Štúdie
Monte Carlo metóda geometrického výberu hlavnej časti. Použitie metódy Monte Carlo na výpočet rizika. Príklad. Výpočet čísla π metódou Monte Carlo

Monte Carlo metóda geometrického výberu hlavnej časti. Použitie metódy Monte Carlo na výpočet rizika. Príklad. Výpočet čísla π metódou Monte Carlo

Prednáška 5.

Metóda Monte Carlo

Téma 3. Procesy radenia v ekonomických systémoch

1. Úvodné poznámky. 1

2. Všeobecná schéma metódy Monte Carlo. 2

3. Príklad výpočtu systému radenia pomocou metódy Monte Carlo. 4

Testovacie otázky... 5

1. Úvodné poznámky

Metóda štatistického modelovania na počítači je hlavnou metódou získavania výsledkov pomocou simulačných modelov stochastických systémov, pričom ako teoretický základ využívajú limitné vety teórie pravdepodobnosti. Základom je štatistická testovacia metóda Monte Carlo.

Metódu Monte Carlo možno definovať ako metódu simulácie náhodných premenných s cieľom vypočítať charakteristiky ich rozdelenia. Spravidla sa predpokladá, že modelovanie sa vykonáva pomocou elektronických počítačov (počítačov), hoci v niektorých prípadoch je možné dosiahnuť úspech pomocou zariadení, ako je meter, ceruzka a papier.

Pojem „metóda Monte Carlo“ (vymyslel J. von Neumann a v 40. rokoch 20. storočia) sa vzťahuje na simuláciu procesov pomocou generátora náhodných čísel. Pojem Monte Carlo (mesto všeobecne známe svojimi kasínami) pochádza zo skutočnosti, že „počet šancí“ (simulačné techniky Monte Carlo) boli použité na účely hľadania integrálov zložitých rovníc pri vývoji prvých jadrových bômb ( integrály kvantovej mechaniky). Generovaním veľkých vzoriek náhodných čísel napríklad z niekoľkých rozdelení možno integrály týchto (komplexných) rozdelení aproximovať z (vygenerovaných) údajov.

Vznik myšlienky používania náhodných javov v oblasti približných výpočtov sa zvyčajne pripisuje roku 1878, keď sa Hallova práca objavila na určovaní čísel p náhodným hodením ihly na papier označený rovnobežnými čiarami. Podstatou veci je experimentálne reprodukovať udalosť, ktorej pravdepodobnosť je vyjadrená číslom p, a túto pravdepodobnosť približne odhadnúť.

Domáce práce na metóde Monte Carlo sa objavili v rokoch. Za dve desaťročia sa nazhromaždila rozsiahla bibliografia využívajúca metódu Monte Carlo, ktorá zahŕňa viac ako 2000 titulov. Navyše aj rýchly pohľad na názvy prác umožňuje vyvodiť záver o použiteľnosti metódy Monte Carlo na riešenie aplikovaných problémov z veľkého množstva oblastí vedy a techniky.

Spočiatku sa metóda Monte Carlo používala najmä na riešenie problémov v neutrónovej fyzike, kde sa tradičné numerické metódy ukázali ako málo použiteľné. Ďalej sa jeho vplyv rozšíril na širokú triedu problémov v štatistickej fyzike, veľmi odlišných v obsahu. Medzi vedné odbory, kde sa metóda Monte Carlo stále viac používa, patria problémy v teórii radenia, problémy v teórii hier a matematickej ekonómii, problémy v teórii prenosu správ v prítomnosti rušenia a množstvo ďalších.

Metóda Monte Carlo mala a má významný vplyv na rozvoj metódy výpočtovej matematiky (napríklad vývoj metód numerickej integrácie) a pri riešení mnohých problémov sa úspešne kombinuje s inými výpočtovými metódami a dopĺňa ich. . Jeho použitie je opodstatnené predovšetkým v tých problémoch, ktoré umožňujú pravdepodobnostno-teoretický popis. Vysvetľuje sa to jednak prirodzenosťou získania odpovede s určitou danou pravdepodobnosťou pri problémoch s pravdepodobným obsahom, jednak výrazným zjednodušením postupu riešenia. Obtiažnosť riešenia konkrétneho problému na počítači je do značnej miery určená obtiažnosťou jeho prekladu do „jazyka“ stroja. Vytvorenie automatických programovacích jazykov výrazne zjednodušilo jednu z etáp tejto práce. Najťažšie etapy sú preto v súčasnosti: matematický popis skúmaného javu, nevyhnutné zjednodušenia problému, výber vhodnej numerickej metódy, štúdium jej chyby a záznam algoritmu. V prípadoch, kde existuje pravdepodobnostno-teoretický popis problému, môže použitie metódy Monte Carlo výrazne zjednodušiť spomínané medzistupne. Ako však vyplynie z nasledujúceho, v mnohých prípadoch je užitočné aj pre striktne deterministické problémy zostaviť pravdepodobnostný model (randomizovať pôvodný problém), aby bolo možné ďalej použiť metódu Monte Carlo.

2. Všeobecná schéma metódy Monte Carlo

Predpokladajme, že potrebujeme vypočítať nejaké neznáme množstvo m, a chceme to urobiť tak, že vezmeme do úvahy náhodnú premennú takú, že jej matematické očakávanie je M, = m. Nech je rozptyl tejto náhodnej premennej D = b.

Uvažujme N náhodných nezávislých premenných,,..., ktorých rozdelenia sa zhodujú s rozdelením uvažovanej náhodnej premennej ξ..gif" width="247" height="48">

Posledný vzťah možno prepísať ako

Výsledný vzorec dáva metódu na výpočet m a odhad chyby tejto metódy.

Podstatou použitia metódy Monte Carlo je určenie výsledkov na základe štatistík získaných v čase prijatia určitého rozhodnutia.

Napríklad. Nech E1 a E2 sú jediné dve možné implementácie nejakého náhodného procesu a p1 je pravdepodobnosť výsledku E1 a p2 = 1 – p1 je pravdepodobnosť výsledku E2. Aby sme určili, ktorá z týchto dvoch udalostí, e1 alebo E2, nastáva v tomto prípade, vezmeme náhodné číslo v intervale medzi 0 a 1, rovnomerne rozložené v intervale (0, 1), a vykonáme test. Výsledok E1 nastane, ak , a výsledok E2 nastane inak.

Spoľahlivosť výsledkov získaných pomocou metódy Monte Carlo je teda rozhodujúcim spôsobom určená kvalitou generátora náhodných čísel.

Na získanie náhodných čísel na počítači sa používajú metódy generovania, ktoré sú zvyčajne založené na mnohonásobnom opakovaní určitej operácie. Takto získaná postupnosť sa vhodnejšie nazýva pseudonáhodné čísla, pretože vygenerovaná postupnosť je periodická a od určitého momentu sa čísla začnú opakovať. Vyplýva to zo skutočnosti, že do počítačového kódu možno zapísať len konečný počet rôznych čísel. V dôsledku toho sa nakoniec jedno z vygenerovaných čísel γ1 zhoduje s jedným z predchádzajúcich členov postupnosti γL. A keďže generovanie sa vykonáva podľa vzorca formulára

γк+1 = F(γk),

od tohto momentu sa budú zvyšné členy sekvencie opakovať.

Použitie rovnomerne rozdelených náhodných čísel tvorí základ simulácie Monte Carlo. Môžeme povedať, že ak bola určitá náhodná premenná určená pomocou metódy Monte Carlo, potom sa na jej výpočet použila postupnosť rovnomerne rozdelených náhodných čísel.

Rovnomerne rozdelené náhodné čísla sú v rozsahu od 0 do 1 a vyberajú sa náhodne podľa distribučnej funkcie

F(x) = Рr(Х< х} = х, .

Pri tomto rozdelení je výskyt akýchkoľvek hodnôt náhodnej premennej v intervale (0, 1) rovnako pravdepodobný. Tu Pr(X< х} - вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше х.

Hlavnou metódou získavania náhodných čísel je ich modulo generovanie. Nech m, a, c, x0 sú celé čísla také, že m > x0 a a, c, x0 > 0. Pseudonáhodné číslo xi z postupnosti (xi) získame pomocou vzťahu opakovania

xi = a xi-1 + c (mod m).

Stochastické charakteristiky generovaných čísel závisia v rozhodujúcej miere od výberu m, a a c. Ich zlý výber vedie k chybným výsledkom v simuláciách Monte Carlo.

Numerické simulácie často vyžadujú veľký počet náhodných čísel. Preto perióda postupnosti generovaných náhodných čísel, po ktorej sa sekvencia začína opakovať, musí byť pomerne veľká. Musí byť výrazne väčší ako počet náhodných čísel potrebných na modelovanie, inak budú získané výsledky skreslené.

Väčšina počítačov a softvérových balíkov obsahuje generátor náhodných čísel. Väčšina štatistických testov však ukazuje koreláciu medzi výslednými náhodnými číslami.

Existuje rýchly test, ktorý môžete použiť na kontrolu každého generátora. Kvalitu generátora náhodných čísel možno preukázať vyplnením úplne d-rozmernej mriežky (napríklad dvoj- alebo trojrozmernej). Dobrý generátor by mal vyplniť celý priestor hyperkocky.

Ďalším približným spôsobom kontroly rovnomernosti rozdelenia N náhodných čísel xi je výpočet ich matematického očakávania a rozptylu. Podľa tohto kritéria musia byť pre rovnomernú distribúciu splnené tieto podmienky:

Existuje mnoho štatistických testov, ktoré možno použiť na testovanie, či bude sekvencia náhodná. Spektrálne kritérium sa považuje za najpresnejšie. Napríklad veľmi časté kritérium nazývané KS kritérium alebo Kolmogorovovo-Smirnovovo kritérium. Kontrola ukazuje, že napríklad generátor náhodných čísel v tabuľkách Excel toto kritérium nespĺňa.

V praxi je hlavným problémom postaviť jednoduchý a spoľahlivý generátor náhodných čísel, ktorý môžete použiť vo svojich programoch. Na tento účel sa odporúča nasledujúci postup.

Na začiatku programu je celej premennej X priradená určitá hodnota X0. Potom sa vygenerujú náhodné čísla podľa pravidla

X = (aX + c) mod m. (1)

Výber parametrov by sa mal vykonať podľa nasledujúcich základných princípov.

1. Počiatočné číslo X0 je možné zvoliť ľubovoľne. Ak sa program používa viackrát a zakaždým vyžaduje iné zdroje náhodných čísel, môžete napríklad X0 priradiť hodnotu X naposledy získanú v predchádzajúcom spustení.

2. Číslo m musí byť veľké, napríklad 230 (pretože práve toto číslo určuje periódu vygenerovanej pseudonáhodnej postupnosti).

3.Ak m je mocnina dvoch, vyberte také, že a mod8 = 5. Ak m je mocnina desať, vyberte také, že a mod10 = 21. Táto voľba zaisťuje, že generátor náhodných čísel vytvorí všetkých m možných hodnôt predtým, ako sa začnú opakovať.

4.Násobiteľ A preferovaná voľba je medzi 0,01 ma 0,99 ma jeho binárne alebo desiatkové číslice by nemali mať jednoduchú pravidelnú štruktúru. Násobiteľ musí spĺňať spektrálne kritérium a pokiaľ možno niekoľko ďalších kritérií.

5.Ak a je dobrý multiplikátor, hodnota c nie je významná, okrem toho, že c by nemalo mať spoločný multiplikátor s m, ak m je veľkosť počítačového slova. Môžete napríklad zvoliť c = 1 alebo c = a.

