Príklady fraktálov v prírode. Čo je to fraktál? Fraktály v prírode. Výsledky projektu
Odoslanie dobrej práce do databázy znalostí je jednoduché. Použite nižšie uvedený formulár
Študenti, postgraduálni študenti, mladí vedci, ktorí pri štúdiu a práci využívajú vedomostnú základňu, vám budú veľmi vďační.
Uverejnené dňa http://www.allbest.ru/
Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie
Predmet: Fraktály- špeciálnepredmetynaživeAnežijúcimier
Chabarovsk TOGU 2015
- Obsah
- fraktálna geometrická fraktálna grafika
- História fraktálov
- Klasifikácia fraktálov
- Geometrické fraktály
- Algebraické fraktály
- Aplikácia fraktálov
- Fraktály a svet okolo nás
- Fraktálna grafika
- Aplikácia fraktálov
- Prírodné vedy
- Rádiotechnika
- Počítačová veda
- Ekonomika a financie
História fraktálov
Veľmi často sa stretávame so špeciálnymi objektmi, no málokto vie, že ide o fraktály. Fraktály sú jedinečné objekty generované nepredvídateľnými pohybmi chaotického sveta. Nachádzajú sa v malých objektoch, ako je bunková membrána, aj vo veľkých, ako je slnečná sústava a galaxia. V každodennom živote môžeme vidieť fraktály v tapetách, na tkaninách, na šetriči obrazovky na počítači av prírode - to sú rastliny, morské živočíchy a prírodné javy.
Fraktály fascinovali vedcov už od pradávna a tieto predmety milujú aj programátori a špecialisti na počítačovú grafiku. Objav fraktálov bol revolúciou v ľudskom vnímaní sveta a objavom novej estetiky umenia a vedy.
Čo sú teda fraktály? Fraktál- geometrický útvar, ktorý má vlastnosť sebapodobnosti, to znamená zložený z niekoľkých častí, z ktorých každá je podobná celej postave ako celku.
Termín fraktál bol navrhnutý v roku 1975. Benoit Mandelbrot, aby označil nepravidelné, sebepodobné štruktúry, o ktoré sa zaujímal. Zrodom fraktálnej geometrie je publikácia jeho knihy „The Fractal Geometry of Nature“ v roku 1977. Jeho práca bola založená na prácach vedcov Poincaré, Fatou, Julia, Cantor a Hausdorff, ktorí pracovali v roku 1875? 1925 v tej istej oblasti. Ale až za našich čias dokázali spojiť svoju prácu do jedného systému.
Pojem „fraktál“ je odvodený z latinského „fractus“? pozostávajúce z fragmentov. Jedna z definícií znie: „Fraktál je štruktúra pozostávajúca z častí, ktoré sú v istom zmysle podobné celku.
Benoit Mandelbrot vo svojich dielach uviedol názorné príklady použitia fraktálov na vysvetlenie niektorých prírodných javov. Veľkú pozornosť venoval zaujímavej vlastnosti, ktorú majú mnohé fraktály. Faktom je, že často môže byť fraktál rozdelený na ľubovoľne malé časti, takže každá časť je jednoducho zmenšenou kópiou celku. Inými slovami, ak sa pozrieme na fraktál cez mikroskop, budeme prekvapení, keď uvidíme rovnaký obrázok ako bez mikroskopu. Táto vlastnosť sebapodobnosti ostro odlišuje fraktály od objektov klasickej geometrie.
Pre moderných vedcov, ktorí študujú fraktály? nielen nová oblasť vedomostí. Ide o objav nového typu geometrie, ktorý opisuje svet okolo nás a ktorý možno vidieť nielen v učebniciach, ale aj v prírode a v bezhraničnom Vesmíre. Teraz Mandelbrot a ďalší vedci rozšírili oblasť fraktálnej geometrie, takže ju možno aplikovať takmer na všetko na svete, od predpovedania cien na burze až po nové objavy v teoretickej fyzike.
Klasifikácia fraktálov
Existujú rôzne klasifikácie fraktálov.
Hlavnou klasifikáciou fraktálov je rozdelenie na geometrické a algebraické.
