Момент количества движения точки относительно оси. Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси. Кинетический момент точки и механической системы
Первая производная по времени от кинетического момента точки относительно какого-либо центра равна моменту силы относительно того же центра:
Проецируя (171) на прямоугольные декартовы оси координат, получаем теоремы об изменении кинетического момента точки относительно этих осей координат:
,
,
. (171")
Теорема об изменении кинетического момента системы
Первая производная по времени от кинетического момента системы относительно какой-либо точки равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему, относительно той же точки.
, (172)
где
– главный момент всех внешних сил
системы.
Проецируя (172) на прямоугольные декартовы оси координат, получаем теоремы об изменении кинетического момента системы относительно этих осей координат, т. е.
,
,
. (172")
Законы сохранения кинетических моментов
1.
Если главный момент внешних сил системы
относительно точки
равен нулю, т. е.
,
то, согласно (79), кинетический момент
системы
относительно той же точки постоянен по
модулю и направлению, т. е.
. (173)
Этот частный случай теоремы об изменении кинетического момента системы называют законом сохранения кинетического момента . В проекциях на прямоугольные декартовы оси координат по этому закону
,
,
,
где
,
,
– постоянные величины.
2.
Если сумма моментов всех внешних сил
системы относительно оси
равна нулю, т.е.
,
то из (172") следует, что
. (174)
Следовательно, кинетический момент системы относительно какой-либо координатной оси постоянен, если сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю, что, в частности, наблюдается, когда внешние силы параллельны оси или пересекают ее. В частном случае для тела или системы тел, которые все вместе могут вращаться вокруг неподвижной оси, и если при этом
,
,
или
,
(175)
где
и
– момент инерции системы тел и их угловая
скорость относительно оси вращения в
произвольный момент времени
;
и
– момент инерции тел и их угловая
скорость в момент времени, выбранный
за начальный.
Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
Из
теоремы об изменении кинетического
момента (172") следует дифференциальное
уравнение вращения твердого тела вокруг
неподвижной оси
:
, (176)
где
– угол поворота тела.
Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела в общем случае позволяет решать две основные задачи: по заданному вращению тела определять вращающий момент внешних сил и по заданному вращательному моменту и начальным условиям находить вращение тела. При решении второй задачи для нахождения угла поворота приходится интегрировать дифференциальное уравнение вращательного движения. Методы его интегрирования полностью аналогичны рассмотренным методам интегрирования дифференциального уравнения прямолинейного движения точки.
Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс
Пусть
механическая система совершает движение
относительно основной системы координат
.
Возьмем подвижную систему координат
с началом в центре масс системы
,
движущуюся поступательно относительно
основной системы координат. Можно
доказать справедливость формулы:
где
– абсолютная скорость центра масс,
.
Величина
является кинетическим моментом системы
относительно центра масс для относительного
движения относительно системы координат,
движущейся поступательно вместе с
центром масс, т. е. системы
.
Формула
(176) показывает, что кинетический
момент абсолютного движения системы
относительно неподвижной точки
равен векторной сумме кинетического
момента центра масс относительно той
же точки, если бы в центре масс была
сосредоточена вся масса системы, и
кинетического момента системы относительно
центра масс для относительного движение
системы по отношению к подвижной системе
координат, движущейся поступательно
вместе с центром масс.
Теорема об изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно с центром масс; она формулируется так же, как если бы центр масс был неподвижной точкой :
или
, (178)
где
является главным моментом всех внешних
сил относительно центра масс.
Теорема об изменении количества движения системы
Понятие импульса силы позволяет сформулировать теорему об изменении количества движения системы для произвольных систем:
где - начальный, а - конечный импульс изолированной системы, взаимодействующей с другими системами лишь посредством сил. Фактически, в этой формулировке закон сохранения импульса эквивалентен второму закону Ньютона и является его интегралом по времени, так как
Теорема об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки
Рассмотрим материальную точку M массой m , движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M 0 материальной точки относительно центра O :
Рисунок 3.1
Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического моментаk 0) по времени:
Так как dr /dt = V , то векторное произведение V ⊗ m⋅V (коллинеарных векторов V и m⋅V ) равно нулю. В то же время d(m⋅V) /dt = F согласно теореме о количестве движения материальной точки. Поэтому получаем, что
dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)
где r ⊗F = M 0 (F ) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O . Вектор k 0 ⊥ плоскости (r ,m ⊗V ), а вектор M 0 (F ) ⊥ плоскости (r ,F ), окончательно имеем
dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)
Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра : производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем
dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)
Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.
Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).
Следствие 1. Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M 0 (F ) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, что k 0 = const ,
т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).
Рисунок 3.2
Из условия k 0 = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.
Следствие 2. Пусть M z (F ) = 0, т.е. сила пересекает ось z или ей параллельна. В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), k z = const ,
т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.
Направление и величина момента количества движенияопределяется точно так же, как в случае оценки момента силы (параграф 1.2.2).
Одновременно определим (главный) момент количества движения как векторную сумму моментов количества движений точек рассматриваемой системы . Он имеет и второе название – кинетический момент :
Найдем производную по времени выражения (3.40), используя правила дифференцирования произведения двух функций, а также то, что производная суммы равна сумме производных (т.е. знак суммы при дифференцировании можно перемещать как коэффициент):
.
Учтем очевидные кинематические равенства: 
. Тогда: 
. Используем среднее уравнение из формул (3.26) 
, а также то, что векторное произведение двух коллинеарных векторов ( и ) равно нулю, получим:
Применяя ко 2-му слагаемому свойство внутренних сил (3.36), получим выражение для теоремы об изменении главного момента количества движения механической системы:
 .
| (3.42) |
Производная по времени от кинетического момента равна сумме моментов всех действующих в системе внешних сил .
Эту формулировку часто называют кратко: теорема моментов .
Необходимо заметить, что теорема моментов формулируется в неподвижной системе отсчета относительно некого неподвижного центра О. Если в качестве механической системы рассматривается твердое тело, то удобно выбрать центр О на оси вращения тела.
Следует отметить одно важное свойство теоремы моментов (приведем его без вывода). Теорема моментов выполняется и в движущейся поступательно системе отсчета, если в качестве ее центра выбран центр масс (т. С) тела (механической системы):
Формулировка теоремы в этом случае практически сохраняется.
Следствие 1
Пусть правая часть выражения (3.42) равна нулю =0, - система изолирована. Тогда из уравнения (3.42) следует, что .
Для изолированной механической системы вектор кинетического момента системы со временем не меняется ни направлению, ни по величине .
Следствие 2
При равенстве нулю правой части какого либо из выражений (3.44), например, для оси Oz: =0 (частично изолированная система), то из уравнений (3.44) следует: =const.
Следовательно, если сумма моментов внешних сил относительно какой либо оси равна нулю, то осевой кинетический момент системы по этой оси со временем не меняется .
Приведенные выше в следствиях формулировки есть выражения закона сохранение момента количества движения в изолированных системах .
Кинетический момент твердого тела
Рассмотрим частный случай – вращение твердого тела вокруг оси Oz (рис.3.4).
Рис.3.4
Точка тела, отстоящая от оси вращения на расстояние h
k , вращается в плоскости, параллельной Oxy со скоростью . В соответствии с определением осевого момента используем выражение (1.19), заменив проекцию F
XY силы на эту плоскость количеством движения точки 
. Оценим осевой кинетический момент тела:
По теореме Пифагора 
, поэтому (3.46) можно записать так:
 | (3.47) |
Тогда выражение (3.45) приобретет вид:
| (3.48) |
Если воспользоваться законом сохранения кинетического момента для частично изолированной системы (следствие 2) применительно к твердому телу (3.48), получим . В этом случае можно рассмотреть два варианта:
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Как определяется кинетический момент вращающегося твердого тела?
2. Чем отличается осевой момент инерции от осевого кинетического момента?
3. Как меняется со временем скорость вращения твердого тела при отсутствии внешних сил?
Осевой момент инерции твердого тела
Как мы убедимся впоследствии, осевой момент инерции тела имеет для вращательного движения тела такое же значение, как масса тела при его поступательном движении. Эта одна из важнейших характеристик тела, определяющая инерцию тела при его вращении. Как видно из определения (3.45), эта положительная скалярная величина, которая зависит от масс точек системы, но в большей мере от удаленности точек от оси вращения.
