

a → − b → = (a x − b x , a y − b y , a z − b z) (\displaystyle (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_ (y)-b_(y),a_(z)-b_(z)))

Lai iegūtu atšķirības vektoru c → = a → − b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b))) vektoru sākumus savieno vektora sākums c → (\displaystyle (\vec (c))) būs beigas b → (\displaystyle (\vec (b))) un beigas ir beigas a → (\displaystyle (\vec (a))). Ja mēs rakstām, izmantojot vektora punktus, tad A C → − A B → = B C → (\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).

Vektoru atšķirību modulis

Trīs vektori a → , b → , a → − b → (\displaystyle (\vec (a)), (\vec (b)), (\vec (a))-(\vec (b))), tāpat kā pievienojot, veido trīsstūri, un atšķirības moduļa izteiksme ir līdzīga:

| a → − b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 – 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) , (\displaystyle |(\vec (a))-(\vec (b))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+| (\vec (b))|^(2)-2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b)) ))

Kur cos ⁡ (a → , b →) (\displaystyle \cos((\vec (a)),(\vec (b))))- leņķa kosinuss starp vektoriem a → (\displaystyle (\vec (a))) Un b → . (\displaystyle (\vec (b)).)

Atšķirība no summas moduļa formulas ir zīmē kosinusa priekšā; šajā gadījumā jums rūpīgi jāuzrauga, kurš leņķis tiek ņemts (summas moduļa formulas versija ar leņķi starp trijstūra malas, summējot pēc trijstūra likuma, pēc formas neatšķiras no šīs atšķirības moduļa formulas, taču jums ir jābūt Ņemiet vērā, ka šeit tiek ņemti dažādi leņķi: summas gadījumā leņķis ir pieņemts, kad vektors b → (\displaystyle (\vec (b))) tiek pārnests līdz vektora beigām a → (\displaystyle (\vec (a))), kad tiek meklēts starpības modulis, tiek ņemts leņķis starp vektoriem, kas pielikti vienam punktam; summas moduļa izteiksme, izmantojot to pašu leņķi kā šajā starpības moduļa izteiksmē, atšķiras ar zīmi kosinusa priekšā).