Geometrické fraktály majú presnú sebapodobnosť a algebraické fraktály majú približnú sebapodobnosť.
Existuje aj rozdelenie na prírodné a človekom vytvorené fraktály.
Umelé fraktály zahŕňajú fraktály, ktoré vynašli vedci; majú fraktálne vlastnosti v akomkoľvek meradle. Prírodné fraktály podliehajú obmedzeniu v oblasti existencie - to znamená maximálnej a minimálnej veľkosti, pri ktorej objekt vykazuje fraktálne vlastnosti.
Najjednoduchšie fraktály sú geometrické fraktály.
Geometrické fraktály
Geometrické fraktály sa tiež nazývajú klasické, deterministické alebo lineárne. Sú najviditeľnejšie, pretože majú takzvanú rigidnú sebapodobnosť, ktorá sa pri zmene mierky nemení. To znamená, že bez ohľadu na to, ako blízko priblížite fraktál, stále vidíte rovnaký vzor.
V dvojrozmernom prípade sa takéto fraktály dajú získať špecifikovaním prerušovanej čiary nazývanej generátor. V jednom kroku algoritmu je každý zo segmentov danej krivky (iniciátor) nahradený generátorovou krivkou vo vhodnej mierke. Výsledkom nekonečného opakovania tohto postupu je fraktálna krivka. Napriek zjavnej zložitosti tejto krivky je jej tvar určený iba tvarom generátora.
Najznámejšie geometrické fraktály: Kochova krivka, Minkowského krivka, Levyho krivka, dračia krivka, Sierpinského obrúsok a koberec, Durerov päťuholník.
Konštrukcia niektorých geometrických fraktálov
1). Kochova krivka.
Vynašiel ho v roku 1904 nemecký matematik Helge von Koch. Na jeho konštrukciu sa vyberie jeden segment rozdelený na tri rovnaké časti a stredný článok sa nahradí rovnostranným trojuholníkom bez tohto spojenia. V ďalšom kroku operáciu zopakujeme pre každý zo štyroch výsledných segmentov. Výsledkom nekonečného opakovania tohto postupu je fraktálna krivka.
2). Sierpinského obrúsok.
V roku 1915 prišiel poľský matematik Waclaw Sierpinski so zaujímavým objektom. Ak ho chcete zostrojiť, vezmite si pevný rovnostranný trojuholník. V prvom kroku sa zo stredu odstráni obrátený rovnostranný trojuholník. Druhý krok odstráni tri obrátené trojuholníky zo zvyšných troch trojuholníkov atď. Podľa teórie tento proces neskončí a v trojuholníku nezostane životný priestor, no ani sa nerozpadne – výsledkom bude objekt pozostávajúci len z dier.
3). Harter-Hathwayov drak.
Harterov drak, tiež známy ako drak Harter-Haithaway, prvýkrát skúmali fyzici NASA? John Haithaway, William Harter a Bruce Banks. V roku 1967 ju opísal Martin Gardner v rubrike „Matematické hry“ časopisu Scientific American.
V ďalšom kroku je každý z úsečiek nahradený dvoma úsečkami, ktoré tvoria bočné strany rovnoramenného pravouhlého trojuholníka, pre ktorý by bol pôvodný úsečka preponou. V dôsledku toho sa zdá, že segment sa ohýba v pravom uhle. Smer vychýlenia sa strieda. Prvý segment sa ohýba doprava (pri pohybe zľava doprava), druhý - doľava, tretí - opäť doprava atď.
Príklady geometrických fraktálov
KrivkaKochObrúsokSierpinski
DrakHarter-Hathaway
Druhá veľká skupina fraktálov sú algebraické. Dostali svoje meno, pretože sú postavené na základe algebraických vzorcov.
Algebraické fraktály
Komplexné (algebraické) fraktály nemožno vytvoriť bez pomoci počítača. Na získanie farebných výsledkov musí mať tento počítač výkonný matematický koprocesor a monitor s vysokým rozlíšením. Dostali svoje meno, pretože sú postavené na základe algebraických vzorcov. V dôsledku matematického spracovania tohto vzorca sa na obrazovke zobrazí bod určitej farby. Výsledkom je zvláštny obrazec, v ktorom sa rovné línie menia na krivky a efekty sebapodobnosti sa objavujú v rôznych mierkach, aj keď nie bez deformácií. Takmer každý bod na obrazovke počítača je ako samostatný fraktál.