Для сплошных однородных тел простых форм величину осевого момента инерции, как и в случае оценки положения центра масс(3.8), считают методом интегрирования, используя вместо дискретной массы массу элементарного объема dm=ρdV:
 | (3.49) |
Приведем для справки значения моментов инерции для некоторых простых тел:
m и длиной l относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину (рис.3.5).
Рис.3.5
· Момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его торец (рис.3.6).
Рис.3.6
· Момент инерции тонкого однородного кольца массой m и радиусом R относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца (рис.3.7).
Рис.3.7
· Момент инерции тонкого однородного диска массой m и радиусом R относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска (рис.3.7).
Рис.3.8
· Момент инерции тела произвольной формы.
Для тел произвольной формы момент инерции пишут в такой форме:
где ρ – т.н. радиус инерции тела, или радиус некого условного кольца массой m , осевой момент инерции которого равен моменту инерции данного тела.
Теорема Гюйгенса – Штейнера
Рис.3.9
Свяжем с телом две параллельные системы координат. Первая Cx"y"z", с началом координат в центре масс, называется центральной, и вторая Oxyz, с центром О, лежащей на оси Cx" на расстоянии СО = d (рис.3.9). Легко установить связи координат точек тела у этих систем:
В соответствии с формулой (3.47), момент инерции тела относительно оси Oz:
Здесь постоянные для всех членов 2-й и 3-й сумм правой части сомножители 2d
и d
вынесены из соответствующих сумм. Сумма масс в третьем слагаемом – это масса тела . Вторая сумма, в соответствии с (3.7), определяет координату центра масс С на оси Cx" (), причем очевидно равенство: . Учтя, что 1-е слагаемое, по определению, является моментом инерции тела относительно центральной оси Cz" (или Z C) 
, получим формулировку теоремы Гюйгенса - Штейнера:
 | (3.50) |
Момент инерции тела относительно некой оси равен сумме момента инерции тела относительно параллельной центральной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями .
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Приведите формулы для осевых моментов инерции стержня, кольца, диска.
2. Найдите радиус инерции круглого сплошного цилиндра относительно его центральной оси.
Для материальной точки основной закон динамики можно представить в виде
Умножая обе части этого соотношения слева векторно на радиус-вектор (рис. 3.9), получаем
(3.32)
В правой части этой формулы имеем момент силы относительно точки О. Преобразуем левую часть, применив формулу производной векторного произведения
Но 
как векторное произведение параллельных векторов. После этого получаем
(3.33)
Первая производная по времени момента количества движения точки относительно какого-либо центра равна моменту силы относительно того же центра.
 |
Пример вычисления кинетического момента системы. Вычислить кинетический момент относительно точки О системы, состоящей из цилиндрического вала массой М = 20 кг и радиусом R = 0.5м и спускающегося груза массой m = 60 кг (рисунок 3.12). Вал вращается вокруг оси Oz с угловой скоростью ω = 10 с -1 .
Рисунок 3.12
; ; 
При заданных входных данных кинетический момент системы
Теорема об изменении кинетического момента системы. К каждой точке системы приложим равнодействующие внешних и внутренних сил. Для каждой точке системы можно применить теорему об изменении момента количества движения, например в форме (3.33)
Суммируя по всем точкам системы и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получим
По определению кинетического момента системы и свойству внешних и внутренних сил
поэтому полученное соотношение можно представить в виде
Первая производная по времени кинетического момента системы относительно какой-либо точки равна главному моменту внешних сил, действующих на систему, относительно той же точки.
3.3.5. Работа силы
1) Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиус вектора точки приложения силы (рис. 3.13)
Рисунок 3.13
Выражение (3.36) можно записать также в следующих эквивалентных формах
где - проекция силы на направление скорости точки приложения силы.
2) Работа силы на конечном перемещении
Интегрируя элементарную работу силы, получим следующие выражения для работы силы на конечном перемещении из точки А в точку В
3) Работа постоянной силы
Если сила постоянна, то из (3.38) следует
Работа постоянной силы не зависит от формы траектории, а зависит только от вектора перемещения точки приложения силы .
4) Работа силы веса
Для силы веса (рис. 3.14) и из (3.39) получим
Рисунок 3.14
Если движение происходит из точки В в точку А, то
В общем случае
Знак «+» соответствует движению точки приложения силы «вниз», знак «-» - вверх.