6. Môžete vygenerovať maximálne m/1000 náhodných čísel. Potom sa musí použiť nový obvod, napríklad nový multiplikátor A.

Uvedené pravidlá sa týkajú hlavne strojového programovacieho jazyka. Pre vysokoúrovňový programovací jazyk, ako je C++, sa často používa iná možnosť (1): vyberie sa prvočíslo m, ktoré je blízke najväčšiemu ľahko vypočítateľnému celému číslu, hodnota a je nastavená tak, aby sa rovnala koreňovému odmocneniu m a c sa berie ako nula. Napríklad si môžete vziať a= 48271 a t =

3. Príklad výpočtu systému radenia pomocou metódy Monte Carlo

Uvažujme o najjednoduchšom systéme radenia (QS), ktorý pozostáva z n liniek (inak nazývaných kanály alebo servisné body). V náhodných časoch sú do systému prijímané aplikácie. Každá žiadosť prichádza na linku č. 1. Ak je v čase prijatia zobrazenia Tk táto linka voľná, aplikácia je obsluhovaná v čase t3 (čas obsadenosti linky). Ak je linka obsadená, požiadavka sa okamžite prenesie na linku č. 2 atď. Ak je všetkých n liniek momentálne obsadených, systém vydá odmietnutie.

Prirodzenou úlohou je určiť vlastnosti daného systému, podľa ktorých možno posúdiť jeho efektívnosť: priemerný čas čakania na obsluhu, percento výpadkov systému, priemernú dĺžku frontu atď.

Pre takéto systémy je prakticky jedinou výpočtovou metódou metóda Monte Carlo.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image013_34.gif" width="373" height="257">

Algoritmy sa používajú na získanie náhodných čísel v počítači, preto sa takéto postupnosti, ktoré sú v podstate deterministické, nazývajú pseudonáhodné. Počítač pracuje s n-bitovými číslami, preto namiesto súvislého zberu jednotných náhodných čísel intervalu (0,1) sa na počítači používa diskrétna postupnosť 2n náhodných čísel rovnakého intervalu - distribučný zákon takáto diskrétna postupnosť sa nazýva kvázi rovnomerné rozdelenie.

Požiadavky na ideálny generátor náhodných čísel:

1. Postupnosť musí pozostávať z kvázi rovnomerne rozdelených čísel.

2. Čísla musia byť nezávislé.

3. Náhodné postupnosti čísel musia byť reprodukovateľné.

4. Postupnosti musia mať neopakujúce sa čísla.

5. Sekvencie by sa mali získavať s minimálnymi výpočtovými zdrojmi.

Najväčšie uplatnenie v praxi počítačového modelovania na generovanie postupností pseudonáhodných čísel nachádzame v algoritmoch v tvare:

čo sú opakujúce sa vzťahy prvého rádu.

Napríklad. x0 = 0,2152, (x0)2 = 0, x1 = 0,6311, (x1)2 = 0, x2 = 0,8287 atď.

Nevýhodou takýchto metód je prítomnosť korelácie medzi číslami v sekvencii a niekedy neexistuje žiadna náhodnosť, napríklad:

x0 = 0,4500, (x0)2=0, x1 = 0,2500, (x1)2=0, x2=0,2500 atď.

Kongruentné postupy na generovanie pseudonáhodných sekvencií sa stali široko používanými.

Dve celé čísla a a b sú zhodné (porovnateľné) modulo m, kde m je celé číslo, práve vtedy, ak existuje celé číslo k také, že a-b=km.

1984º4 (mod 10), 5008º8 (mod 103).

Väčšina procedúr generovania kongruentných náhodných čísel je založená na nasledujúcom vzorci:

kde sú nezáporné celé čísla.

Pomocou celých čísel postupnosti (Xi) môžeme zostrojiť postupnosť (xi)=(Xi/M) racionálnych čísel z intervalu jednotiek (0,1).

Pred modelovaním musia použité generátory náhodných čísel prejsť dôkladným predbežným testovaním uniformity, stochasticity a nezávislosti výsledných sekvencií náhodných čísel.

Metódy na zlepšenie kvality postupností náhodných čísel:

1. Použitie opakujúcich sa vzorcov rádu r:

Ale použitie tejto metódy vedie k zvýšeniu nákladov na výpočtové zdroje na získanie čísel.

2. Metóda poruchy:

5. Modelovanie náhodných vplyvov na systémy

1. Je potrebné realizovať náhodný jav A, ktorý nastane s danou pravdepodobnosťou p. Definujme A ako prípad, že vybraná hodnota xi náhodnej premennej rovnomerne rozloženej na intervale (0,1) spĺňa nerovnosť:

Potom bude pravdepodobnosť udalosti A https://pandia.ru/text/78/241/images/image019_31.gif" width="103" height="25">,

Postup testovacej simulácie v tomto prípade pozostáva zo sekvenčného porovnávania náhodných čísel xi s hodnotami lr. Ak je podmienka splnená, výsledkom testu je udalosť Am.

3. Zvážte nezávislé udalosti A a B s pravdepodobnosťou výskytu pA a pB. Možnými výstupmi spoločných pokusov v tomto prípade budú udalosti AB, s pravdepodobnosťami pArB, (1-pA)pB, pA(1-pB), (1-pA)(1-pB). Na simuláciu kĺbových testov možno použiť dva varianty postupu:

Dôsledné vykonávanie postupu uvedeného v odseku 1.

Určenie jedného z výsledkov AB žrebom so zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami, t. j. postupom uvedeným v odseku 2.

Prvá možnosť bude vyžadovať dve čísla xi a dve porovnania. Pri druhej možnosti si vystačíte s jedným číslom xi, ale môže byť potrebných viac porovnaní. Z hľadiska pohodlnosti konštrukcie modelovacieho algoritmu a šetrenia počtu operácií a pamäte počítača je výhodnejšia prvá možnosť.

4. Udalosti A a B sú závislé a vyskytujú sa s pravdepodobnosťou pA a pB. Označme pA(B) podmienenú pravdepodobnosť výskytu udalosti B za predpokladu, že udalosť A nastala.

Kontrolné otázky

1) Ako môžete definovať metódu Monte Carlo?

2) Praktický význam metódy Monte Carlo.

3) Všeobecná schéma metódy Monte Carlo.

4) Príklad výpočtu systému radenia pomocou metódy Monte Carlo.

5) Metódy generovania náhodných čísel.

6) Aké sú požiadavky na ideálny generátor náhodných čísel?

7) Metódy na zlepšenie kvality postupností náhodných čísel.

Ďalšou metódou hodnotenia alebo analýzy citlivosti na základe počítačovej simulácie je metóda Monte Carlo, ktorá je chápaná ako určitá metóda na riešenie určitej triedy ekonomických alebo matematických problémov, v ktorých sa určité parametre, v našom prípade rizikové faktory, modelujú vo forme náhodných premenných. Táto metóda je založená na počítačovej simulácii distribúcií týchto náhodných premenných a vytváraní zodpovedajúcich projektových odhadov na základe týchto distribúcií. Ide o simulačnú metódu analýzy stability, ktorá historicky dostala svoj názov podľa názvu mesta, v ktorom sa nachádzajú známe herne a kasína. Termín „simulácia Monte Carlo“ navrhli americkí vedci S. Ulam a J. von Neumann počas práce v slávnom projekte Manhattan. Prvý článok o tejto problematike bol napísaný v roku 1949.

Metóda Monte Carlo je na jednej strane určitou modifikáciou analýzy diskrétnej citlivosti diskutovanej vyššie, keďže hovoríme o hodnotení vplyvu zmien parametrov peňažných tokov na čistú súčasnú hodnotu a ďalšie kritériá hodnotenia investičných projektov. Na druhej strane, hlavným rozdielom od diskrétnej metódy je, že v procese aplikácie metódy Monte Carlo je určité rozdelenie hodnôt čistej súčasnej hodnoty projektu, internej úrokovej miery, indexu ziskovosti a ďalších ukazovateľov. ktorý sa určuje v závislosti od simulovaných náhodných rozdelení vybraných rizikových faktorov . To umožňuje získať určité odhady tohto rozdelenia vo forme rozptylu, smerodajnej odchýlky alebo variačného koeficientu pre čistú súčasnú hodnotu alebo iný výsledný ukazovateľ, ktorého analýza nám umožňuje vyvodiť závery o udržateľnosti budúcich podmienok pre realizácii projektu, možnostiach dosiahnutia priaznivých alebo nepriaznivých výsledkov. Uvažovaná metóda je založená na počítačovej simulácii náhodných rozdelení vybraných parametrov peňažných tokov - rizikových faktorov, na základe ktorých sa tvorí rozdelenie hodnotiacich ukazovateľov pre posudzovaný projekt.

Pri výpočtoch metódou Monte Carlo sa predpokladá, že sú známe hodnoty všetkých parametrov, ktoré určujú hodnotu jednotlivých zložiek cash flow investičného projektu. Pre tie parametre, ktoré sa považujú za rizikové faktory, sa pri modelovaní náhodného rozloženia tohto faktora na počítači berie počiatočná hodnota podľa očakávania.

Organizačne možno metódu Monte Carlo ako metódu počítačovej simulácie opísať nasledovným sledom hlavných etáp.

Stanovenie hlavných ukazovateľov pre hodnotenie investičného projektu , vo vzťahu k čomu sa bude merať vplyv rizikových faktorov. Takéto ukazovatele môžu zahŕňať: čistú súčasnú hodnotu projektu, internú úrokovú mieru, index ziskovosti, dobu návratnosti alebo iné na žiadosť investora, ktorý má v úmysle daný projekt realizovať.

Zvýraznenie parametrov , považované za rizikové faktory , ktorý bude modelovaný vo forme náhodných premenných. Pre ich numerickú implementáciu sa plánuje vykonať počítačová simulácia na základe generátorov pseudonáhodných čísel zabudovaných v balíku Microsoft Excel na základe vopred zvoleného distribučného formulára. Pre analýzu sa identifikujú tie zložky cash flow, ktoré majú podľa názoru investora, manažéra alebo odborníka v príslušnej oblasti najsilnejší vplyv na zmenu zvoleného ukazovateľa projektu, t.j. sú najvýznamnejšie rizikové faktory. V zásade možno všetky parametre všetkých zložiek peňažných tokov považovať za náhodné, čo je však spojené s tromi problémami. Po prvé, zvýšenie počtu vybraných náhodných parametrov môže viesť k protichodným výsledkom v dôsledku korelačnej povahy uvažovaných implementácií náhodných premenných; po druhé, analýza získaných výsledkov a zdôvodnenie vplyvu jednotlivých faktorov môže vyžadovať viac času; po tretie, zostane nejasné, aké faktory ovplyvnili výsledky.

Výber formy rozdelenia náhodných veličín , na základe ktorej sa uskutoční počítačová simulácia ich numerickej realizácie. Vykonáva sa na základe niektorých predstáv o rozdelení uvažovaných ukazovateľov. Medzi takéto rozdelenia môžeme zaznamenať: normálne, lognormálne (častejšie používané pri modelovaní parametrov finančných trhov), trojuholníkové, rovnomerné atď. Normálne, trojuholníkové a rovnomerné rozdelenia sú symetrické a ich použitie je založené na predpoklade symetrického rozdelenia. budúcich výsledkov, aj keď s rôznou hustotou plnenia. Lognormálne rozdelenie nie je symetrické a jeho aplikácia je založená na predpoklade, že väčšina hodnôt náhodnej premennej je posunutá v určitom smere vzhľadom na očakávanú hodnotu.

V tejto knihe sa pri vykonávaní experimentálnych výpočtov metódou Monte Carlo pri modelovaní náhodných premenných – vybraných parametrov peňažných tokov – používa normálne rozdelenie.

Simulačné modelovanie náhodných veličín - vybrané parametre cash flow. Na simuláciu numerickej implementácie zodpovedajúcej náhodnej premennej použite vstavaný generátor pseudonáhodných čísel vo voľbe „Analýza údajov“ v ponuke „Nástroje“ balíka Microsoft Excel. V tomto prípade musí byť prednastavená očakávaná hodnota uvažovaného parametra a jeho smerodajná odchýlka, ako aj počet numerických implementácií náhodných veličín, ktoré by sa mali získať počas jedného cyklu simulačných výpočtov. Na takéto výpočty môžete použiť aj špeciálne aplikačné softvérové balíky.