Najznámejšie algebraické fraktály: Mandelbrotove a Juliove množiny, Newtonove bazény.
Algebraické fraktály majú približnú sebapodobnosť. V skutočnosti, ak zväčšíte malú oblasť akéhokoľvek komplexného fraktálu a potom urobíte to isté na malej časti tejto oblasti, tieto dve zväčšenia sa budú od seba výrazne líšiť. Oba obrázky si budú v detailoch veľmi podobné, no nebudú úplne totožné.
ALGEBRAICKÝ FRAKTÁLY
Približné hodnoty Mandelbrotovej množiny
Fraktály nachádzajú stále viac aplikácií vo vede. Hlavným dôvodom je, že opisujú reálny svet lepšie ako tradičná fyzika a matematika.
Aplikácia fraktálov
1). Teória chaosu: Fraktály sú vždy spojené so slovom chaos. Teória chaosu je definovaná ako štúdium zložitých nelineárnych dynamických systémov. Chaos je absencia predvídateľnosti. Vyskytuje sa v dynamických systémoch, keď sa pre dve veľmi blízke počiatočné hodnoty systém správa úplne inak. Príkladom chaotického dynamického systému je počasie. Príkladmi takýchto systémov sú turbulentné toky, biologické populácie, spoločnosť a jej subsystémy: ekonomické, politické a iné sociálne systémy. Jedným z ústredných pojmov v tejto teórii je nemožnosť presne predpovedať stav systému. Teória chaosu sa nezameriava na poruchu systému (dedičná nepredvídateľnosť systému), ale na poriadok, ktorý zdedí (bežné správanie podobných systémov). Veda o chaose je teda systémom predstáv o rôznych formách poriadku, kde sa náhodnosť stáva organizačným princípom.
2). Ekonomika: analýza trhu cenných papierov.
3). Astrofyzika: popis procesov zhlukovania galaxií vo vesmíre.
4). Geológia: štúdium drsnosti nerastov;
5). Kartografia: štúdium tvarov pobrežia; štúdium rozsiahlej siete riečnych kanálov.
6). Mechanika kvapalín a plynov, fyzika povrchov:
- dynamika a turbulencia zložitých tokov.
- modelovanie plameňov;
7). Biológia a medicína:
- modelovanie populácií zvierat a migrácie vtákov;
- modelovanie epidémií;
- analýza štruktúry obehového systému;
- zohľadnenie zložitých povrchov bunkových membrán;
- opis procesov vo vnútri tela, napríklad tlkot srdca.
8). Fraktálne antény: Využitie fraktálnej geometrie pri navrhovaní anténnych zariadení prvýkrát použil americký inžinier Nathan Cohen, ktorý vtedy žil v centre Bostonu, kde bola inštalácia externých antén na budovy zakázaná. Z hliníkovej fólie vyrezal tvar Kochovej krivky a prilepil ho na kus papiera a potom ho pripevnil k prijímaču. Ukázalo sa, že takáto anténa nefunguje horšie ako bežná. A hoci fyzikálne princípy fungovania takejto antény ešte neboli preštudované, Cohenovi to nezabránilo v založení vlastnej firmy a spustení ich sériovej výroby.
9). Kompresia obrazu: výhody algoritmov kompresie fraktálov sú veľmi malá veľkosť zbaleného súboru a krátky čas obnovy obrazu. Ďalšou výhodou fraktálnej kompresie je, že pri zväčšení obrázka nedochádza k efektu pixelizácie (zvýšenie veľkosti bodov na veľkosti, ktoré skresľujú obrázok). Pri fraktálnej kompresii po zväčšení obraz často vyzerá ešte lepšie ako predtým.
