Je dané matematické očakávanie a=3 a štandardná odchýlka =5 normálne rozloženej náhodnej premennej X.

Napíšte hustotu rozdelenia pravdepodobnosti a schematicky ju znázornite.

Nájdite pravdepodobnosť, že x nadobudne hodnotu z intervalu (2;10).

Nájdite pravdepodobnosť, že x bude mať hodnotu väčšiu ako 10.

Nájdite interval symetrický vzhľadom na matematické očakávanie, v ktorom budú hodnoty veličiny x obsiahnuté s pravdepodobnosťou =0,95.

1). Zostavme funkciu hustoty rozdelenia náhodnej premennej X s parametrami а=3, =5 pomocou vzorca

. Zostrojme schematický graf funkcie
. Venujme pozornosť skutočnosti, že normálna krivka je symetrická vzhľadom na priamku x = 3 a má v tomto bode max.
, t.j.
a dva inflexné body
s ordinátom

Zostavme si graf

2) Použime vzorec:

Hodnoty funkcií nájdete v tabuľke aplikácií.

4) Použime vzorec
. Podľa podmienky pravdepodobnosť pádu do intervalu symetrického vzhľadom na matematické očakávanie
. Pomocou tabuľky zistíme t, pri ktorom Ф(t)=0,475, t=2. Prostriedky
. teda
. Odpoveď je x(-1;7).

K problémom 31-40.

Nájdite interval spoľahlivosti pre odhad so spoľahlivosťou 0,95 neznámeho matematického očakávania a normálne rozloženej charakteristiky X všeobecnej populácie, ak je všeobecná smerodajná odchýlka =5, výberový priemer
a veľkosť vzorky n=25.

Musíme nájsť interval spoľahlivosti
.

Všetky množstvá okrem t sú známe. Nájdite t z pomeru Ф(t)=0,95/2=0,475. Pomocou tabuľky v prílohe zistíme t=1,96. Nahradením nakoniec dostaneme požadovaný interval spoľahlivosti 12,04

K problémom 41-50.

Oddelenie technickej kontroly skontrolovalo 200 šarží identických výrobkov a dostalo nasledovné empirické rozdelenie, frekvencia n i - počet šarží obsahujúcich x i neštandardných výrobkov Na hladine významnosti 0,05 je potrebné otestovať hypotézu, že počet neštandardné produkty X sa distribuuje podľa Poissonovho zákona.

Poďme nájsť vzorový priemer:

Vezmime výberový priemer =0,6 ako odhad parametra  Poissonovho rozdelenia. Preto sa predpokladá Poissonov zákon
vyzerá ako
.

Nastavením i=0,1,2,3,4 nájdeme pravdepodobnosti P i výskytu i neštandardných produktov v 200 šaržiach:
,
,
,
,
.

Nájdite teoretické frekvencie pomocou vzorca
. Nahradením hodnôt pravdepodobnosti do tohto vzorca dostaneme
,
,
,
,
.

Porovnajme empirické a teoretické frekvencie pomocou Pearsonovho testu. Na tento účel vytvoríme tabuľku výpočtu. Skombinujme malé frekvencie (4+2=6) a zodpovedajúce teoretické frekvencie (3,96+0,6=4,56).

V praxi sa väčšina náhodných premenných, ktoré sú ovplyvnené veľkým počtom náhodných faktorov, riadi zákonom normálneho rozdelenia pravdepodobnosti. Preto v rôznych aplikáciách teórie pravdepodobnosti má tento zákon mimoriadny význam.

Náhodná premenná $X$ sa riadi zákonom normálneho rozdelenia pravdepodobnosti, ak má hustota jej rozdelenia pravdepodobnosti nasledujúci tvar

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

Graf funkcie $f\left(x\right)$ je schematicky znázornený na obrázku a nazýva sa „Gaussova krivka“. Napravo od tohto grafu je nemecká 10-marková bankovka, ktorá sa používala pred zavedením eura. Ak sa pozriete pozorne, môžete na tejto bankovke vidieť Gaussovu krivku a jej objaviteľa, najväčšieho matematika Carla Friedricha Gaussa.

Vráťme sa k našej funkcii hustoty $f\left(x\right)$ a uveďme niekoľko vysvetlení týkajúcich sa distribučných parametrov $a,\ (\sigma )^2$. Parameter $a$ charakterizuje stred rozptylu hodnôt náhodnej premennej, to znamená, že má význam matematického očakávania. Keď sa zmení parameter $a$ a parameter $(\sigma )^2$ zostane nezmenený, môžeme pozorovať posun v grafe funkcie $f\left(x\right)$ pozdĺž úsečky, zatiaľ čo graf hustoty sám nemení svoj tvar.

Parameter $(\sigma )^2$ je rozptyl a charakterizuje tvar krivky grafu hustoty $f\left(x\right)$. Pri zmene parametra $(\sigma )^2$ s nezmeneným parametrom $a$ môžeme pozorovať, ako graf hustoty mení svoj tvar, stláča sa alebo naťahuje, bez toho, aby sa pohyboval pozdĺž osi x.

Pravdepodobnosť normálne rozloženej náhodnej premennej spadajúcej do daného intervalu

Ako je známe, pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ spadne do intervalu $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, sa dá vypočítať $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\vľavo(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Tu je funkcia $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ Laplaceova funkcia. Hodnoty tejto funkcie sú prevzaté z . Možno si všimnúť nasledujúce vlastnosti funkcie $\Phi \left(x\right)$.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, čiže funkcia $\Phi \left(x\right)$ je nepárna.

2 . $\Phi \left(x\right)$ je monotónne rastúca funkcia.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ vľavo(x\vpravo)\ )=-0,5 $.

Na výpočet hodnôt funkcie $\Phi \left(x\right)$ môžete použiť aj sprievodcu funkciou $f_x$ v Exceli: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\vpravo )-0,5$. Napríklad vypočítajme hodnoty funkcie $\Phi \left(x\right)$ pre $x=2$.