Ak sa simultánne simuluje niekoľko náhodných hodnôt, potom je potrebné skontrolovať absenciu korelácie medzi každou dvojicou ich získaných numerických realizácií. Možnosti použitia kritérií na testovanie štatistických hypotéz budú vysvetlené nižšie.

S prihliadnutím na každú prijatú realizáciu posudzovanej náhodnej premennej, ako aj parametre peňažných tokov, o ktorých sa predpokladá, že sú fixné, sa pre každú prijatú realizáciu špecifikovaných náhodných premenných vykonajú výpočty peňažných tokov. Počet peňažných tokov sa zhoduje so zvoleným počtom realizácií týchto veličín. Na základe týchto peňažných tokov sa v každom cykle simulačných výpočtov vytvára rozdelenie čistej súčasnej hodnoty projektu alebo iných odhadovaných ukazovateľov posudzovaného projektu.

Stanovenie charakteristík rozdelenia čistej súčasnej hodnoty projektu , získané ako výsledok jedného cyklu simulačných výpočtov, vrátane očakávanej hodnoty čistej súčasnej hodnoty projektu, rozptylu a smerodajnej odchýlky a ďalších ukazovateľov výsledného rozdelenia tohto ukazovateľa. Patria sem najväčšie a najmenšie hodnoty čistej súčasnej hodnoty, variačný koeficient ako doplnková charakteristika rozdelenia, pravdepodobnosť realizácie zápornej hodnoty čistej súčasnej hodnoty, t.j. nepriaznivý výsledok projektu pre investora. V druhom prípade je špecifikovaná pravdepodobnosť definovaná ako pomer počtu záporných hodnôt čistej súčasnej hodnoty vo výslednom rozdelení k celkovému počtu experimentov vykonaných v rámci jedného cyklu simulačných výpočtov:

Kde k- počet negatívnych hodnôt čistej súčasnej hodnoty vo vzorke získaných počas procesu simulácie; T - počet vykonaných simulačných experimentov. Takéto hodnotenie pravdepodobnosti nepriaznivých výsledkov je založené na predpoklade, že pravdepodobnosť každého výsledku počas jedného cyklu simulačného modelovania je rovnaká a predstavuje p = 1 /T. Podobné výpočty možno vykonať pre vnútornú úrokovú mieru, index ziskovosti a dobu návratnosti.

Pri vykonávaní výpočtov môžete použiť vstavané štatistické funkcie balíka Microsoft Excel (tabuľka 5.12), ktoré sú nastavené na distribúcii NPV alebo pomocou iného vypočítaného ukazovateľa získaného ako výsledok jedného cyklu simulačných výpočtov.

Tabuľka 5.12

Použité vstavané funkcie balíka Microsoft Excel

Dôsledné viacnásobné opakovanie simulačných výpočtových cyklov vykonávané v etapách 4 a 5, čo zahŕňa postupnú tvorbu rozdelenia hodnôt čistej súčasnej hodnoty, ako aj zodpovedajúcich súborov hodnôt odhadovaných ukazovateľov prezentovaných v etape 5.

Na kontrolu stability získaných charakteristík rozdelenia čistej súčasnej hodnoty a zlepšenie kvality platnosti záverov je potrebné vykonať niekoľko stoviek alebo tisíc cyklov iteračných výpočtov v režime simulácie.

Analýza hlavných výsledkov. Výsledky aplikácie metódy Monte Carlo na analýzu a hodnotenie udržateľnosti projektu na identifikované rizikové faktory možno prezentovať v dvoch formách. V prvom rade môžeme hovoriť o analýze kvantitatívnych hodnôt ukazovateľov získaných ako výsledok simulačných výpočtov, charakterizujúcich parametre výsledného rozdelenia čistej súčasnej hodnoty projektu alebo iných odhadovaných ukazovateľov. Tieto ukazovatele zahŕňajú: očakávanú hodnotu čistej súčasnej hodnoty; rozptyl, smerodajná odchýlka a variačný koeficient ako miery rizika; najväčšie a najmenšie hodnoty čistej súčasnej hodnoty pre výslednú vzorku; pravdepodobnosť získania zápornej čistej súčasnej hodnoty projektu. V procese opakovaného opakovania cyklu simulačných výpočtov je možné skonštruovať priemernú hodnotu pre danú vzorku pre každý špecifikovaný ukazovateľ, pričom ich považujeme za určité očakávané charakteristiky vplyvu rizikových faktorov na podmienky vykonania a daný investičný projekt.

Analýza rozloženia hodnôt týchto ukazovateľov, získaných v dôsledku dostatočne veľkého počtu iterácií, nám umožňuje vyvodiť určité závery o relatívnej stabilite čistej súčasnej hodnoty projektu, očakávanej hodnote a štandarde. odchýlka výsledného rozdelenia NPV pravdepodobnosť získania zápornej hodnoty NPV projektu, podliehajú zmenám vo vybraných náhodných premenných v súlade so zvolenou formou ich rozdelenia. Túto stabilitu je možné posúdiť vizuálne vynesením vzorových hodnôt uvedených ukazovateľov alebo použitím vhodných štatistických odhadov určených na základe získanej vzorky príslušného ukazovateľa. Podobnú analýzu možno vykonať, ak sa použijú iné kritériá hodnotenia projektu.

Ryža. 5.4.

Inou formou výsledku počítačovej simulácie alebo Monte Carlo štúdií môžu byť rôzne grafy. Hovoríme o frekvenčných histogramoch hodnôt čistej súčasnej hodnoty, ktoré sa tvoria v závislosti od frekvencie simulovaných hodnôt čistej súčasnej hodnoty spadajúcich do vybraných intervalov alebo skupín jej hodnôt, ako aj o grafoch rozdelenia pravdepodobnosti zápornej čistej súčasnosti. hodnota hodnoty alebo iné odhadované ukazovatele.

Všeobecná postupnosť výpočtov metódou Monte Carlo je uvedená na obr. 5.4. Zodpovedajúce výpočty je možné vykonať iba na počítači pomocou vstavaných možností balíka Microsoft Excel alebo iných balíkov aplikácií.

Na nasledujúcom podmienenom príklade si ukážeme možnosti implementácie metódy Monte Carlo a vlastnosti analýzy získaných výsledkov. Všetky počiatočné údaje pre posudzovaný projekt sú uvedené v tabuľke. 5.13.

Tabuľka 5.13

Počiatočné údaje pre projekt

Index
Index
Faktor využitia kapacity, %

Očakávaná predajná cena, rub.
Smerodajná odchýlka predajnej ceny, rub.
Investície, rub.
Podmienečne fixné výdavky, rub/rok
Podmienečne variabilné výdavky, rub/sd. Herodes.
Smerodajná odchýlka polovariabilných nákladov

Vyzdvihnime parametre a vygenerujme počiatočný cash flow tohto investičného projektu. Zložky peňažného toku sa vypočítajú pomocou vzorcov

Kde k t - miera využitia výrobnej kapacity za rok t, Mt - výrobná kapacita podniku za rok t, p t - cena produktu počas obdobia t; hf- miera polovariabilných nákladov za rok t; Hf- polofixné výdavky počas obdobia t,t= 1, 2,..., T; T je obdobie realizácie projektu.

Výsledky výpočtu počiatočného peňažného toku pomocou vzorcov (5.10) sú uvedené v tabuľke. 5.14.

Tento príklad skúma počítačové modelovanie dvoch rizikových faktorov: ceny produktov v druhom roku a polovariabilné náklady v treťom roku. Simulačné modelovanie sa uskutočňuje na základe predpokladu normálneho rozdelenia oboch faktorov.

Tabuľka 5.14

Parametre a cash flow investičného projektu

Investície	faktor využitia kapacity, %	Maximálny výstupný objem, jednotky. vyd.	Očakáva sa pealnzanmn.	trvalé	Podmienečne variabilné výdavky, rub/jednotka. Herodes.	Peňažné
	-

Za cenu druhého roka sa ako očakávaná alebo priemerná hodnota vyberie 30 rubľov. (pozri tabuľku 5.13) a predpokladá sa, že smerodajná odchýlka sa rovná 2. V prípade podmienene variabilných výdavkov tretieho roka sa preto očakávaná hodnota rovná 16 rubľov. (pozri tabuľku 5.13) a smerodajná odchýlka bola zvolená rovná 1. Odhad smerodajnej odchýlky možno získať na základe predstáv o možných intervaloch fluktuácie príslušného ukazovateľa. Takže, ak je očakávané kolísanie predajnej ceny v druhom roku 6 rubľov. v oboch smeroch od očakávanej hodnoty, potom, berúc do úvahy, že za normálnych distribučných podmienok je takmer celý interval ±3a, približný odhad smerodajnej odchýlky je v tomto prípade 6/3 = 2 ruble. Ostatné hodnoty štandardnej odchýlky uvedené v tabuľke je možné získať podobne. 5.13.

Pri počítačovom modelovaní náhodnej implementácie oboch vybraných ukazovateľov boli využité vstavané možnosti balíka Microsoft Excel na generovanie pseudonáhodných premenných na základe normálneho rozdelenia. Každý cyklus simulačných výpočtov zahŕňal 100 iterácií. Výsledky jedného cyklu výpočtov oboch náhodných veličín sú uvedené v tabuľke. 5.15.

Pred vykonaním ďalších výpočtov je potrebné otestovať hypotézu, že neexistuje korelácia medzi oboma náhodnými veličinami, ktorých rozdelenia sú uvedené v tabuľke. 5.15. Na tento účel pomocou vstavanej funkcie „CORREL“ balíka Microsoft Excel vypočítame korelačný koeficient vzorového páru, ktorého hodnota bude rph = -0,10906, t.j. takmer rovný nule. Formálne otestovať hypotézu

Tabuľka 5.15

Imitácia rozdelenia náhodných premenných, rub.

І Číslo iterácie	Cena za druhý rok, rub.	Podmienečne variabilné výdavky tretieho roka, rub/jednotka. pokračovanie
	Priemerná hodnota - 30	Priemer -16
	Smerodajná odchýlka - 2	Smerodajná odchýlka - 1

o absencii korelácie medzi uvažovanými náhodnými premennými je potrebné zostaviť štatistiku

Kde P - veľkosť vzorky, t.j. počet iterácií v jednom cykle simulačných výpočtov a porovnať ho so štatistikou t a (n - 2), ktoré majú študentskú distribúciu SP - 2 stupne voľnosti a úrovne spoľahlivosti a. Vzhľadom na zadanú hodnotu korelačného koeficientu vzorky a veľkosť vzorky P = 100, v tomto prípade dostaneme:

čo je v absolútnej hodnote menej ako zodpovedajúca tabuľková hodnota kvantilu Studentovho rozdelenia s 98 stupňami voľnosti a hladinou spoľahlivosti 0,95, čo je 1,984. To nám umožňuje prijať hypotézu N() s pravdepodobnosťou chyby I. typu 0,05.

Pomocou získaných číselných realizácií ceny druhého roku a podmienene variabilných výdavkov tretieho roku (pozri tabuľku 5.15), ako aj daných hodnôt zostávajúcich parametrov peňažných tokov (pozri tabuľku 5.14) sa peňažné toky investičný projekt sa vytvorí zodpovedajúcim získaným cenovým hodnotám pre každú iteráciu. Výpočty sa uskutočnili pomocou vzorcov (5.10). Celkovo sa vygenerovalo 100 peňažných tokov. Výsledky výpočtu sú uvedené v tabuľke. 5.16.

Tabuľka 5.16

iterácií
iterácií

Pomocou získaných hodnôt cash flow vypočítame pomocou vzorca čistú súčasnú hodnotu projektu

Použila sa zúčtovacia úroková sadzba 12 %. Tieto výpočty sa robia v programe Microsoft Excel pomocou vstavanej funkcie finančnej NPV, ktorá sa používa na výpočet hodnôt čistej súčasnej hodnoty. Výsledky výpočtu sú uvedené v tabuľke. 5.17.