4) Работа силы упругости
Пусть ось пружины направлена по оси x (рис.3.15), а конец пружины перемещается из точки 1 в точку 2, тогда из (3.38) получим 
Если жесткость пружины равна с , то , тогда
А 
(3.41)
Если конец пружины перемещается из точки 0 в точку 1, то в этом выражении заменяем , , тогда работа силы упругости примет вид
(3.42)
где - удлинение пружины.
Рисунок 3.15
5) Работа силы приложенной к вращающемуся телу. Работа момента.
На рис. 3.16 показано вращающееся тело, к которому приложена произвольная сила . При вращении точка приложения этой силы движется по окружности.
Динамика:
Динамика материальной точки
§ 28. Теорема об изменении количества движения материальной точки. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки
Задачи с решениями
28.1 Железнодорожный поезд движется по горизонтальному и прямолинейному участку пути. При торможении развивается сила сопротивления, равная 0,1 веса поезда. В момент начала торможения скорость поезда равняется 20 м/с. Найти время торможения и тормозной путь.
РЕШЕНИЕ
28.2 По шероховатой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α=30°, спускается тяжелое тело без начальной скорости. Определить, в течение какого времени T тело пройдет путь длины l=39,2 м, если коэффициент трения f=0,2.
РЕШЕНИЕ
28.3 Поезд массы 4*10^5 кг входит на подъем i=tg α=0,006 (где α угол подъема) со скоростью 15 м/с. Коэффициент трения (коэффициент суммарного сопротивления) при движении поезда равен 0,005. Через 50 с после входа поезда на подъем его скорость падает до 12,5 м/с. Найти силу тяги тепловоза.
РЕШЕНИЕ
28.4 Гирька М привязана к концу нерастяжимой нити MOA, часть которой OA пропущена через вертикальную трубку; гирька движется вокруг оси трубки по окружности радиуса MC=R, делая 120 об/мин. Медленно втягивая нить OA в трубку, укорачивают наружную часть нити до длины OM1, при которой гирька описывает окружность радиусом R/2. Сколько оборотов в минуту делает гирька по этой окружности?
РЕШЕНИЕ
28.5 Для определения массы груженого железнодорожного состава между тепловозами и вагонами установили динамометр. Среднее показание динамометра за 2 мин оказалось 10^6 Н. За то же время состав набрал скорость 16 м/с (вначале состав стоял на месте). Найти массу состава, если коэффициент трения f=0,02.
РЕШЕНИЕ
28.6 Каков должен быть коэффициент трения f колес заторможенного автомобиля о дорогу, если при скорости езды v=20 м/с он останавливается через 6 с после начала торможения.
РЕШЕНИЕ
28.7 Пуля массы 20 г вылетает из ствола винтовки со скоростью v=650 м/с, пробегая канал ствола за время t=0,00095 c. Определить среднюю величину давления газов, выбрасывающих пулю, если площадь сечения канала σ=150 мм^2.
РЕШЕНИЕ
28.8 Точка M движется вокруг неподвижного центра под действием силы притяжения к этому центру. Найти скорость v2 в наиболее удаленной от центра точке траектории, если скорость точки в наиболее близком к нему положении v1=30 см/с, а r2 в пять раз больше r1.
РЕШЕНИЕ
28.9 Найти импульс равнодействующей всех сил, действующих на снаряд за время, когда снаряд из начального положения O переходит в наивысшее положение М. Дано: v0=500 м/с; α0=60°; v1=200 м/с; масса снаряда 100 кг.
РЕШЕНИЕ
28.10 Два астероида М1 и М2 описывают один и тот же эллипс, в фокусе которого S находится Солнце. Расстояние между ними настолько мало, что дугу М1М2 эллипса можно считать отрезком прямой. Известно, что длина дуги М1М2 равнялась a, когда середина ее находилась в перигелии P. Предполагая, что астероиды движутся с равными секториальными скоростями, определить длину дуги М1М2, когда середина ее будет проходить через афелий A, если известно, что SP=R1 и SA=R2.
РЕШЕНИЕ
28.11 Мальчик массы 40 кг стоит на полозьях спортивных саней, масса которых равна 20 кг, и делает каждую секунду толчок с импульсом 20 Н*с. Найти скорость, приобретаемую санями за 15 c, если коэффициент трения f=0,01.