Pravdepodobnosť normálne rozloženej náhodnej premennej $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ spadajúcej do intervalu symetrického vzhľadom na matematické očakávanie $a$ možno vypočítať pomocou vzorca

$$P\vľavo(\vľavo|X-a\vpravo|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Pravidlo troch sigma. Je takmer isté, že normálne rozdelená náhodná premenná $X$ bude spadať do intervalu $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

Príklad 1 . Náhodná premenná $X$ podlieha zákonu normálneho rozdelenia pravdepodobnosti s parametrami $a=2,\ \sigma =3$. Nájdite pravdepodobnosť, že $X$ spadne do intervalu $\left(0,5;1\right)$ a pravdepodobnosť splnenia nerovnosti $\left|X-a\right|< 0,2$.

Pomocou vzorca

$$P\vľavo(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

nájdeme $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ over (3) - 0,129 = 0,062 USD.

$$P\vľavo(\vľavo|X-a\vpravo|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Príklad 2 . Predpokladajme, že počas roka je cena akcií určitej spoločnosti náhodnou veličinou rozloženou podľa bežného zákona s matematickým očakávaním rovným 50 konvenčným peňažným jednotkám a štandardnou odchýlkou ​​rovnou 10. Aká je pravdepodobnosť, že na náhodne vybranom v deň prejednávaného obdobia bude cena za akciu:

a) viac ako 70 konvenčných peňažných jednotiek?

b) menej ako 50 na akciu?

c) medzi 45 a 58 konvenčnými peňažnými jednotkami na akciu?

Nech je náhodná premenná $X$ cena akcií nejakej spoločnosti. Podľa podmienky $X$ podlieha normálnemu rozdeleniu s parametrami $a=50$ - matematické očakávanie, $\sigma =10$ - štandardná odchýlka. Pravdepodobnosť $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\vľavo(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ viac ako (10)\vpravo)=0,5-\Phi \ľavo(2\vpravo)=0,5-0,4772=0,0228,$$

$$b)\P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\vľavo(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Príklad 1 Matematické očakávanie normálne rozloženého spojitého SV X M(X) = 6 a štandardná odchýlka s( X) = 2.

Nájdite: 1) pravdepodobnosť dosiahnutia hodnôt SV X v intervale (2; 9);

3) interval symetrický vzhľadom na a X s pravdepodobnosťou g = 0,9642.

Riešenie. 1) Nájdite pravdepodobnosť dosiahnutia hodnôt SV X do intervalu (2; 9).

Hodnoty Laplaceovej funkcie prevzaté zo stola. Zvláštnosť funkcie Ф(– X) = – Ф( X).

2) Určte pravdepodobnosť

Pretože a = M(X) = 6 a s = s( X) = 2 teda

3) Nájdite interval, ktorý je symetrický vzhľadom na a, ktorý obsahuje hodnoty SV X s pravdepodobnosťou g = 0,9642.

Z tabuľky hodnôt Laplaceovej funkcie zistíme, že d = 4,2. Potom je interval –4,2< X – 6 < 4,2 и
1,8 < X < 10,2.

Príklad 2 Náhodná hodnota T(hodiny) – doba prevádzky zariadenia má exponenciálne rozdelenie. Nájdite pravdepodobnosť, že zariadenie bude fungovať bez opravy minimálne 600 hodín, ak je priemerná doba bezporuchovej prevádzky zariadení tohto typu 400 hodín.

Riešenie. M(T) = 400 hodín, teda podľa vzorca (1.46) Keďže pre exponenciálne rozdelenie To
0,2233.

Príklad 3 Náhodná hodnota X rovnomerne rozložené na segmente [ a, b]. Nájdite pravdepodobnosť, že narazíte na náhodnú premennú X pre segment
, úplne obsiahnuté v segmente [ a, b].

Riešenie. Použime vzorec kde je hustota pravdepodobnosti

.

Teda

Príklad 4. Elektrické vlaky jazdia presne podľa plánu v intervaloch
20 minút. Nájdite pravdepodobnosť, že cestujúci prichádzajúci na nástupište bude čakať na ďalší elektrický vlak viac ako 10 minút, ako aj priemerný čas čakania.

Riešenie. X– čas čakania (min.) na elektrický vlak možno považovať za rovnomerne rozloženú náhodnú premennú s hustotou:

a to je priemerná doba čakania na elektrický vlak.

Príklad 5. Stroj vyrába puzdrá. Puzdro sa považuje za vhodné, ak odchýlka X jeho priemer od konštrukčnej veľkosti v absolútnej hodnote je menší ako 1 mm. Za predpokladu, že náhodná premenná X normálne rozdelené so štandardnou odchýlkou ​​s = 0,5 mm a matematickým očakávaním a= 0, zistite, koľko vhodných puzdier bude medzi 100 vyrobenými, ako aj pravdepodobnosť, že odchýlka od konštrukčného rozmeru nebude menšia ako 0,4 mm a väčšia ako 0,8 mm.

Riešenie. Použime vzorec () pri d = 1, s = 0,5 a a = 0.

Z toho vyplýva, že vyhovujúcich bude približne 95 puzdier zo 100.

Na zistenie pravdepodobnosti, že odchýlka od konštrukčnej veľkosti nebude menšia ako 0,4 mm a väčšia ako 0,8 mm, použijeme vzorec (1,54)

pri a= 0, s = 0,5, a = 0,4, b = 0,8.

Hodnoty funkcie Ф( X) zistíme z tabuľky.

Možnosti úloh

MOŽNOSŤ 1

X (CB X) je daný distribučným radom:

x i
p i	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

F(X M(X), rozptyl D(XX), móda M 0 (X); 3) pravdepodobnosť P(8≤ X < 30). Построить многоугольник распределения и график F(X).

Úloha 2. Každý strelec strieľa na cieľ raz. Pravdepodobnosť, že prvý, druhý a tretí strelec zasiahne terč jednou ranou, sa rovná 0,8; 0,6 a 0,9. Pre
CB X– celkový počet zásahov do cieľa za stanovených podmienok, zostaviť distribučnú sériu a nájsť F(X), M(X), s( X) A D(X).