Tabuľka 5.17

Možnosti peňažných tokov pre posudzovaný projekt v rámci jedného cyklu simulačných výpočtov, rub.

Iteračné číslo	Čistá súčasná hodnota	Iteračné číslo	Čistá súčasná hodnota

Pomocou výsledného rozdelenia hodnôt čistej súčasnej hodnoty projektu je možné určiť hlavné charakteristiky, ktoré odrážajú mieru vplyvu rizikových faktorov na čistú súčasnú hodnotu tohto projektu. Zostavme frekvenčný histogram hodnôt čistej súčasnej hodnoty. Aby sme to dosiahli, rozdelíme všetky hodnoty čistej súčasnej hodnoty projektu získaného počas 100 iterácií do skupín nasledovne. Do prvej skupiny zahrnieme tie hodnoty čistej súčasnej hodnoty, ktoré nepresahujú -20 000 rubľov, a potom v prírastkoch 10 000 rubľov. vytvoríme ďalších sedem skupín hodnôt čistej súčasnej hodnoty, od 2. do 8., a do poslednej skupiny zahrnieme tie hodnoty čistej súčasnej hodnoty, ktoré presahujú 50 000 rubľov, a určíme počet hodnôt čistá súčasná hodnota, ktorá spadá do každej vybranej skupiny (tabuľka 5.18).

Rozdelenie získaných hodnôt čistej súčasnej hodnoty podľa skupín, ktoré sú uvedené v tabuľke. 5.18 je možné znázorniť na nasledujúcom frekvenčnom histograme (obr. 5.5). Tento histogram ukazuje, že najväčší počet získaných hodnôt NPV sa nachádza v rozmedzí od -10 000 do 30 000. Poskytuje tiež určitú predstavu o možných záporných hodnotách čistej súčasnej hodnoty, ktoré v tomto príklade spadali do 1., 2. a 3. skupiny. Zároveň väčšina

Tabuľka 5.18

Zoskupenie odhadovaných čistých súčasných hodnôt

Ryža. 55.

vypočítané hodnoty NPV sa nachádza v oblasti kladných hodnôt. Konkrétne hodnoty frekvencií pádu do každého intervalu závisia od výsledného rozdelenia vybraných náhodných premenných, v našom príklade predajných cien druhého roka a podmienene variabilných nákladov tretieho, ktoré sú považované za rizikové faktory. Získaný výsledok výrazne závisí od predpokladu normálneho rozloženia uvedených faktorov.

Metóda Monte Carlo umožňuje analyzovať vplyv rizikových faktorov - vybraných parametrov projektu - na študované ukazovatele jeho hodnotenia. V našom príklade sa za takýto ukazovateľ považuje čistá súčasná hodnota. Výsledky výpočtov šiestich ukazovateľov charakterizujúcich rozdelenia NPV zostavené postupne na každom z 10 cyklov vykonaných simulačných výpočtov sú uvedené v tabuľke. 5.19.

Všetky sa vykonávajú za rovnakého predpokladu normálneho rozdelenia posudzovaných náhodných premenných a zachovania ich charakteristík - priemernej alebo očakávanej hodnoty a smerodajnej odchýlky. V tomto príklade boli v procese vykonaných experimentálnych výpočtov ako rizikové faktory zvolené ceny druhého roku a podmienene variabilné výdavky tretieho roku; pre každý z týchto faktorov boli distribučné parametre zachované rovnaké vo všetkých 10 cykloch simulačných výpočtov. V zásade je možné vykonávať simulačné výpočty metódou Monte Carlo s premenlivou smerodajnou odchýlkou. V tomto prípade je veľmi ťažké analyzovať stabilitu získaných výsledkov.

Pozrime sa podrobnejšie na výsledky výpočtov, ktoré sú uvedené v tabuľke. 5.19. Zároveň boli na základe rozdelenia stanovené ukazovatele pre 1. cyklus simulačných výpočtov NPV uvedené v tabuľke. 5.17.

Tabuľka 5.19

Charakteristika distribúcií NPV prijaté v režime simulácie, rub.

Index	Cyklus simulačných výpočtov
Index
Očakávaná hodnota NPV
Smerodajná odchýlka NPV
Koeficient variácií
Pravdepodobnosť zápornej hodnoty NPV
Najvyššia hodnota NPV
Najnižšia hodnota NPV

Po prvé, očakávaná hodnota NPV vo všetkých 10 cykloch simulačných výpočtov dopadli pozitívne, väčšina získaných hodnôt NPV pre každé rozdelenie sa posunie do kladnej oblasti.

Po druhé, štandardná odchýlka pre každú distribúciu NPV získaná v režime simulácie je väčšia ako očakávaná hodnota NPV Uvedený vzťah odráža aj hodnotu variačného koeficientu, ktorá je väčšia ako jednota pre všetky cykly simulačných výpočtov a umožňuje nám dospieť k záveru, že možno realizovať zápornú hodnotu NPV počas realizácie tohto projektu.

Po tretie, tento záver potvrdzujú získané odhady pravdepodobnosti zápornej hodnoty NPV projekt, ktorý sa určí podľa vzorca (5.9) ako pomer počtu záporných hodnôt čistej súčasnej hodnoty získaných v danom cykle simulačných výpočtov k celkovému počtu iterácií, ktorý sa rovná 100. cyklov vykonaných simulačných výpočtov je táto pravdepodobnosť približne 30 %.

Po štvrté, maximálne a minimálne hodnoty NPV projekt dáva predstavu o možnom rozsahu kolísania alebo rozptylu hodnôt NPV projektu. Tieto údaje opäť potvrdzujú, že smerodajná odchýlka charakterizuje len časť rozsahu kolísania hodnoty čistej súčasnej hodnoty projektu, určenej ako výsledok simulačných výpočtov.

Po piate, uvedené v tabuľke. 5.19 údaje nám umožňujú vyvodiť závery o stabilite distribučných charakteristík získaných pri každom cykle simulačných výpočtov NPV čo vlastne umožňuje interpretovať získané priemerné odhady empirických výsledkov ako zodpovedajúce podmienkam projektu. Táto stabilita môže byť testovaná rôznymi spôsobmi.

1. Môžete použiť vizuálne hodnotenie rozloženia výsledkov uvedených v tabuľke. 5.19. Takže na obr. 5.6 ukazuje rozdelenie pravdepodobnosti zápornej hodnoty NPV r získané v 10 cykloch simulačných výpočtov.

Pri analýze grafu znázorneného na obr. 5.6 je zrejmé, že výsledný rozsah fluktuácií tejto pravdepodobnosti je dosť úzky. Ak použijeme maximálne a minimálne hodnoty tejto pravdepodobnosti, môžeme ukázať, že odchýlka od priemernej hodnoty tejto pravdepodobnosti pre túto vzorku, ktorá sa rovná 0,31, je približne 13 % v oboch smeroch.

Ryža. 5.6. Pravdepodobnosť zápornej hodnoty NPV pomocou simulačných cyklov

Podobne môžeme vyzdvihnúť interval fluktuácie očakávanej hodnoty čistej súčasnej hodnoty projektu. Ako ukazujú údaje v tabuľke. 5.19, vo všetkých cykloch simulačných výpočtov očakávaná NPV mal kladnú hodnotu, aj keď podliehal určitým výkyvom. Graf znázornený na obr. 5.7 ukazuje ako možné trendy zmien tohto ukazovateľa, tak aj rozsah kolísania jeho hodnoty počas ukončených cyklov simulačných výpočtov.

Ryža. 5.7. Očakávaná hodnota NPV pomocou simulačných cyklov

Ak vezmeme do úvahy, že vzorová priemerná hodnota očakávanej čistej súčasnej hodnoty je 6332,38 rubľov, potom môžeme ukázať, že rozsah kolísania vypočítaných hodnôt je približne 24% na oboch stranách priemernej hodnoty. Získané odhady sú vysoko závislé od počtu vykonaných simulačných výpočtových cyklov a prirodzene sa budú meniť počas nasledujúcich cyklov. Relatívna spoľahlivosť takýchto odhadov sa zvyšuje so zvyšujúcim sa počtom cyklov simulačných výpočtov a rozšírením veľkosti vzorky uvedenej v tabuľke. 5.19. Podobnú analýzu možno vykonať aj pre ďalšie ukazovatele určené v každom cykle simulačných výpočtov (pozri tabuľku 5.19).

2. Pri výraznom zvýšení počtu cyklov simulačných výpočtov a rozšírení vzorky získaných výsledkov je možné použiť formálne kritériá na testovanie hypotéz a na ich základe vyvodiť závery o stabilite získaných výsledkov, resp. špecifické hodnoty určitých vypočítaných parametrov. Testovanie štatistických hypotéz je založené na generovaní testových štatistík, ktoré sa stanovujú s prihliadnutím na vzorku uvažovaného ukazovateľa, ako aj s predpokladom, že testovacia štatistika má dané rozdelenie. Vyššie sme pri testovaní hypotézy, že koeficient párovej korelácie sa rovná nule, uvažovali o takzvanej jednoduchej hypotéze za predpokladu, že testovacia štatistika mala Studentovo rozdelenie s n - 2 stupne slobody. Zvláštnosťou testovania štatistických hypotéz je, že sa prijímajú s určitou mierou spoľahlivosti. Výsledky zodpovedajúceho testu môžu obsahovať chyby prvého typu, keď je hypotéza zamietnutá, ak je pravdivá, a chyby druhého typu, keď je hypotéza prijatá, ak je nepravdivá alebo alternatívna hypotéza je pravdivá, t.j. Odpoveď získaná počas takéhoto testovania nie je absolútna.

Pri rozhodovaní o realizácii alebo neuskutočnení investičného projektu na základe údajov získaných metódou Monte Carlo ide v prvom rade o analýzu získaných rozdelení čistej súčasnej hodnoty projektu, ktorú je možné vykonať na základ histogramu podobného tomu, ktorý je znázornený na obr. 5.5. Podobný histogram možno skonštruovať aj pre priemer všetkých implementácií distribúcie NPV

Ak všetky distribučné hodnoty NPV v každom cykle simulačných výpočtov dopadnú pozitívne, potom možno projekt odporučiť na realizáciu, v opačnom prípade, ak sú všetky distribučné hodnoty NPV projektu sú negatívne v každom cykle simulačných výpočtov, projekt sa neodporúča na realizáciu. Vo všetkých ostatných prípadoch je potrebné porovnať šance na získanie kladných a záporných hodnôt NPV Pre histogram uvedený na obr. 5.5 možno poznamenať, že kladné hodnoty NPV sa dosahujú v skupinách 4 až 8. Vzhľadom na údaje v tabuľke. 5.18 možno poznamenať, že pre túto vzorku 65 % hodnôt NPV pozitívne a iba 35 % negatívne. Podobnú analýzu možno vykonať s použitím priemernej hodnoty rozdelenia vo všetkých cykloch simulačných výpočtov.

V literatúre venovanej problematike hodnotenia investičných projektov metódou Monte Carlo sa navrhuje vypočítať niektoré ďalšie ukazovatele na základe vzorky NPV za predpokladu, že výsledky pri každej iterácii počas jedného cyklu simulačných výpočtov majú rovnakú pravdepodobnosť p= 1 /P. Práve na základe tohto prístupu sa očakávajú hodnoty NPV v tabuľke 5.19. Navrhuje sa použiť rovnakú schému na určenie „očakávaného zisku“ pomocou kladných hodnôt NPV vo výslednej vzorke a „očakávaná strata“ - na základe záporných hodnôt NPV v tejto vzorke.