10). Počítačová grafika: Počítačová grafika dnes prechádza obdobím intenzívneho vývoja. Na obrazovke monitora dokázala znovu vytvoriť nekonečnú škálu fraktálnych tvarov a krajín a ponorila diváka do úžasného virtuálneho priestoru. V súčasnosti je možné pomocou relatívne jednoduchých algoritmov vytvárať trojrozmerné obrazy fantastických krajín a tvarov, ktoré možno časom premeniť na ešte vzrušujúcejšie obrázky. Tendenciu fraktálov pripomínať hory, kvety a stromy využívajú niektoré grafické editory (napríklad fraktálne oblaky od 3D štúdia MAX, fraktálne hory vo World Builder). Fraktálne modely sú dnes hojne využívané v počítačových hrách a vytvárajú v nich prostredie, ktoré je ťažko odlíšiteľné od reality.
Koniec dvadsiateho storočia bol poznačený nielen objavmi úžasne krásnych a nekonečne rôznorodých štruktúr nazývaných fraktály, ale aj uvedomením si fraktálnej povahy prírody. Svet okolo nás je veľmi rôznorodý a jeho objekty nezapadajú do pevného rámca euklidovských línií a plôch.
Fraktály a svet okolo nás
« Krása je vždy relatívna...Nemali by sme predpokladať, že brehy oceánu sú skutočne beztvaré len preto, že ich tvar je odlišný od bežného tvaru mól, ktoré sme postavili; tvar hôr nemožno považovať za nepravidelný na základe toho, že nejde o pravidelné kužele alebo pyramídy; len preto, že vzdialenosti medzi hviezdami sú nerovnaké, neznamená to, že ich rozhádzala po oblohe nešikovná ruka. Tieto chyby existujú iba v našej fantázii , v skutočnosti takí nie sú a nijako nezasahujú do skutočných prejavov života na Zemi, ani v ríši rastlín a zvierat, ani medzi ľuďmi.“ Tieto slová anglického vedca zo 17. storočia. Richard Bentley naznačuje, že myšlienka skombinovať formy pobrežia, hôr a nebeských objektov a dať ich do kontrastu s euklidovskými stavbami vznikla v mysliach ľudí veľmi dlho.
Galileo Galilei povedal, že „veľká kniha prírody je napísaná v jazyku geometrie“. Teraz môžeme s istotou povedať, že je napísaný v jazyku fraktálnej geometrie.
To, čo pozorujeme v prírode, nás často fascinuje nekonečným opakovaním toho istého vzoru, ktorý sa zvyšuje alebo znižuje toľkokrát, koľkokrát chceme. Bizarné tvary pobreží a spletité zákruty riek, členité plochy horských masívov a obrysy oblakov, rozľahlé konáre stromov a koralové útesy, nesmelé mihotanie sviečky a spenené prúdy horských riek – to všetko sú fraktály. Niektoré z nich, napríklad oblaky alebo búrlivé potoky, neustále menia svoj tvar, iné, ako napríklad stromy alebo pohoria, si zachovávajú svoju štruktúru nezmenenú. Spoločná pre všetky typy fraktálových štruktúr je ich sebepodobnosť – hlavná vlastnosť, ktorá vo fraktáloch zabezpečuje naplnenie základného zákona – zákona jednoty v rozmanitosti vesmíru.
Ľudské systémy a orgány sú tiež fraktálne štruktúry. Napríklad cievy sa viacnásobne rozvetvujú, t.j. majú fraktálový charakter. Elektrická aktivita srdca je fraktálny proces. Kardiológovia zistili, že spektrálne charakteristiky srdcového tepu sa riadia fraktálnymi zákonmi, rovnako ako zemetrasenia a ekonomické javy. V tkanivách tráviaceho traktu je jeden zvlnený povrch vložený do druhého. Pľúca tiež predstavujú príklad vtesnania veľkej plochy do malého priestoru. V skutočnosti je celá štruktúra ľudského tela fraktálnej povahy; to už vedci uznali. Princíp jedného jednoduchého, definujúceho rôznorodý komplex, je zakotvený v ľudskom genóme, keď jedna bunka živého organizmu obsahuje informácie o celom organizme ako celku.
Fraktálne štruktúry v prírode
Tu je niekoľko ukážkových fotografií:
Ako povedal biológ John Haldane: „Svet je nielen divnejší, ako si myslíme, ale aj divnejší, než si dokážeme predstaviť. Fraktály nie sú Mandelbrotove vynálezy. Existujú objektívne. V prírodných formách a procesoch, vo vede a umení, ktoré odrážajú a chápu tento svet. Práve „za zmenu nášho pohľadu na svet vďaka myšlienkam fraktálnej geometrie“ získal Benoit Mandelbrot v roku 1993 čestnú Wolfovu cenu za fyziku.