Úloha 3. Pravdepodobnosť výskytu nejakej udalosti A v každom experimente je 0,6. Vyžaduje sa: 1) zostaviť sériu diskrétnych distribúcií CB X– počet výskytov udalosti A v štyroch nezávislých experimentoch; 2) odhadnite pravdepodobnosť, že v sérii 80 nezávislých experimentov sa táto udalosť objaví aspoň 60-krát.

Problém 4. Diskrétne CB X dané distribučnou sériou:

x i	–2	–1
p i	0,05	0,10	0,15	?	0,15	0,20	0,10

Nájdite distribučné série CB Y = –2X 2 + 3, M(Y) A D(Y).

Problém 5. Priebežný CB X

Nájdite: a) hustotu rozdelenia f(X); b) M(X); V) d) pravdepodobnosť, že v troch nezávislých pokusoch CB X bude nadobúdať hodnoty patriace do intervalu presne dvakrát

Úloha 6. Daná funkcia

A CB X. Nájsť F(X), M(X) A D(X). Zostavte graf F(X).

Problém 7. Daný M(X) = 14 a s( X NE X. Nájsť:

1) pravdepodobnosť ;

2) pravdepodobnosť ;

3) relatívne symetrické a CB X s pravdepodobnosťou g = 0,8385.

Úloha 8. Stupnica stopiek má hodnotu delenia 0,2 s. Čas sa počíta na najbližší celý dielik, zaokrúhľuje sa na najbližší bod. Chybu počítania za špecifikovaných podmienok možno považovať za rovnomerne rozloženú náhodnú premennú.

Nájdite pravdepodobnosť načasovania pomocou týchto stopiek s chybou a) menšou ako 0,05 s; b) nie menej ako 0,01 s a nie viac ako 0,05 s.

MOŽNOSŤ 2

Úloha 1. Diskrétna náhodná premenná X (CB X) je daný distribučným radom:

x i	–2	–1
p i	0,2	0,2	0,1	0,3	0,2

Nájdite: 1) distribučnú funkciu F(X); 2) numerické charakteristiky: matematické očakávanie M(X), rozptyl D(X), smerodajná odchýlka s( X), móda M 0 (X); 3) pravdepodobnosť P(–2≤ X < 5). Построить многоугольник распределения и график F(X).

Úloha 2. V lotérii je 100 tiketov, z toho 10 výherných. Niekto si kúpi 4 lístky. Pre SV X– počet výherných tiketov medzi tými, ktoré sa zakúpia, vytvorte distribučnú sériu a nájdite F(X), M(X), s( X).

Úloha 3. Správy sa zostavujú nezávisle od seba. Pravdepodobnosť chyby pri príprave každej správy je 0,3. Vyžaduje sa: 1) zostaviť distribučnú sériu CB X – počet správ s chybami spomedzi štyroch zostavených; vypočítať M(X), D(X) a s( X); 2) odhadnúť pravdepodobnosť, že pri zostavení 50 správ bude 20 správ s chybami.

Úloha 4. Je známe, že diskrétne CB X môže nadobudnúť iba dve hodnoty X 1 = -2 a X 2 = 3 a jeho matematické očakávanie M(X) = 1,5. Zostavte distribučnú sériu CB X A CB Z= Nájsť F(z) a s( Z).

Problém 5. Priebežný CB X daný distribučnou funkciou

f(X); 2) M(X) A D(X);
3) 4) pravdepodobnosť, že v troch nezávislých pokusoch CB X práve raz nadobudne hodnotu patriacu do intervalu (1; 4).

Úloha 6. Daná funkcia

Definujte hodnotu parametra A, pri ktorej táto funkcia udáva hustotu rozdelenia pravdepodobnosti nejakého spojitého CB X. Nájsť F(X), M(X), D(X). Zostavte graf F(X).

Problém 7. Daný M(X) = 12 a s( X NE X. Nájsť:

1) pravdepodobnosť ;

2) pravdepodobnosť ;

3) relatívne symetrické a interval, v ktorom hodnoty spadajú CB X s pravdepodobnosťou g = 0,4515.

Úloha 8. Chyba náhodného merania určitej časti podlieha normálnemu zákonu s parametrom s = 20 mm. Nájdite pravdepodobnosť, že: a) diel bol nameraný s chybou nepresahujúcou 22 mm v absolútnej hodnote; b) v žiadnom z dvoch vykonaných meraní nepresiahne chyba v absolútnej hodnote 22 mm.

MOŽNOSŤ 3

Úloha 1. Diskrétna náhodná premenná X (CB X) je daný distribučným radom:

x i
p i	0,3	0,1	0,1	0,4	0,1

Nájdite: 1) distribučnú funkciu F(X); 2) numerické charakteristiky: matematické očakávanie M(X), rozptyl D(X), smerodajná odchýlka s( X), móda M 0 (X); 3) pravdepodobnosť P(1≤ X < 7). Построить многоугольник распределения и график F(X).

Úloha 2. Z troch pretekárov zaradených do reprezentačného družstva mládeže na súťaži skokov do výšky môže jeden absolvovať kvalifikované štarty s pravdepodobnosťou 0,9, druhý s pravdepodobnosťou 0,8 a tretí s pravdepodobnosťou 0,6. Pre CB X– počet tímových športovcov, ktorí postúpia do ďalšieho kola súťaží, vytvoria rozdeľovaciu sériu a nájdu M(X), s( X).

Úloha 3. Na cieľ sa vypáli séria nezávislých výstrelov. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri každom výstrele je 0,8. Vyžaduje sa: 1) zostaviť distribučnú sériu CB X – počet zásahov pri troch výstreloch; 2) odhadnite pravdepodobnosť, že pri 100 výstreloch bude aspoň 90 zásahov.

Úloha 4. Diskrétna náhodná premenná X (CB X) je daný distribučným radom:

x i	–3	–2	–1
p i	0,1	0,2	0,3	0,2	?

Funkcia hľadania série a distribúcie CB Y = 2X + 1, M(Y) A D(Y).

Problém 5. Priebežný CB X daný distribučnou funkciou

Nájdite: 1) hustotu distribúcie f(X); 2) M(X) A D(X);
3) P(–2,3 < X <1,5);4) вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X presne dvakrát nadobudne hodnoty patriace do intervalu (–2,3; 1,5).