Zvažujem to NPV- Toto je kritérium pre výber projektu a nie zmysluplné hodnotenie jeho užitočných výsledkov, vyžaduje sa dodatočná zmysluplná interpretácia uvedených ukazovateľov „výhier“ a „prehier“. Avšak v prípade, keď sa príjem za určité obdobie považuje za konečný modelovaný ukazovateľ, odhady priemerného kladného príjmu alebo straty možno urobiť zo vzorky získanej ako výsledok simulácie.

Či je investičný projekt prijatý na realizáciu alebo nie, závisí od rozdelenia hodnôt vygenerovaných ako výsledok simulácie NPV a výsledné charakteristiky tohto rozdelenia. Charakteristiky distribúcie NPV (pozri tabuľku 5.19) sa mení s každým cyklom simulačných výpočtov. Preto je obzvlášť dôležitá analýza stability výsledkov zistená pomocou simulačných výpočtov, ktorá umožňuje získať ďalšie informácie pre rozhodovanie. Nejde ani tak o to, aké sú konkrétne hodnoty získaných výsledkov, ale o to, nakoľko sú stabilné a či sa výrazne zmenia pod skutočným vplyvom identifikovaných rizikových faktorov. Výsledky tejto analýzy sú vo svojej podstate relatívne, ak sa táto analýza vykonáva vizuálne, ako aj keď hovoria o hodnotení hlavných kritérií na testovanie štatistických hypotéz. Preto je pre rozhodovateľa dôležité, či získané intervaly fluktuácií charakteristík rozdelenia zodpovedajú jeho predstavám o budúcich fluktuáciách zodpovedajúceho indikátora alebo či jeho hladina spoľahlivosti spĺňa zodpovedajúcu hypotézu.

Konečné rozhodnutie manažéra o realizácii alebo neuskutočnení posudzovaného projektu sa prijíma na základe všetkých vyššie uvedených informácií s prihliadnutím na jeho sklony alebo averziu k riziku, čo sa odráža v tom, či táto osoba považuje za možné realizovať projekt so získanými charakteristikami distribúcie NPV a či má určité schopnosti riadiť riziká tohto projektu v prípade, že sa jeho vývoj uberá nepriaznivou cestou. Formálne kritériá pre výber riešenia na základe informácií získaných počas simulačného procesu Monte Carlo nie sú v súčasnosti vypracované, čo sa považuje za jednu z hlavných nevýhod tohto spôsobu hodnotenia a zdôvodňovania investičných projektov v rizikových podmienkach.

Pri použití metódy Monte Carlo treba mať na pamäti, že v procese jej implementácie hovoríme o posudzovaní celkovej stability projektu voči zmenám identifikovaných rizikových faktorov (v našom príklade ceny a polovariabilné náklady) . Je to spôsobené tým, že táto metóda, podobne ako analýza diskrétnej citlivosti, nie je založená na použití možných budúcich zmien v identifikovanom externom rizikovom faktore, napríklad v cenách, na relevantnom trhu, ale spolieha sa na počítačovú simuláciu distribúcie. z identifikovaných rizikových faktorov. Výsledky výrazne závisia od veľkosti získanej vzorky hodnotiacich ukazovateľov, pričom ich konkrétne hodnoty sa môžu v jednotlivých cykloch simulačných výpočtov výrazne líšiť. To je aj nevýhoda metódy Monte Carlo ako simulačnej metódy na analýzu rizika dlhodobých investičných projektov.

Niekedy oddeľujú výšku investície do projektu a náklady budúceho podnikania, ktoré vzniknú pred dokončením výstavby a uvedením do prevádzky, napríklad vo forme nákladov na vykurovanie, osvetlenie, náklady na správu a zohľadňujú parameter H₀ .

Ďalšie informácie o testovaní hypotéz nájdete v časti: Magnus Ya. R. Katyshev P. K., Peresetsky A. A. Ekonometria. Kurz pre začiatočníkov. M.: Delo, 1997. s. 219-221.

Riadenie rizika investičného projektu: učebnica / vyd. M. V. Grachevoy, L. B. Sikerina. M.: UNITY-DANA, 2009. s. 169-170.

Kapitola 2. Príklady použitia metódy Monte Carlo 8

2.1 Najjednoduchší príklad použitia metódy Monte Carlo 8

2.2 Výpočet Pi pomocou metódy Monte Carlo 8

2.2.1 Stanovenie problému na nájdenie Pi pomocou metódy Monte Carlo 10

2.2.2 Výpis programu na nájdenie Pi pomocou metódy Monte Carlo 10

2.3 Riešenie problému analyticky a metódou Monte Carlo 12

Kapitola 3. Generovanie náhodných čísel 17

Záver 20

Referencie 21

Úvod

Metódy Monte Carlo je všeobecný názov skupiny metód na riešenie rôznych problémov pomocou náhodných postupností. Tieto metódy (ako každá teória pravdepodobnosti) vyrástli z pokusov ľudí zlepšiť svoje šance na hazardné hry. To vysvetľuje skutočnosť, že názov tejto skupine metód dalo mesto Monte Carlo – hlavné mesto európskeho hazardného biznisu (kasína), kde hrajú ruletu – jedno z najjednoduchších zariadení na získavanie náhodných čísel, na ktorých sa toto metóda je založená.

Počítače uľahčujú získavanie takzvaných pseudonáhodných čísel (používajú sa namiesto náhodných čísel pri riešení úloh); to viedlo k širokému zavedeniu metódy do mnohých oblastí vedy a techniky (štatistická fyzika, teória radenia, teória hier atď.).

Kapitola 1. Východiská a definícia metódy Monte Carlo

Americkí matematici D. Neumann a S. Ulam sú považovaní za tvorcov štatistickej testovacej metódy (metóda Monte Carlo). V roku 1944, v súvislosti s prácou na vytvorení atómovej bomby, Neumann navrhol široké využitie aparátu teórie pravdepodobnosti na riešenie aplikovaných problémov pomocou počítača. Prvá práca, kde bola táto problematika systematicky prezentovaná, patrí Metropolisu a Ulamu.

Analytické metódy poskytujú riešenie problému buď vo forme vzorca alebo vo forme sériovej expanzie alebo integrálov nad úplnou množinou vlastných funkcií niektorého operátora.

Klasické numerické metódy poskytujú približnú schému riešenia problému, zvyčajne spojeného s rozdelením priestoru na presne definované bunky a nahradením integrácie sumáciou a diferenciáciou s konečnými rozdielmi.

Hlavné nevýhody analytických metód sú:

Nedostatočná univerzálnosť hlavných metód riešenia. Napríklad metóda sériovej expanzie z hľadiska vlastných funkcií prakticky nefunguje pre tie parciálne diferenciálne rovnice, kde premenné nie sú oddelené atď.

Extrémne obmedzený súbor geometrických podmienok, pre ktoré je možné problém vyriešiť. Dokonca aj kombinácia jednoduchých, ale rôznych typov povrchov robí problém neriešiteľným.

Nemožnosť vypočítať fyzikálny proces, ktorého pravdepodobnostný popis je známy, ale vyjadrenie vo forme rovnice je mimoriadne náročné.

Klasické numerické metódy niektoré z týchto nedostatkov opravujú, no pridávajú svoje. Nebojí sa však zložitej geometrie problémov:

Sú mimoriadne objemné. Objem medziľahlých informácií sa ťažko zmestí aj do pamäte moderného počítača.

Odhad rozhodovacej chyby je oveľa náročnejší postup ako samotný rozhodovací proces. Často je to jednoducho nemožné.

Štatistická testovacia metóda nemá všetky tieto nevýhody.

Metódu Monte Carlo možno definovať ako metódu simulácie náhodných premenných s cieľom vypočítať charakteristiky ich rozdelenia. Je to numerická metóda na riešenie matematických problémov modelovaním náhodných veličín.

Úlohou metódy Monte Carlo je po získaní množstva realizácií pre nás zaujímavej náhodnej veličiny získať nejaké informácie o jej rozložení, t.j. je typickým problémom v matematickej štatistike.

takže, Podstata metódy Monte Carlo je nasledovná: treba nájsť hodnotu A nejaká študovaná veličina. Ak to chcete urobiť, vyberte nasledujúcu náhodnú premennú X, ktorých matematické očakávanie sa rovná A:

M(X)=A.

V praxi to robia takto: vyrábajú N testy, v dôsledku ktorých získajú N možné hodnoty X, vypočítajte ich aritmetický priemer a berte ho ako odhad (približnú hodnotu) A’ požadované číslo A.

Spravidla sa zostavuje program na vykonanie jedného náhodného testu. Chyba výpočtu je zvyčajne úmerná , kde D– nejaký stály.

Znamená to, že N musia byť veľké, takže metóda sa vo veľkej miere spolieha na možnosti počítača. Je jasné, že týmto spôsobom nie je možné dosiahnuť vysokú presnosť. Toto je jedna z nevýhod metódy. V mnohých problémoch je možné výrazne zvýšiť presnosť výberom metódy výpočtu, ktorá zodpovedá výrazne menej D.

Pretože metóda Monte Carlo vyžaduje veľké množstvo testov, často sa nazýva štatistická testovacia metóda. Teória tejto metódy naznačuje, ako najvhodnejšie vybrať náhodnú premennú X, ako zistiť jeho možné hodnoty.

Nájdenie možných hodnôt náhodnej premennej X (modelovanie) sa nazýva „hranie náhodnej premennej“.

Metóda Monte Carlo umožňuje simulovať akýkoľvek proces, ktorého priebeh ovplyvňujú náhodné faktory. Pre mnohé matematické problémy, ktoré nie sú spojené so žiadnou náhodnosťou, je možné umelo prísť s pravdepodobnostným modelom, ktorý je v niektorých prípadoch výhodnejší.

Hlavnou nevýhodou metódy Monte Carlo je, že ako prevažne numerická metóda nemôže nahradiť analytické metódy pri výpočte výrazne nových javov, kde je v prvom rade potrebné odhaliť kvalitatívne zákonitosti.

Výhodou metódy Monte Carlo je, že môže „fungovať“ tam, kde iné metódy zlyhávajú.

Analytické metódy výskumu môžu výrazne znížiť chybu metódy Monte Carlo a povýšiť ju na úroveň získavania kvalitatívnych vzorov. Syntéza analytických a štatistických metód môže znížiť D na veľmi malú hodnotu, čím sa zníži chyba.

Tu sú príklady problémov vyriešených metódou Monte Carlo:

výpočet systému radenia;

výpočet kvality a spoľahlivosti produktu;

teória prenosu správ;

výpočet určitého integrálu;

problémy výpočtovej matematiky;

problémy neutrónovej fyziky a iné.

Kapitola 2. Príklady použitia metódy Monte Carlo

2.1 Najjednoduchší príklad použitia metódy Monte Carlo

P Predpokladajme, že potrebujeme určiť plochu plochej postavy umiestnenej vo vnútri jednotkového štvorca, t.j. štvorec, ktorého strana sa rovná jednej (obr. 1). Vyberme si náhodne vo vnútri námestia N bodov. Označme podľa M počet bodov, ktoré spadajú do obrázku. Potom sa plocha obrázku približne rovná pomeru . Odtiaľ tým viac N, tým väčšia je presnosť takéhoto odhadu.

Obrázok 1. Plocha obrázka sa približne rovná pomeru počtu bodov na obrázku k počtu všetkých bodov.

2.2 Výpočet Pi pomocou metódy Monte Carlo

Pokúsme sa zostaviť metódu Monte Carlo na vyriešenie problému výpočtu čísla Pi. Za týmto účelom zvážte štvrtinu kruhu s jednotkovým polomerom (obr. 2). Plocha kruhu je
, samozrejme, oblasť štvrťkruhu je:

Keď vieme, že polomer kruhu je 1, dostaneme:

X

Obrázok 2. Nájdenie Pi pomocou metódy Monte Carlo.