РЕШЕНИЕ
28.12 Точка совершает равномерное движение по окружности со скоростью v=0,2 м/с, делая полный оборот за время T=4 c. Найти импульс S сил, действующих на точку, за время одного полупериода, если масса точки m=5 кг. Определить среднее значение силы F.
РЕШЕНИЕ
28.13 Два математических маятника, подвешенных на нитях длин l1 и l2 (l1>l2), совершают колебания одинаковой амплитуды. Оба маятника одновременно начали двигаться в одном направлении из своих крайних отклоненных положений. Найти условие, которому должны удовлетворять длины l1 и l2 для того, чтобы маятники по истечении некоторого промежутка времени одновременно вернулись в положение равновесия. Определить наименьший промежуток времени T.
РЕШЕНИЕ
28.14 Шарик массы m, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной скоростью a в отверстие, сделанное на плоскости. Определить движение шарика и натяжение нити T, если известно, что в начальный момент нить расположена по прямой, расстояние между шариком и отверстием равно R, а проекция начальной скорости шарика на перпендикуляр к направлению нити равна v0.
РЕШЕНИЕ
28.15 Определить массу M Солнца, имея следующие данные: радиус Земли R=6,37*106 м, средняя плотность 5,5 т/м3, большая полуось земной орбиты a=1,49*10^11 м, время обращения Земли вокруг Солнца T=365,25 сут. Силу всемирного тяготения между двумя массами, равными 1 кг, на расстоянии 1 м считаем равной gR2/m Н, где m масса Земли; из законов Кеплера следует, что сила притяжения Земли Солнцем равна 4π2a3m/(T2r2), где r расстояние Земли от Солнца.
РЕШЕНИЕ
28.16 Точка массы m, подверженная действию центральной силы F, описывает лемнискату r2=a cos 2φ, где a величина постоянная, r расстояние точки от силового центра; в начальный момент r=r0, скорость точки равна v0 и составляет угол α с прямой, соединяющей точку с силовым центром. Определить величину силы F, зная, что она зависит только от расстояния r. По формуле Бине F =-(mc2/r2)(d2(1/r)/dφ2+1/r), где c удвоенная секторная скорость точки.
РЕШЕНИЕ
28.17 Точка M, масса которой m, движется около неподвижного центра O под влиянием силы F, исходящей из этого центра и зависящей только от расстояния MO=r. Зная, что скорость точки v=a/r, где a величина постоянная, найти величину силы F и траекторию точки.
РЕШЕНИЕ
28.18 Определить движение точки, масса которой 1 кг, под действием центральной силы притяжения, обратно пропорциональной кубу расстояния точки от центра притяжения, при следующих данных: на расстоянии 1 м сила равна 1 Н. В начальный момент расстояние точки от центра притяжения равно 2 м, скорость v0=0,5 м/с и составляет угол 45° с направлением прямой, проведенной из центра к точке.
РЕШЕНИЕ
28.19 Частица M массы 1 кг притягивается к неподвижному центру O силой, обратно пропорциональной пятой степени расстояния. Эта сила равна 8 Н на расстоянии 1 м. В начальный момент частица находится на расстоянии OM0=2 м и имеет скорость, перпендикулярную к OM0 и равную 0,5 м/с. Определить траекторию частицы.
РЕШЕНИЕ
28.20 Точка массы 0,2 кг, движущаяся под влиянием силы притяжения к неподвижному центру по закону тяготения Ньютона, описывает полный эллипс с полуосями 0,1 м и 0,08 м в течение 50 c. Определить наибольшую и наименьшую величины силы притяжения F при этом движении.
РЕШЕНИЕ
28.21 Математический маятник, каждый размах которого длится одну секунду, называется секундным маятником и применяется для отсчета времени. Найти длину l этого маятника, считая ускорение силы тяжести равным 981 см/с2. Какое время покажет этот маятник на Луне, где ускорение силы тяжести в 6 раз меньше земного? Какую длину l1 должен иметь секундный лунный маятник?
РЕШЕНИЕ
28.22 В некоторой точке Земли секундный маятник отсчитывает время правильно. Будучи перенесен в другое место, он отстает на T секунд в сутки. Определить ускорение силы тяжести в новом положении секундного маятника.