Úloha 6. Daná funkcia

Definujte hodnotu parametra A, pri ktorej táto funkcia udáva hustotu rozdelenia pravdepodobnosti nejakého spojitého CB X. Nájsť F(X), A M(X). Zostavte graf F(X).

Problém 7. Daný M(X) = 13 a s( X NE X. Nájsť:

1) pravdepodobnosť ;

2) pravdepodobnosť ;

3) relatívne symetrické a interval, v ktorom hodnoty spadajú CB X s pravdepodobnosťou g = 0,9973.

Problém 8. Je známe, že čas opravy TV je náhodná veličina X, distribuovaný podľa exponenciálneho zákona, pričom priemerná doba opravy televízora je dva týždne. Nájdite pravdepodobnosť, že oprava televízora prineseného do dielne bude trvať: a) menej ako 10 dní; b) od 9 do 12 dní.

MOŽNOSŤ 4

Úloha 1. Diskrétna náhodná premenná X (CB X) je daný distribučným radom:

x i	–10	–5
p i	0,1	0,1	0,4	0,1	0,3

Nájdite: 1) distribučnú funkciu F(X); 2) numerické charakteristiky: matematické očakávanie M(X), rozptyl D(X), smerodajná odchýlka s( X), móda M 0 (X); 3) pravdepodobnosť P(–10≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(X).

Úloha 2. Obsluha má 5 rôznych kľúčov od rôznych miestností. Náhodne vytiahne kľúč a pokúsi sa otvoriť dvere jednej z izieb. Pre diskrétne CB X– počet pokusov o otvorenie dverí (skontrolovaný kľúč sa nepoužije druhýkrát), zostavenie distribučnej série a nájdenie F(X) A M(X).

Úloha 3. Pravdepodobnosť výroby dielu s danými parametrami presnosti zo štandardného obrobku pre každý diel je 0,8.

Vyžaduje sa: 1) zostaviť distribučnú sériu CB X– počet častí s danými charakteristikami presnosti, ktoré budú vyrobené z piatich štandardných prírezov; 2) odhadnúť pravdepodobnosť, že z 90 polotovarov sa vyrobí 70 dielov s danými charakteristikami presnosti.

CB X A Y:

x i
p i	?	0,5	0,2

y i
p i	0,6	?

Vytvorte distribučnú sériu CB Z = Y – X. Nájsť M(Z) A D(Z).

Problém 5. Priebežný CB X daný distribučnou funkciou

Nájdite: 1) hustotu distribúcie f(X); 2) M(X); 3) CB X nadobudne hodnoty patriace do intervalu presne trikrát

Úloha 6. Daná funkcia

Definujte hodnotu parametra A, pri ktorej táto funkcia udáva hustotu rozdelenia pravdepodobnosti nejakého spojitého CB X. Nájsť F(X), M(X) A D(X). Zostavte graf F(X).

Problém 7. Daný M(X) = 16 a s( X) = 2 normálne rozdelené spojité NE X. Nájsť:

1) pravdepodobnosť ;

2) pravdepodobnosť ;

3) relatívne symetrické a interval, v ktorom hodnoty spadajú CB X s pravdepodobnosťou g = 0,9281.

Úloha 8. Výška dospelého muža je SV X, rozdelené podľa normálneho zákona s parametrami A= 175 cm a s = 10 cm Nájdite pravdepodobnosť, že výška náhodne vybraného muža bude: a) menšia ako 180 cm; b) najmenej 170 cm a najviac 175 cm.

MOŽNOSŤ 5

Úloha 1. Diskrétna náhodná premenná X (CB X) je daný distribučným radom:

x i
p i	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1

Nájdite: 1) distribučnú funkciu F(X); 2) numerické charakteristiky: matematické očakávanie M(X), rozptyl D(X), smerodajná odchýlka s( X), móda M 0 (X); 3) pravdepodobnosť P(40≤ X < 80). Построить многоугольник распределения и график F(X).

Úloha 2. Terč sa skladá z kruhu a dvoch sústredných prstencov. Úder do kruhu má hodnotu 6 bodov, prsteň 2 má hodnotu 4 body a prsteň 3 má hodnotu dva body. Pravdepodobnosť vstupu do kruhu a krúžkov 2 a 3 je 0,2; 0,3 a 0,5. Pre diskrétne SV X– súčet bodov vyradených v dôsledku troch zásahov, zostavte distribučnú sériu a nájdite F(X), M(X), s( X).

Úloha 3. Automatická linka pozostáva z n samostatne pracujúce stroje rovnakého typu. Pravdepodobnosť, že stroj bude vyžadovať nastavenie počas zmeny pre každý stroj, je 0,3. Vyžaduje sa: 1) zostaviť distribučnú sériu CB X– počet strojov, ktoré budú vyžadovať úpravu počas zmeny, ak n= 4; 2) odhadnúť pravdepodobnosť, že 20 strojov bude vyžadovať úpravu za zmenu, ak n = 100.

Úloha 4. Spoločné rozdelenie diskrétnych CB X A Y dané tabuľkou:

Y X
	0,20	0,15	0,10
	0,30	0,20	0,05

Vytvorte distribučný zákon CB Z = Y + X. Nájsť M(Z) A D(Z).

Problém 5. Priebežný CB X daný distribučnou funkciou

Nájdite: 1) hustotu distribúcie f(X); 2) M(X) A D(X);
3) P(3 < X < 9); 4) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях CB X presne dvakrát nadobudne hodnoty patriace do intervalu (3; 9).

Úloha 6. Daná funkcia

Definujte hodnotu parametra A, pri ktorej táto funkcia udáva hustotu rozdelenia pravdepodobnosti nejakého spojitého CB X. Nájsť F(X), M(X). Zostavte graf F(X).

Problém 7. Daný M(X) = 10 a s( X) = 4 normálne rozdelené spojité NE X. Nájsť:

1) pravdepodobnosť ;

2) pravdepodobnosť ;

3) relatívne symetrické a interval, v ktorom hodnoty spadajú CB X s pravdepodobnosťou g = 0,5161.