Plocha celého štvorcového bloku OABC sa rovná 1. Náhodne vyberieme body vo vnútri štvorca OABC. Súradnice bodov musia byť
A
. Teraz spočítajme počet bodov tak, že
, t.j. tie body, ktoré spadajú do kruhu.

Nechajte všetko otestovať N bodov a od nich M dostal sa do kruhu. Zvážte pomer počtu bodov spadajúcich do kruhu k celkovému počtu bodov ( M/N). Je zrejmé, že čím viac náhodných bodov testujeme, tým bližšie bude tento pomer k pomeru plôch štvrťkruhu a štvorca. Teda máme to za dostatočne veľké N, platí rovnosť:

Z výslednej rovnosti:

Takže sme vytvorili metódu Monte Carlo na výpočet Pi. Opäť stojíme pred otázkou, koľko presne bodov N je potrebné otestovať, aby ste získali Pi s predvídateľnou presnosťou? Problematika presnosti výpočtov pomocou metód Monte Carlo je rozoberaná v tradičných kurzoch teórie pravdepodobnosti a nebudeme sa jej podrobne venovať. Možno len poznamenať, že presnosť výpočtov veľmi závisí od kvality použitého generátora pseudonáhodných čísel. Inými slovami, čím rovnomernejšie sú náhodné body rozdelené na jednotkový štvorec, tým vyššia je presnosť.

2.2.1 Stanovenie problému na nájdenie Pi pomocou metódy Monte Carlo

Na kontrolu vzorca bol napísaný program v programovacom prostredí Turbo Pascal. V programe musíte zadať číslo K– počet testov a počet N– počet testovaných bodov. Pre súradnice bodov (X, Y) sa používa generátor náhodných čísel. Výsledky všetkých testov sú spriemerované.

2.2.2 Výpis programu na nájdenie Pi pomocou metódy Monte Carlo

K, (počet testov)

N, (počet bodov)

i, j: slovo; (pre cykly)

s, (súčet všetkých pí)

P: skutočný; (aritmetická stredná hodnota Pi)

(funkcia vracia Pi)

výpočet FUNKCIE: skutočný;

x, y: slovo; (súradnice bodu)

M: slovo; (počet bodov v kruhu)

pre i:=1 až N do

x:=random(2); (x, y sú náhodné čísla)

ak sqr(x)+sqr(y)<=1 then inc(M); {точка с координатами x, y попала в круг}

raschet: = 4 x M/N; (zo vzorca)

write("Zadajte pocet testov: ");

write("Zadajte počet bodov na testovanie: ");

pre j:=1 až K do s:=s+raschet;

writeln("Pi vypočítané metódou Monte Carlo je:");

writeln("Presný počet Pi je:");

writeln(Pi:1:6);

Takže pomocou tohto programu bola skontrolovaná presnosť vzorca. Výsledkom bolo číslo Pi rovné: 3.000808 , s počtom testov 500 krát s počtom bodov 5000. Presné číslo Pi je: 3.141593 .

Ako už bolo spomenuté vyššie, presnejšiu odpoveď možno získať veľmi veľkým počtom experimentov, pri testovaní väčšieho počtu bodov a pri použití kvalitného generátora pseudonáhodných čísel.

2.3 Riešenie problému analyticky a metódou Monte Carlo

Zvážme problém:

Systém kontroly kvality výrobkov pozostáva z troch zariadení. Pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky každého z nich v priebehu času T rovná sa 5/6. Zariadenia zlyhajú nezávisle od seba. Ak zlyhá čo i len jedno zariadenie, celý systém prestane fungovať. Nájdite pravdepodobnosť
že systém po určitom čase zlyhá T.

Analytický roztok.

Udalosť A– porucha aspoň jedného z troch zariadení v čase T a udalosť – žiadne z troch zariadení nezlyhá v opačnom čase T. Pravdepodobnosť
- požadovaná pravdepodobnosť. Odtiaľ:

Teraz poďme vyriešiť problém pomocou metódy Monte Carlo.

Pripomeňme, že pri použití tejto metódy sú možné dva prístupy: buď priamo vykonávajú experimenty, alebo ich napodobňujú inými experimentmi, ktoré majú rovnakú pravdepodobnostnú štruktúru ako pôvodné. V podmienkach tohto problému je „prirodzeným“ experimentom pozorovanie fungovania systému v priebehu času T. Opakovanie tohto experimentu mnohokrát môže byť ťažké alebo jednoducho nemožné. Nahraďte tento experiment iným.

Určiť, či časom zlyhá alebo nie T samostatné zariadenie, budeme hádzať kockou. Ak sa hodí jeden bod, budeme predpokladať, že zariadenie je mimo prevádzky; ak dva, tri, štyri, päť, šesť bodov, potom budeme predpokladať, že zariadenie fungovalo bezchybne. Pravdepodobnosť, že bude hodený jeden bod, ako aj pravdepodobnosť zlyhania zariadenia je 1/6 a pravdepodobnosť, že bude hodený akýkoľvek iný počet bodov, ako aj pravdepodobnosť, že zariadenie bude fungovať bez poruchy, je 5/6.

Na určenie, či celý systém časom zlyhá alebo nie T, Budeme hádzať tromi kockami. Ak aspoň jedna z troch kociek získa jeden bod, bude to znamenať, že systém zlyhal.

Zopakujme test hodu tromi kockami mnohokrát za sebou a nájdime pomer počtu M– zlyhania systému na celkový počet N– vykonané testy. Pravdepodobnosť zlyhania sa bude rovnať:

Na otestovanie vzorca, ktorý je založený na metóde Monte Carlo, som sa rozhodol napísať program v programovacom prostredí Turbo Pascal. Faktom je, že ak by pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky zariadení nebola, ale napríklad ťažko by sa dali napodobniť inými experimentmi, ktoré majú rovnakú pravdepodobnostnú štruktúru ako pôvodné bez použitia počítača.

Tento program je určený pre všetky takéto úlohy. Na konci výpočtov program vygeneruje dve odpovede. Prvý sa získa metódou Monte Carlo pomocou vzorca. Druhý sa získa analytickou metódou pomocou vzorca.

V programe je potrebné zadať: B- počet zariadení; pravdepodobnosť ako zlomok; N– počet vykonaných experimentov.

B, (počet zariadení)

S, D: bajt; (pravdepodobnosť P(A)=S/D)

N, (počet experimentov)

i, j, (pre cykly)

summa: slovo; (celkový počet zlyhaní)

P_M, P_A: skutočný; (prijatá pravdepodobnosť)

(funkcia vracia počet zlyhaní na test)

FUNKCIA otkaz: slovo;

pre i:=1 až B do

R:=náhodné (D+1)+1; (náhodné číslo >=1 a<=D}

ak R<=D-S then inc(o); {выпал "отказ"}

write("Zadajte počet zariadení: ");

writeln("Zadajte pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky (ako zlomok):");

write(" čitateľ - ");

write(" menovatel - ");

readln(D); (t.j. P=S/D)

write("Zadajte pocet experimentov: ");

(výpočet metódou Monte Carlo)

pre j:=1 až N do summa:=summa+otkaz;

(výpočet analytickou metódou)

pre i:=1 až B-1 do P_A:=P_A*S/D; (umocnenie)

writeln("* * * Odpoveď * * *");

writeln("Metóda Monte Carlo: ", P_M:1:6);

writeln("Analytická metóda: ", P_A:1:6);

Takže po kontrole vzorca pomocou vášho programu s hodnotami: počet zariadení – 3; pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky; počet pokusov - 50 000, dostal som dve odpovede. Riešenie problému metódou Monte Carlo – 0.429420 . Riešenie problému pomocou analytickej metódy - 0.421296 . Záver je teda taký, že pravdepodobnosť získaná rôznymi metódami je podobná.

Kapitola 3. Generovanie náhodných čísel

V prísne deterministickom svete procesorových kódov nie je zavedenie prvku náhodnosti do programu takou jednoduchou úlohou, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Presvedčili sme sa o tom získaním hodnoty Pi v programe uvedenom v kapitole 2. Najbežnejšie aplikácie vyžadujúce použitie náhodných čísel sú numerické simulácie metódou Monte Carlo a tvorba počítačových hier.

Poďme teda definovať tieto čísla. Označme podľa R spojitá náhodná premenná rozložená rovnomerne v intervale (0, 1).

Náhodné čísla sú možné hodnoty r j spojitej náhodnej premennej R, rovnomerne rozložené v intervale (0, 1).

V skutočnosti používajú nerovnomerne rozloženú náhodnú premennú R, ktorého možné hodnoty majú nekonečný počet desatinných miest, a kvázi-jednotná náhodná premenná R' , ktorých možné hodnoty majú konečný počet znakov. V dôsledku výmeny R na R’ hodnota, ktorá sa hrá, nemá presne, ale približne dané rozdelenie.

Náhodná premenná R’ má vlastnosť: pravdepodobnosť, že spadne do ľubovoľného intervalu patriaceho do intervalu (0; 1), sa rovná dĺžke tohto intervalu.

Získavanie náhodných čísel je dôležitou etapou počítačového experimentu, ktorému sa nie vždy venuje náležitá pozornosť. Numerické algoritmy používané v praxi vedú k produkcii pseudonáhodných čísel, ktorých znakom je obmedzená povaha a opakovateľnosť postupnosti.

Vyčerpanie tejto sekvencie veľkým počtom cyklov Monte Carlo alebo veľkosťou systému znižuje jej skutočnú veľkosť na:

N– veľkosť systému (počet častíc);

P – perióda postupnosti pseudonáhodných čísel;

k– počet náhodných čísel použitých na určenie stavu jednej častice;

n– celkový počet cyklov Monte Carlo potrebných na stabilizáciu systému a výpočet jeho charakteristík.

Napríklad pri modelovaní Isingovho systému pozostávajúceho z 2000 častice, spravidla nie menej 500 MC cykly, t.j. nie je potrebné nič menej 10 5 náhodné čísla. Ak je použitý generátor 16 bitovo a nemôže vytvoriť sekvenciu pozostávajúcu z viac ako 2 16 (65536) pseudonáhodné čísla, potom skutočná veľkosť systému podľa vzorca bude v poriadku 1000 častice.

Pri hrách je situácia ešte tragickejšia: napríklad balíček 52 karty je možné usporiadať 52! spôsoby. Je to približne 8e67 alebo 2 226 . To znamená, že na to, aby počas hry mohol vzniknúť akýkoľvek scenár, potrebuje tvorca plnohodnotnej kartovej hry ako „21“ 256-bitový generátor náhodných čísel. Ak sa paluba skladá z 36 karty, potom sú príslušné čísla rovnaké 4e41 A 2 138 , t.j. Bez superpočítača sa opäť nezaobídete. V kartovej hre „preferencia“ sa počet možností distribúcie rovná 32!/10! alebo 2 96 , čo tiež nie je málo. Napriek neporovnateľnosti týchto čísel s reálnymi možnosťami 32-bitového procesora je samozrejme potrebné využiť jeho možnosti na maximum, pretože len tak sa priblížite k rozmanitosti reality.

Záver

Na rozdiel od analytických metód, ktoré hľadajú riešenia vo forme série vlastných funkcií, metódy Monte Carlo hľadajú riešenia vo forme štatistických súčtov. Na ich použitie postačuje popis pravdepodobnostného procesu a nie je potrebná jeho formulácia vo forme integrálnej rovnice; odhad chýb je extrémne jednoduchý, ich presnosť slabo závisí od rozmeru priestoru. Presvedčili sme sa o tom vykonaním experimentov na vyriešenie dvoch jednoduchých problémov. Experimentálne výsledky ukázali svoju presnosť, preto sa pomocou metódy Monte Carlo rieši mnoho zložitých problémov, ktoré je veľmi ťažké alebo nemožné vyriešiť inými metódami.