Úloha 8. Minútová ručička elektrických hodín sa na konci každej minúty prudko pohne. Náhodná hodnota X– rozdiel medzi časom zobrazeným na displeji a skutočným časom má rovnomerné rozdelenie. Nájdite pravdepodobnosť, že v určitom okamihu budú hodiny ukazovať čas, ktorý sa líši od skutočného: a) nie menej ako 10 s a nie viac ako 25 s; b) najmenej 25 s.

MOŽNOSŤ 6

Úloha 1. Diskrétna náhodná premenná X (CB X) je daný distribučným radom:

x i	–5	–3	–1
p i	0,2	0,2	0,1	0,4	0,1

Nájdite: 1) distribučnú funkciu F(X); 2) numerické charakteristiky: matematické očakávanie M(X), rozptyl D(X), smerodajná odchýlka s( X), móda M 0 (X); 3) pravdepodobnosť P(– 3≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(X).

Úloha 2. V skupine je 12 študentov, z ktorých 5 býva na internáte. Zo zoznamu sú náhodne vybratí 4 študenti. Pre SV X– počet študentov bývajúcich na internáte medzi tými, ktorých vyberú, zostavia distribučnú sériu a nájdu F(X), M(X) A D(X).

Problém 3. Pri výrobe častí rovnakého typu s použitím zastaraného zariadenia sa každá časť môže ukázať ako chybná s pravdepodobnosťou 0,1. Vytvorte distribučnú sériu CB X< 3);
4) pravdepodobnosť, že v štyroch nezávislých pokusoch CB X nadobudne hodnoty patriace do intervalu (1; 3) presne dvakrát.

Úloha 6. Daná funkcia

Definujte hodnotu parametra A, pri ktorej táto funkcia udáva hustotu rozdelenia pravdepodobnosti nejakého spojitého CB X. Nájsť F(X), M(X) A D(X). Zostavte graf F(X).

Problém 7. Daný M(X) = 11 a s( X) = 3 normálne rozdelené spojité NE X. Nájsť:

1) pravdepodobnosť ;

2) pravdepodobnosť ;

3) relatívne symetrické a interval, v ktorom hodnoty spadajú CB X s pravdepodobnosťou g = 0,9973.

Problém 8. Doba prevádzkyschopnosti televízora danej značky je náhodná veličina rozložená podľa normálneho zákona s parametrami A= 12 rokov as = 2 roky. Nájdite pravdepodobnosť, že televízor bude fungovať bez opravy: a) od 9 do 12 rokov;
b) najmenej 10 rokov.

MOŽNOSŤ 7

Úloha 1. Diskrétna náhodná premenná X (CB X) je daný distribučným radom:

x i
p i	0,2	0,1	0,2	0,3	0,2

Nájdite: 1) distribučnú funkciu F(X); 2) numerické charakteristiky: matematické očakávanie M(X), rozptyl D(X), smerodajná odchýlka s( X), móda M 0 (X); 3) pravdepodobnosť P(2≤ X < 10). Построить многоугольник распределения и график F(X).

Úloha 2. Pracovník má na starosti 4 nezávisle pracujúce stroje. Pravdepodobnosť, že do hodiny nebude stroj vyžadovať pozornosť pracovníka pri prvom stroji je 0,7; pre druhú - 0,75; za tretiu - 0,8; za štvrtý – 0,9. Pre diskrétne SV X- počet strojov, ktoré nebudú vyžadovať pozornosť pracovníka do hodiny, vytvoria distribučnú sériu a nájdu F(X), M(X) A D(X).

Problém 3. Dostupné n samostatne pracujúce stroje. Vytvorte distribučnú sériu CB X– počet strojov pracujúcich v danom čase, ak n= 6 a pravdepodobnosť, že stroj pracuje v danom čase, je 0,9; vypočítať M(X) A D(X). Posúdiť pravdepodobnosť, že podnik, ktorý má n= 180 a pravdepodobnosť prevádzky pre každý stroj je 0,98, počet aktuálne pracujúcich strojov bude najmenej 170.

Úloha 4. Zákony distribúcie nezávislých diskrétnych CB X A Y:

x i
p i	0,3	?	0,5

y i	–2	–1
p i	?	0,4

Vytvorte distribučnú sériu CB Z = XY+ 2. Nájsť M(Z) A D(Z).

Pravdepodobnosť, že odchýlka CB X od jej M.O. a v absolútnej hodnote bude menšie ako dané kladné číslo, rovné

Ak vložíme túto rovnosť, dostaneme

s w:space="720"/>"> ,

Teda normálne rozložené SV X vybočuje zo svojho M.O. a, spravidla o menej ako 3. Ide o tzv pravidlo 3 sigma, ktorý sa často používa v matematickej štatistike.

Funkcia jednej náhodnej premennej. Matematické očakávanie funkcie jedného SV.(tetr)

Ak každá možná hodnota náhodnej premennej X zodpovedá jednej možnej hodnote náhodnej premennej Y , To Y volal funkcia náhodného argumentu X: Y = φ (X ).

Poďme zistiť, ako nájsť distribučný zákon funkcie na základe známeho zákona o rozdelení argumentov.

1) Nechajte argument X – diskrétna náhodná premenná s rôznymi hodnotami X zodpovedajú rôzne hodnoty Y . Potom pravdepodobnosti zodpovedajúcich hodnôt X A Y rovný .

2) Ak sú rôzne hodnoty X môžu zodpovedať rovnaké hodnoty Y , potom sa sčítajú pravdepodobnosti hodnôt argumentov, pri ktorých má funkcia rovnakú hodnotu.

3) Ak X - spojitá náhodná premenná, Y = φ (X ), φ (X ) je monotónna a diferencovateľná funkcia a ψ (pri ) – funkcia inverzná k φ (X ).

Matematické očakávanie funkcie jedného náhodného argumentu.

Nechaj Y = φ (X ) – funkcia náhodného argumentu X , a je potrebné nájsť jeho matematické očakávanie so znalosťou distribučného zákona X .