Problémy riešené metódou Monte Carlo: výpočet systému radenia; výpočet kvality a spoľahlivosti produktu; teória prenosu správ; výpočet určitého integrálu; problémy výpočtovej matematiky; problémy neutrónovej fyziky; modelovanie diskrétnych a spojitých náhodných premenných; modelovanie náhodných procesov a polí; výpočty viacrozmerných integrálov a iné.

Bibliografia

I. M. Sobol „Metóda Monte Carlo“, M., 1985

Internetový zdroj „Pozadie a definícia metódy Monte Carlo“ /GIS/Learning/Monte-Carlo_2/Page01.htm

/~gene/probset/prob13.koi8.html

Internetový zdroj „Monte Carlo Method“ /Exponenta_Ru/educat/systemat/boziev/13.asp.htm

Internetový zdroj "Wunderkind" /2001/leto/stend/Vynderkind.htm

Internetový zdroj „Monte Carlo Method“ /docs/TViMS/NP/lekziitv/lekziya17.htm

Dokument

Predchádzajúce kapitoly skutočná práca. Táto úprava umožnila uskutočniť metódaMonte-Carlo viac... 78 až 0,95. Príklad jedno z týchto spojení... bodky (s použitiemetódaMonte-Carlo). Hlavná nevýhoda prvého metóda je nedostatočné...

Potapov Viktor Nikolaevich vývoj rádiometrických systémov a metód pre terénne a diaľkové merania rádioaktívnej kontaminácie

Abstrakt dizertačnej práce

... použitímmetódaMonte-Carlo pre podmienky reálnej geometrie spektrometrického merania. MetódaMonte-Carlo... výpočty. kapitola III. Spektrometrické metódy sú uvedené definície... časť 4.2 príkladypoužitie prístroj na meranie...

Kapitola 11 Ekonometrické informačné technológie

Dokument

Konečný postup je možné vypočítať (viď príklady V kapitola 13). Výsledkom je, že konečný postup nemôže... použitiemetóda scenáre (pozri kapitola 12). Často sa používa pri simulačnom modelovaní metódaštatistické testy ( Monte-Carlo ...

Rôzne metódy a nástroje na určenie parametrov a charakteristík náhodných procesov možno kombinovať do dvoch skupín. Prvú skupinu tvoria prístroje na určenie korelačných funkcií (korelátory), spektrálnych hustôt (spektrometre), matematických očakávaní, disperzií, distribučných zákonov a iných náhodných procesov a veličín.

Všetky zariadenia prvej skupiny možno rozdeliť do dvoch podskupín. Niektoré určujú charakteristiky zaznamenaných náhodných signálov počas pomerne dlhého času, oveľa dlhšieho ako je čas implementácie samotného náhodného procesu. Iné (v poslednej dobe vzbudili najväčší záujem) umožňujú získať charakteristiky náhodného procesu rýchlo, v čase s príjmom informácií počas testovania nových riadiacich systémov v plnom rozsahu, pretože pomocou ich údajov je možné priamo meniť kontrolný proces a pozorovať výsledky týchto zmien počas experimentu.

Druhá skupina obsahuje metódy a nástroje určené na štúdium náhodných procesov a hlavne riadiacich systémov, v ktorých sú prítomné náhodné signály, na univerzálnych digitálnych a analógových počítačoch. Niekedy je pre takýto výskum potrebné vytvoriť špecializované počítače digitálneho, analógového alebo najčastejšie analógovo-digitálneho (hybridného) typu, pretože existujúce štandardné stroje nie sú vhodné na riešenie určitých problémov.

V praxi je široko používaná metóda Monte Carlo (statická testovacia metóda). Jeho hlavná myšlienka je mimoriadne jednoduchá a v podstate pozostáva z matematického modelovania na počítači tých náhodných procesov a transformácií s nimi, ktoré prebiehajú v reálnom riadiacom systéme. Táto metóda je implementovaná hlavne na digitálnych a menej často analógových počítačoch.

Možno tvrdiť, že metóda Monte Carlo zostáva čistou metódou na modelovanie náhodných procesov, čistým matematickým experimentom, v určitom zmysle bez obmedzení, ktoré sú vlastné iným metódam. Uvažujme o tejto metóde vo vzťahu k riešeniu rôznych problémov riadenia.

Všeobecná charakteristika metódy Monte Carlo

Ako už bolo naznačené, myšlienka metódy Monte Carlo (alebo metódy štatistického modelovania) je veľmi jednoduchá a spočíva v tom, že v počítači sa vytvorí proces konverzie digitálnych dát podobný skutočnému procesu. Pravdepodobnostné charakteristiky oboch procesov (reálnych aj simulovaných) sa s určitou presnosťou zhodujú.

Predpokladajme, že je potrebné vypočítať matematické očakávanie náhodnej premennej X, ktorá spĺňa určitý distribučný zákon F(x). Na tento účel je v stroji implementovaný snímač náhodného čísla s daným rozložením F(x) a odhad matematického očakávania sa určí pomocou vzorca, ktorý sa dá ľahko naprogramovať:

Každá hodnota náhodnej veličiny x i je v stroji reprezentovaná binárnym číslom, ktoré prichádza z výstupu snímača náhodného čísla do sčítačky. Štatistické modelovanie uvažovaného problému vyžaduje N-násobné opakovanie riešenia.

Pozrime sa na ďalší príklad. Na cieľ sa strieľa desať nezávislých výstrelov. Pravdepodobnosť zásahu pre jeden výstrel je daná a rovná sa p. Je potrebné určiť pravdepodobnosť, že počet zásahov bude párny, t.j. 0, 2, 4, 6, 8, 10. Pravdepodobnosť, že počet prístupov bude 2 000, je:

odkiaľ pochádza požadovaná pravdepodobnosť?

Ak je tento vzorec známy, potom je možné vykonať fyzikálny experiment vypálením niekoľkých dávok (v každej z nich desať) na skutočný cieľ. Ale jednoduchšie je vykonať matematický experiment na počítači nasledovne. Senzor náhodného čísla bude digitálne vysielať hodnotu náhodnej premennej?, ktorá sa riadi zákonom rovnomerného rozdelenia v intervale. Pravdepodobnosť nerovnosti?

Pre objasnenie je vhodné pozrieť sa na obr. 1, na ktorom je celá množina náhodných čísel znázornená ako body segmentu. Pravdepodobnosť náhodnej premennej?, ktorá má rovnomerné rozdelenie v intervale, spadajúca do intervalu (kde) sa rovná dĺžke tohto segmentu, t.j. p. Preto je pri každom simulačnom cykle výsledné číslo? v porovnaní s danou pravdepodobnosťou p. Ak?

Existujú dve oblasti použitia metódy Monte Carlo. Po prvé, študovať na počítačoch také náhodné javy a procesy, ako je prechod elementárnych jadrových častíc (neutrónov, protónov atď.) hmotou, systémy hromadných služieb (telefónna sieť, systém kaderníctva, systém protivzdušnej obrany atď.), spoľahlivosť komplexných systémov, v ktorých zlyhanie prvkov a odstraňovanie porúch sú náhodné procesy, štatistické rozpoznávanie vzorov. Ide o aplikáciu štatistického modelovania na štúdium takzvaných pravdepodobnostných riadiacich systémov.

Táto metóda je široko používaná pri štúdiu diskrétnych riadiacich systémov, kedy sa využívajú kybernetické modely vo forme pravdepodobnostného grafu (napríklad plánovanie siete s?-rozdelením času na vykonávanie práce) alebo pravdepodobnostného automatu.

Ak je dynamika riadiaceho systému opísaná diferenciálnymi alebo diferenčnými rovnicami (prípad deterministických riadiacich systémov) a systém, napríklad uhlový sledovací systém radarovej stanice, je ovplyvnený náhodnými signálmi, potom statické modelovanie tiež umožňuje možné získať potrebné charakteristiky presnosti. V tomto prípade sa úspešne používajú analógové aj digitálne počítače. Vzhľadom na širšie využitie digitálnych strojov v štatistickom modelovaní sa však v tejto časti budeme zaoberať otázkami týkajúcimi sa iba tohto typu strojov.

Druhá oblasť použitia metódy Monte Carlo pokrýva čisto deterministické, prirodzené problémy, napríklad nájdenie hodnôt určitých jednorozmerných a viacrozmerných integrálov. Výhoda tejto metódy v porovnaní s inými numerickými metódami je zrejmá najmä v prípade viacnásobných integrálov.

Pri riešení algebraických rovníc metódou Monte Carlo je počet operácií úmerný počtu rovníc a pri ich riešení deterministickými numerickými metódami je tento počet úmerný tretej mocnine počtu rovníc. Rovnaká približne výhoda zostáva vo všeobecnosti pri vykonávaní rôznych výpočtov s maticami a najmä pri operácii inverzie matice. Treba si uvedomiť, že univerzálne počítače nie sú vhodné na maticové výpočty a metóda Monte Carlo použitá na týchto strojoch len mierne zlepšuje proces riešenia, ale výhody pravdepodobnostného výpočtu sa prejavia najmä pri použití špecializovaných pravdepodobnostných strojov. Hlavnou myšlienkou používanou pri riešení deterministických problémov pomocou metódy Monte Carlo je nahradiť deterministický problém ekvivalentným štatistickým problémom, na ktorý je možné metódu aplikovať. Prirodzene, s takouto náhradou sa namiesto presného riešenia problému získa približné riešenie, ktorého chyba klesá so zvyšujúcim sa počtom testov.

Táto myšlienka sa používa pri diskrétnych optimalizačných problémoch, ktoré vznikajú pri riadení. Tieto problémy často spočívajú v prehľadávaní veľkého počtu možností, počítaných kombinatorickými číslami v tvare N=. Problém distribúcie n typov zdrojov medzi odvetviami pre n>3 teda nemožno presne vyriešiť na existujúcich digitálnych počítačoch (DC) a digitálnych počítačoch blízkej budúcnosti z dôvodu veľkého množstva možností. Veľa takýchto problémov však vzniká v kybernetike, napríklad pri syntéze konečných automatov. Ak umelo zavedieme pravdepodobnostný analógový model, problém sa výrazne zjednoduší, riešenie však bude približné, ale dá sa získať pomocou moderných počítačov v prijateľnom výpočtovom čase.

Pri spracovaní veľkého množstva informácií a správe ultra veľkých systémov, ktoré majú viac ako 100 tisíc komponentov (napríklad druhy prác, priemyselné výrobky a pod.), vyvstáva úloha zväčšovania alebo štandardizácie, t.j. redukcia ultra veľkého poľa na 100- až 1000-krát menšie pole noriem. Dá sa to urobiť pomocou pravdepodobnostného modelu. Predpokladá sa, že každý štandard môže byť realizovaný alebo materializovaný vo forme konkrétneho zástupcu náhodne so zákonom pravdepodobnosti určeným relatívnou frekvenciou výskytu tohto zástupcu. Namiesto pôvodného deterministického systému sa zavádza ekvivalentný pravdepodobnostný model, ktorý sa ľahšie vypočíta. Vytvorením referenčných vzorov je možné postaviť viacero úrovní. Všetky tieto pravdepodobnostné modely úspešne využívajú metódu Monte Carlo. Je zrejmé, že úspešnosť a presnosť štatistického modelovania závisí najmä od kvality postupnosti náhodných čísel a výberu optimálneho modelovacieho algoritmu.

Úloha získavania náhodných čísel je zvyčajne rozdelená na dve časti. Najprv sa získa postupnosť náhodných čísel, ktoré majú rovnomerné rozdelenie v intervale. Potom sa z nej získa postupnosť náhodných čísel s ľubovoľným zákonom rozdelenia. Jedným zo spôsobov, ako to dosiahnuť, je použiť nelineárne transformácie. Nech existuje náhodná premenná X, ktorej funkcia rozdelenia pravdepodobnosti

Ak je y funkciou x, t.j. y=F(x), potom tak. Na získanie postupnosti náhodných čísel s danou distribučnou funkciou F(x) je teda potrebné každé číslo y z výstupu snímača náhodných čísel, ktorý generuje čísla so zákonom rovnomerného rozdelenia v intervale , odovzdať nelineárne zariadenie (analógové alebo digitálne), v ktorom je implementovaná funkcia inverzná k F(x), t.j.