1) Ak X je potom diskrétna náhodná premenná

2) Ak X je teda spojitá náhodná premenná M (Y ) možno vyhľadávať rôznymi spôsobmi. Ak je známa hustota distribúcie g (r ), To

21. Funkcia dvoch náhodných argumentov. Rozdelenie funkcie Z=X+Y pre diskrétne nezávislé SV X a Y. (tetr)

Ak každá dvojica možných hodnôt náhodných premenných X a Y zodpovedá jednej možnej hodnote náhodnej premennej Z, potom sa Z nazýva funkcia dvoch náhodných argumentov X a Y a zapisuje sa Z=φ(X,Y) . Ak X a Y sú diskrétne nezávislé náhodné premenné, potom na nájdenie rozdelenia funkcie Z=X+Y je potrebné nájsť všetky možné hodnoty Z, pre ktoré stačí sčítať každú možnú hodnotu X so všetkými možnými hodnotami Y; pravdepodobnosti nájdených možných hodnôt Z sa rovnajú súčinom pravdepodobností pridaných hodnôt X a Y. Ak X a Y sú spojité nezávislé náhodné premenné, potom hustota rozdelenia g(z) súčet Z = X+Y (za predpokladu, že hustota distribúcie aspoň jedného z argumentov je daná v intervale (- oo, oo) jedným vzorcom) možno nájsť pomocou vzorca , alebo ekvivalentného vzorca , kde f1 a f2 sú distribučné hustoty argumentov; ak sú možné hodnoty argumentov nezáporné, potom sa hustota distribúcie g(z) hodnoty Z=X + Y nájde pomocou vzorca alebo ekvivalentného vzorca. V prípade, že obe hustoty f1(x) a f2(y) sú dané na konečných intervaloch, na nájdenie hustoty g(z) veličiny Z = X+Y je vhodné najskôr nájsť distribučnú funkciu G(z) a potom ho diferencujte vzhľadom na z : g(z)=G'(z). Ak sú X a Y nezávislé náhodné premenné špecifikované zodpovedajúcimi distribučnými hustotami f1(x) a f2(y), potom pravdepodobnosť náhodného bodu (X, Y) spadajúceho do oblasti D sa rovná dvojitému integrálu v tejto oblasti súčinu distribučných hustôt: P [( X, Y) cD] = . Diskrétne nezávislé náhodné premenné X a Y sú špecifikované rozdeleniami:

Р 0,3 0,7 Р 0,6 0,4

Nájdite rozdelenie náhodnej premennej Z = X + K. Riešenie. Aby bolo možné vytvoriť rozdelenie hodnoty Z=X+Y, je potrebné nájsť všetky možné hodnoty Z a ich pravdepodobnosti. Možné hodnoty Z sú súčty každej možnej hodnoty X so všetkými možnými hodnotami Y: Z 1 = 1+2=3; z2 = 1+4 = 5; z3=3+2=5; z4 = 3+4 = 7. Nájdite pravdepodobnosti týchto možných hodnôt. Aby Z=3 stačilo, aby hodnota X nadobudla hodnotu x1= l a hodnota K y1=2. Pravdepodobnosti týchto možných hodnôt, ako vyplýva z týchto distribučných zákonov, sa rovnajú 0,3 a 0,6. Keďže argumenty X a Y sú nezávislé, udalosti X = 1 a Y = 2 sú nezávislé, preto je pravdepodobnosť ich spoločného výskytu (t. j. pravdepodobnosť udalosti Z = 3) podľa vety o násobení 0,3 * 0,6 = 0,18. Podobne nájdeme:

I B =!-f4 = 5) = 0,3 0,4 = 0,12;

P(Z = 34-2 = 5) = 0,7 0,6 = 0,42;

P(Z = 3. = 7) = 0,7-0,4 = 0,28. Požadované rozdelenie napíšeme tak, že najprv sčítame pravdepodobnosti nezlučiteľných udalostí Z = z 2 = 5, Z = z 3 = 5 (0,12 + 0,42 = 0,54):

Z357; P 0,18 0,54 0,28. Kontrola: 0,18 + 0,54 + 0,28 = 1.

Zákon normálneho rozdelenia pravdepodobnosti

Bez preháňania ho možno nazvať filozofickým zákonom. Pri pozorovaní rôznych predmetov a procesov vo svete okolo nás sa často stretávame s tým, že niečo nestačí a že existuje norma:


Tu je základný pohľad funkcie hustoty normálne rozdelenie pravdepodobnosti a vítam vás v tejto zaujímavej lekcii.

Aké príklady môžete uviesť? Je z nich jednoducho tma. Ide napríklad o výšku, hmotnosť ľudí (nielen), ich fyzickú silu, duševné schopnosti atď. Existuje „hlavná omša“ (z jedného alebo druhého dôvodu) a existujú odchýlky v oboch smeroch.

Ide o rôzne vlastnosti neživých predmetov (rovnaká veľkosť, hmotnosť). Ide o náhodné trvanie procesov, napríklad čas pretekov na sto metrov alebo premena živice na jantár. Z fyziky som si spomenul na molekuly vzduchu: niektoré z nich sú pomalé, iné rýchle, ale väčšina sa pohybuje „štandardnými“ rýchlosťami.

Ďalej sa od stredu odchýlime o jednu štandardnú odchýlku a vypočítame výšku:

Označenie bodov na výkrese (zelená farba) a vidíme, že je toho celkom dosť.

V záverečnej fáze opatrne nakreslíme graf a obzvlášť opatrne odrážať to konvexný/konkávny! No, pravdepodobne ste si už dávno uvedomili, že os x je horizontálna asymptota, a je absolútne zakázané za ním „liezť“!

Pri elektronickom podávaní riešenia je ľahké vytvoriť graf v Exceli a neočakávane som pre seba dokonca nahral krátke video na túto tému. Najprv si však povedzme, ako sa tvar normálnej krivky mení v závislosti od hodnôt a.

Pri zvyšovaní alebo znižovaní „a“ (s konštantnou sigmou) graf si zachová svoj tvar a sa pohybuje doprava/doľava resp. Napríklad, keď má funkcia formu a náš graf sa „posunie“ o 3 jednotky doľava – presne na začiatok súradníc:


Normálne rozložená veličina s nulovým matematickým očakávaním dostala úplne prirodzený názov - vycentrovaný; funkciu jeho hustoty – dokonca a graf je symetrický podľa ordináty.