Takto získaná náhodná premenná X bude mať distribučnú funkciu F(x). Vyššie diskutovaný postup možno použiť na grafickú metódu získavania náhodných čísel, ktoré majú daný zákon rozdelenia. Na to sa zostrojí funkcia F(x) na milimetrový papier a do úvahy sa zavedie ďalšia náhodná premenná Y, ktorá súvisí s náhodnou premennou X vzťahom (2) (obr. 2).

Pretože každá distribučná funkcia je monotónne neklesajúca, potom

Z toho vyplýva, že hodnota Y má v intervale zákon rovnomerného rozdelenia, keďže jej distribučná funkcia sa rovná samotnej hodnote

Funkcia hustoty pravdepodobnosti pre Y

Na získanie hodnoty X sa z tabuliek náhodných čísel, ktoré majú rovnomerné rozdelenie, vyberie číslo, ktoré sa vynesie na súradnicovú os (obr. 2) a na vodorovnú os sa prečíta príslušné číslo X. Zopakovaním tohto postupu niekoľkokrát získame množinu náhodných čísel s distribučným zákonom F( x). Hlavným problémom je teda získať náhodné čísla rovnomerne rozložené v intervale. Jednou z metód, ktorá sa používa vo fyzikálnej metóde získavania náhodných čísel pre počítač, je vytvorenie diskrétnej náhodnej premennej, ktorá môže nadobúdať iba dve hodnoty: 0 alebo 1 s pravdepodobnosťou.

Môžete dokázať, že ide o náhodnú premennú? * , obsiahnutý v intervale, má zákon rovnomerného rozdelenia

Digitálny počítač má konečný počet bitov k. Preto maximálny počet čísel, ktoré sa navzájom nezhodujú, je 2k. V tomto smere je možné v stroji implementovať diskrétnu množinu náhodných čísel, t.j. konečná množina čísel, ktoré majú zákon rovnomerného rozdelenia. Toto rozdelenie sa nazýva kvázi rovnomerné. Možné hodnoty pre implementáciu diskrétneho pseudonáhodného čísla v počítači s k bitmi budú mať tvar:

Pravdepodobnosť každej hodnoty (3) je 2 -k. Tieto hodnoty je možné získať nasledovne

Náhodná premenná má matematické očakávanie

Zvažujem to

a výraz pre konečný súčet geometrickej postupnosti

dostaneme:

Podobne môžete určiť rozptyl množstva:

alebo pomocou vzorca (4) dostaneme:

Podľa vzorca (5) sa odhad množstva?* ukáže ako skreslený pre konečné k. Tento posun je badateľný najmä pri malých k. Preto namiesto zavedenia odhadu

Zjavne náhodná premenná? v súlade so vzťahom (3) môže nadobudnúť hodnoty

I=0,1,2,…, 2k-1

s pravdepodobnosťou p=1/2 k.

Matematické očakávanie a rozptyl veličiny? možno získať zo vzťahov (5) a (6), berúc do úvahy (7). naozaj,

Odtiaľ dostaneme výraz pre strednú odmocninu vo forme

Pripomeňme, že pre hodnotu x rovnomerne rozloženú v intervale máme

Zo vzorca (8) vyplýva, že keď smerodajná odchýlka? kvázi-uniformná populácia má tendenciu. Nižšie sú uvedené hodnoty pomeru stredných kvadratických hodnôt dvoch veličín? a? v závislosti od počtu číslic a veľkosti? má rovnomerné rozloženie v intervale (tab. 1).

stôl 1

Od stola 1 ukazuje, že pre k>10 je rozdiel v rozptyloch nevýznamný.

Na základe vyššie uvedeného sa úloha získania množiny kvázi-uniformných čísel redukuje na získanie postupnosti nezávislých náhodných premenných z i (i=1,2,…, k), z ktorých každá má s pravdepodobnosťou hodnotu 0 alebo 1 1/2. Sú dva spôsoby, ako získať súhrn týchto veličín: fyzikálna metóda generovania a algoritmické generovanie takzvaných pseudonáhodných čísel. V prvom prípade je potrebná špeciálna elektronická príloha k digitálnemu počítaču, v druhom prípade sa načítajú bloky stroja.

Fyzické generovanie najčastejšie využíva rádioaktívne zdroje alebo hlučné elektronické zariadenia. V prvom prípade rádioaktívne častice emitované zdrojom vstupujú do počítadla častíc. Ak je údaj počítadla párny, potom z i = 1, ak je nepárny, potom z i = 0. Určme pravdepodobnosť, že z i =1. Počet častíc k, ktoré sú emitované za čas?t, sa riadi Poissonovým zákonom:

Pravdepodobnosť párneho počtu častíc

Pre veľké t je teda pravdepodobnosť P(Z i =1) blízka 1/2.

Druhý spôsob získavania náhodných čísel z i je pohodlnejší a je spojený s vnútorným šumom elektrónok. Keď sa tento šum zosilní, získa sa napätie u(t), čo je náhodný proces. Ak vezmeme jeho hodnoty od seba dostatočne vzdialené tak, aby boli nekorelované, potom hodnoty u(t i) tvoria postupnosť nezávislých náhodných premenných. Typicky sa volí a predpokladá medzná úroveň a

a úroveň a by sa mala zvoliť tak, aby

Používa sa aj zložitejšia logika na generovanie čísel z i. V prvej možnosti sa použijú dve susedné hodnoty u(t i) a u(t i+1) a hodnota Z i sa vytvorí podľa nasledujúceho pravidla:

Ak dvojica u(t i) - a a u(t i+1) - a má rovnaké znamienko, potom sa berie ďalšia dvojica. Je potrebné určiť pravdepodobnosť vzhľadom na danú logiku. Budeme predpokladať, že P (u(t i)>a)=W a konštantné pre všetky t i . Potom sa pravdepodobnosť udalosti rovná podľa vzorca udalosti A 1 H v . Tu Hv je pravdepodobnosť, že sa pár rovnakého znamienka objaví v-krát

u(ti) - a; u(t i+1) - a. (9)

Preto pravdepodobnosť udalosti A 1 H v

P(AiHv)=W(1-W)v.

Toto je pravdepodobnosť, že po v pároch tvaru (9) nastala udalosť A 1 . Môže sa objaviť okamžite s pravdepodobnosťou W (1-W), môže sa objaviť aj po jednom páre tvaru (9) s pravdepodobnosťou

W (1-W)

atď. Ako výsledok

Z toho vyplýva, že ak W=konšt., potom logika poskytuje dobrú postupnosť náhodných čísel. Druhý spôsob generovania čísel zi je nasledujúci:

W=P (u(ti)>a)=1/2+?.

P(Zi=l)=2W(l-W)=l/2-2? 2.

Čím menšia?, tým je pravdepodobnosť P(Z i =1) bližšie k hodnote 1/2.

Bolo vyvinutých veľké množstvo metód na získavanie náhodných čísel algoritmicky pomocou špeciálnych programov v počítači. Keďže na digitálnom počítači nie je možné získať ideálnu postupnosť náhodných čísel, už len preto, že je možné zadať konečnú množinu čísel, takéto postupnosti sa nazývajú pseudonáhodné. V skutočnosti sa opakovateľnosť alebo periodicita v sekvencii pseudonáhodných čísel vyskytuje oveľa skôr a je určená špecifikami algoritmu na získanie náhodných čísel. Presné analytické metódy na určenie periodicity spravidla chýbajú a perióda sekvencie pseudonáhodných čísel sa určuje experimentálne na digitálnom počítači. Väčšina algoritmov sa získava heuristicky a spresňuje sa počas experimentálneho testovania. Našu úvahu začnime takzvanou metódou skrátenia. Nech je daná ľubovoľná náhodná premenná u, meniaca sa v intervale, t.j. . Vytvorme z neho ďalšiu náhodnú premennú

u n =u , (10)

kde u sa používa na definovanie operácie získania zvyšku, keď je číslo u delené 2 -n. Dá sa dokázať, že hodnoty u n v limite at majú rovnomerné rozdelenie v intervale .

V podstate pomocou vzorca (10) je pôvodné číslo skrátené z najvýznamnejších číslic. Pri opustení vzdialených číslic nízkeho rádu sa vzor v číslach prirodzene eliminuje a sú bližšie k náhodnému. Pozrime sa na to na príklade.

Príklad 1. Nech u = 0,10011101… = 1?1/2 + 0?1/2 2 + 0?1/2 3 + 1?1/2 4 + 1?1/2 5 + 1?1/2 6 + 0? 1/2 7 + 1? 1/2 8 + …

Pre jednoduchosť zvolíme n=4. Potom (u mod 2 -4) = 0,1101...

Z uvažovanej vlastnosti je zrejmé, že existuje veľké množstvo algoritmov na získanie pseudonáhodných čísel. V tomto prípade sa po operácii skrátenia na časti nižších číslic použije štandardný postup normalizácie čísla v digitálnom počítači. Takže, ak sa číslo skrátené vľavo nezmestí do dĺžky stroja, potom sa číslo odreže vpravo.

Pri kontrole kvality pseudonáhodných čísel človeka zaujíma predovšetkým dĺžka segmentu aperiodicity a dĺžka periódy (obr. 3). Pod dĺžkou segmentu aperiodicity L sa rozumie množina postupne získaných náhodných čísel? 1, …, ? L takto? ja j, ale? L+1 sa rovná jednej z? k().

Dĺžka periódy postupnosti pseudonáhodných čísel sa chápe ako T=L-i+1. Počnúc od nejakého čísla i sa budú čísla periodicky opakovať s touto bodkou (obr. 3).

Tieto dva parametre (aperiodicita a dĺžky periód) sa spravidla stanovujú experimentálne. Kvalita zhody medzi zákonom o rozdelení náhodných čísel a jednotným zákonom sa kontroluje pomocou kritérií dobrej zhody.

Presnosť metódy Monte Carlo

Metóda Monte Carlo sa používa tam, kde nie je potrebná vysoká presnosť. Napríklad, ak sa určí pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa počas streľby, potom je rozdiel medzi p 1 = 0,8 a p 2 = 0,805 nevýznamný. Zvyčajne sa predpokladá, že metóda Monte Carlo umožňuje získať presnosť približne 0,01-0,05 maximálnej hodnoty určenej hodnoty.

Zoberme si nejaké funkčné vzorce. Pomocou metódy Monte Carlo určíme pravdepodobnosť, že systém bude v určitom stave. Táto pravdepodobnosť sa odhaduje pomerom

kde M je počet, koľkokrát je systém v tomto stave v dôsledku N simulácií. Berúc do úvahy výraz pre rozptyl hodnoty M/N

a Čebyševova nerovnosť

Rozsah

nie je nič iné ako chyba simulácie Monte Carlo. Pomocou vzorca (11) môžete napísať nasledujúci vzorec pre množstvo (12):

kde p 0 je pravdepodobnosť nesplnenia tohto odhadu. Pomocou frekvencie M/N možno získať odhad matematického očakávania m x nejakej náhodnej premennej X. Chyba tohto odhadu

sa nachádza pomocou vzťahu

Z toho vidno, že chyba modelovania je kvadraticky závislá od počtu implementácií, t.j.

Príklad 2. Predpokladajme, že je určené matematické očakávanie chyby x zasiahnutia cieľa. Proces streľby a úderu je simulovaný na digitálnom počítači metódou Monte Carlo. Potrebujete presné modelovanie? = 0,1 m s pravdepodobnosťou p = 1-p 0 = 0,9 pre danú disperziu? x = 1 m. Je potrebné určiť počet simulácií N. Pomocou vzorca (13) získame:

Pri takomto počte implementácií je zaistené?=0,1 m s pravdepodobnosťou p=0,9.