V prípade zmeny "sigma" (s konštantným „a“), graf „zostáva rovnaký“, ale mení tvar. Keď sa zväčší, stáva sa nižším a predĺženým, ako chobotnica naťahujúca chápadlá. A naopak pri znižovaní grafu sa stáva užším a vyšším- ukáže sa, že je to „prekvapená chobotnica“. Áno, kedy znížiť„sigma“ dvakrát: predchádzajúci graf sa dvakrát zužuje a naťahuje:

Všetko je v plnom súlade s geometrické transformácie grafov.

Normálne rozdelenie s jednotkovou hodnotou sigma sa nazýva normalizované, a ak je tiež vycentrovaný(náš prípad), potom sa takéto rozdelenie nazýva štandardné. Má ešte jednoduchšiu funkciu hustoty, ktorá už bola nájdená v Laplaceova lokálna veta: . Štandardná distribúcia našla široké uplatnenie v praxi a veľmi skoro konečne pochopíme jej účel.

Tak a teraz si pozrime film:

Áno, úplne správne - akosi nezaslúžene zostalo v tieni funkcia rozdelenia pravdepodobnosti. Spomeňme si na ňu definícia:
– pravdepodobnosť, že náhodná premenná bude mať hodnotu MENŠU ako premenná, ktorá „prebehne“ všetkými reálnymi hodnotami do „plus“ nekonečna.

Vo vnútri integrálu sa zvyčajne používa iné písmeno, aby nedochádzalo k „prekrývaniu“ so zápisom, pretože tu je každá hodnota spojená s nevlastný integrál , čo sa rovná niektorým číslo z intervalu .

Takmer všetky hodnoty sa nedajú vypočítať presne, ale ako sme práve videli, s moderným výpočtovým výkonom to nie je ťažké. Takže pre funkciu štandardná distribúcia, zodpovedajúca funkcia Excel vo všeobecnosti obsahuje jeden argument:

=NORMSDIST(z)

Raz, dva - a máte hotovo:

Výkres jasne ukazuje realizáciu všetkých vlastnosti distribučnej funkcie, a z technických nuancií by ste mali venovať pozornosť horizontálne asymptoty a inflexný bod.

Teraz si spomeňme na jednu z kľúčových úloh témy, a to zistiť, ako nájsť pravdepodobnosť, že normálna náhodná premenná prevezme hodnotu z intervalu. Geometricky sa táto pravdepodobnosť rovná oblasť medzi normálnou krivkou a osou x v zodpovedajúcej časti:

ale zakaždým sa snažím získať približnú hodnotu je nerozumné, a preto je racionálnejšie použiť „ľahký“ vzorec:
.

! Tiež si pamätá , Čo

Tu môžete znova použiť Excel, ale existuje niekoľko významných „ale“: po prvé, nie je vždy po ruke, a po druhé, „hotové“ hodnoty s najväčšou pravdepodobnosťou vyvolajú otázky zo strany učiteľa. prečo?

Hovoril som o tom už mnohokrát: kedysi (a nie veľmi dávno) bola bežná kalkulačka luxusom a „manuálny“ spôsob riešenia daného problému je stále zachovaný vo vzdelávacej literatúre. Jeho podstatou je k štandardizovať hodnoty „alfa“ a „beta“, to znamená, že redukujú riešenie na štandardnú distribúciu:

Poznámka : funkcia sa dá ľahko získať zo všeobecného prípadupomocou lineárneho náhrady. Potom tiež:

a z vykonanej výmeny je nasledujúci vzorec: prechod z hodnôt ľubovoľného rozdelenia na zodpovedajúce hodnoty štandardného rozdelenia.

Prečo je to potrebné? Faktom je, že hodnoty boli starostlivo vypočítané našimi predkami a zostavené do špeciálnej tabuľky, ktorá je v mnohých knihách o terwerovi. Ale ešte častejšie existuje tabuľka hodnôt, ktorej sme sa už venovali Laplaceova integrálna veta:

Ak máme k dispozícii tabuľku hodnôt Laplaceovej funkcie , potom cez to vyriešime:

Zlomkové hodnoty sa tradične zaokrúhľujú na 4 desatinné miesta, ako sa to robí v štandardnej tabuľke. A pre kontrolu existuje Bod 5 rozloženie.

Pripomínam ti to a aby nedošlo k zámene vždy kontrolovať, tabuľku AKEJ funkcie máte pred očami.

Odpoveď je potrebné uviesť v percentách, takže vypočítaná pravdepodobnosť sa musí vynásobiť 100 a výsledok sa musí uviesť zmysluplným komentárom:

– pri lete od 5 do 70 m padne približne 15,87 % nábojov

Cvičíme sami:

Príklad 3

Priemer továrensky vyrobených ložísk je náhodná veličina, normálne rozložená s matematickým očakávaním 1,5 cm a štandardnou odchýlkou ​​0,04 cm Nájdite pravdepodobnosť, že veľkosť náhodne vybraného ložiska sa pohybuje od 1,4 do 1,6 cm.

Vo vzorovom riešení a nižšie použijem funkciu Laplace ako najbežnejšiu možnosť. Mimochodom, všimnite si, že podľa znenia tu môžu byť konce intervalu zahrnuté do úvahy. To však nie je kritické.

A už v tomto príklade sme sa stretli so špeciálnym prípadom – keď je interval symetrický vzhľadom na matematické očakávanie. V takejto situácii ho možno napísať vo forme a pomocou zvláštnosti Laplaceovej funkcie zjednodušiť pracovný vzorec:

Volá sa parameter delta odchýlka z matematického očakávania a dvojitú nerovnosť možno „zabaliť“ pomocou modul:

– pravdepodobnosť, že sa hodnota náhodnej premennej bude odchyľovať od matematického očakávania o menej ako .

Je dobré, že riešenie sedí v jednej línii :)
– pravdepodobnosť, že priemer náhodne vybratého ložiska sa líši od 1,5 cm najviac o 0,1 cm.

Výsledok tejto úlohy sa ukázal byť blízky jednote, ale chcel by som ešte väčšiu spoľahlivosť - konkrétne zistiť hranice, v ktorých sa priemer nachádza skoro každý ložiská. Existuje na to nejaké kritérium? Existuje! Na položenú otázku odpovedá tzv

pravidlo troch sigma

Jeho podstatou je to prakticky spoľahlivé je skutočnosť, že normálne rozložená náhodná premenná nadobudne hodnotu z intervalu .

Pravdepodobnosť odchýlky od očakávanej hodnoty je v skutočnosti menšia ako:
alebo 99,73 %

Z hľadiska ložísk ide o 9973 kusov s priemerom od 1,38 do 1,62 cm a len 27 „neštandardných“ exemplárov.

V praktickom výskume sa pravidlo troch sigma zvyčajne uplatňuje v opačnom smere: ak štatisticky Zistilo sa, že takmer všetky hodnoty skúmaná náhodná premenná spadajú do intervalu 6 štandardných odchýlok, potom existujú presvedčivé dôvody domnievať sa, že táto hodnota je rozdelená podľa normálneho zákona. Overenie sa vykonáva pomocou teórie štatistické hypotézy.

Pokračujeme v riešení tvrdých sovietskych problémov:

Príklad 4

Náhodná hodnota chyby váženia je rozdelená podľa normálneho zákona s nulovým matematickým očakávaním a štandardnou odchýlkou ​​3 gramy. Nájdite pravdepodobnosť, že ďalšie váženie sa uskutoční s chybou nepresahujúcou 5 gramov v absolútnej hodnote.

Riešenie veľmi jednoduché. Podľa stavu to okamžite zaznamenáme pri ďalšom vážení (niečo alebo niekto) takmer 100% dostaneme výsledok s presnosťou 9 gramov. Ale problém sa týka užšej odchýlky a podľa vzorca :

– pravdepodobnosť, že nasledujúce váženie sa vykoná s chybou nepresahujúcou 5 gramov.

Odpoveď:

Riešený problém sa zásadne líši od zdanlivo podobného. Príklad 3 lekcia o Rovnomerné rozdelenie. Vyskytla sa chyba zaokrúhľovanie výsledky meraní, tu hovoríme o náhodnej chybe samotných meraní. Takéto chyby vznikajú v dôsledku technických vlastností samotného zariadenia. (rozsah prijateľných chýb je zvyčajne uvedený v jeho pase) a tiež vinou experimentátora - keď napríklad „od oka“ berieme údaje z ihly rovnakých mierok.

Okrem iných sú tu aj tzv systematický chyby merania. Už je nenáhodné chyby, ktoré sa vyskytnú v dôsledku nesprávneho nastavenia alebo prevádzky zariadenia. Napríklad neregulované podlahové váhy dokážu neustále „pridávať“ kilogramy a predajca zákazníkov systematicky váži. Alebo to možno počítať nie systematicky. V každom prípade však takáto chyba nebude náhodná a jej očakávanie je iné ako nula.

...naliehavo pripravujem kurz predaja =)

Vyriešme inverzný problém sami:

Príklad 5

Priemer valčeka je náhodná normálne rozložená náhodná veličina, jej smerodajná odchýlka sa rovná mm. Nájdite dĺžku intervalu, symetrickú vzhľadom na matematické očakávanie, do ktorej pravdepodobne spadá dĺžka priemeru valca.

bod 5* dizajnové rozloženie pomôcť. Upozorňujeme, že matematické očakávanie tu nie je známe, ale to nám ani v najmenšom nebráni v riešení problému.

A skúšobná úloha, ktorú veľmi odporúčam na posilnenie materiálu:

Príklad 6

Normálne rozdelená náhodná premenná je špecifikovaná svojimi parametrami (matematické očakávanie) a (štandardná odchýlka). Požadovaný:

a) zapíšte hustotu pravdepodobnosti a schematicky znázornite jej graf;
b) nájdite pravdepodobnosť, že nadobudne hodnotu z intervalu ;
c) nájdite pravdepodobnosť, že absolútna hodnota sa nebude líšiť od viac ako ;
d) pomocou pravidla „tri sigma“ nájdite hodnoty náhodnej premennej.

Takéto problémy sa ponúkajú všade a za roky praxe som ich vyriešil stovky a stovky. Nezabudnite si precvičiť kreslenie kresby ručne a pomocou papierových tabuliek;)

Pozriem sa na príklad zvýšenej zložitosti:

Príklad 7

Hustota rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej má tvar . Nájsť, matematické očakávanie, rozptyl, distribučná funkcia, zostaviť grafy hustoty a distribučné funkcie, nájsť.

Riešenie: V prvom rade si všimnime, že podmienka nehovorí nič o povahe náhodnej premennej. Prítomnosť exponentu sama o sebe nič neznamená: môže sa ukázať, že napr. orientačné alebo dokonca svojvoľné nepretržitá distribúcia. A preto „normálnosť“ distribúcie stále musí byť odôvodnená:

Od funkcie určený pri akýkoľvek skutočnú hodnotu a možno ju zredukovať na formu , potom je náhodná premenná rozdelená podľa normálneho zákona.

Ideme na to. Pre to vyberte celý štvorec a organizovať trojposchodový zlomok:


Nezabudnite vykonať kontrolu a vráťte indikátor do pôvodnej podoby:

, čo sme chceli vidieť.

Takto:
- Podľa pravidlá operácií s právomocami"odtrhnúť" A tu si môžete okamžite zapísať zrejmé číselné charakteristiky:

Teraz nájdime hodnotu parametra. Keďže multiplikátor normálneho rozdelenia má tvar a, potom:
, odkiaľ vyjadrujeme a nahrádzame do našej funkcie:
, po ktorom si ešte raz prejdeme záznam očami a presvedčíme sa, že výsledná funkcia má formu .

Zostavme graf hustoty:

a graf distribučnej funkcie :

Ak nemáte po ruke Excel alebo dokonca bežnú kalkulačku, posledný graf môžete ľahko zostaviť ručne! V tomto bode má distribučná funkcia hodnotu a je to tu