V súčasnosti sú veľmi populárne fraktálne maľby. Pôsobia úplne fantastickým dojmom. Mnoho tenkých línií tvoriacich jeden celok alebo nezvyčajných prvkov prepletených do jedného obrazu. Záblesky jasného svetla a mierne hladké línie. Zdá sa, že fraktál je živý. Horí, žiari, priťahuje a nemôžete z neho odtrhnúť oči a študovať aj tie najmenšie a najnepodstatnejšie detaily.
Fraktálna grafika
Fraktálne maľby v interiéri
Aplikácia fraktálov
Prírodné vedy
Vo fyzike fraktály prirodzene vznikajú pri modelovaní nelineárnych procesov, ako je turbulentné prúdenie tekutín, zložité difúzno-adsorpčné procesy, plamene, oblaky a podobne. Fraktály sa používajú pri modelovaní poréznych materiálov, napríklad v petrochémii. V biológii sa používajú na modelovanie populácií a na opis systémov vnútorných orgánov (systém krvných ciev). Po vytvorení Kochovej krivky sa navrhlo použiť ju pri výpočte dĺžky pobrežia.
Rádiotechnika
Využitie fraktálnej geometrie pri navrhovaní anténnych zariadení prvýkrát použil americký inžinier Nathan Cohen, ktorý vtedy žil v centre Bostonu, kde bola inštalácia externých antén na budovy zakázaná. Nathan vyrezal tvar Kochovej krivky z hliníkovej fólie a prilepil ho na kus papiera a potom ho pripojil k prijímaču. Cohen založil vlastnú spoločnosť a rozbehol ich sériovú výrobu.
Počítačová veda
Kompresia obrazu
Fraktálny strom
Existujú algoritmy kompresie obrázkov pomocou fraktálov. Sú založené na myšlienke, že namiesto samotného obrázku je možné uložiť kompresnú mapu, pre ktorú je tento obrázok (alebo nejaký blízky) pevným bodom. Jeden z variantov tohto algoritmu použil Microsoft pri vydávaní svojej encyklopédie, ale tieto algoritmy neboli široko používané.
Počítačová grafika
Fraktály sú široko používané v počítačovej grafike na vytváranie obrázkov prírodných objektov, ako sú stromy, kríky, horské krajiny, morské povrchy atď. Existuje mnoho dostupných programov na vytváranie fraktálnych obrázkov.
Decentralizované siete
Systém prideľovania IP adries v sieti Netsukuku (táto sieť je projektom na vytvorenie distribuovanej samoorganizujúcej sa peer-to-peer siete schopnej zabezpečiť interakciu veľkého počtu uzlov s minimálnym zaťažením centrálneho procesora a pamäte) využíva princíp kompresie fraktálnych informácií na kompaktné ukladanie informácií o sieťových uzloch. Každý uzol v sieti Netsukuku uchováva len 4 KB informácií o stave susedných uzlov, pričom každý nový uzol sa pripája do spoločnej siete bez potreby centrálnej regulácie distribúcie IP adries, čo je napríklad typické pre tzv. Internet. Princíp kompresie fraktálnych informácií teda zaručuje úplne decentralizovanú, a teda najstabilnejšiu prevádzku celej siete.
Ekonomika a financie
A. A. Almazov vo svojej knihe „Fraktálna teória. Ako zmeniť svoj pohľad na trhy“ navrhol spôsob, ako použiť fraktály pri analýze kurzov akcií, najmä na trhu Forex.
Zakaždým, keď sa pozriete na fraktály, premýšľate o tom, aký krásny je skutočný svet a svet matematiky a že matematika je skutočne jazyk, ktorý dokáže opísať takmer všetko, čo existuje vo vesmíre.
Bibliografia
1. Mandelbrot B. Fraktálna geometria prírody. M.: „Ústav počítačového výskumu“, 2002. 656 s.
2. Morozov A.D. Úvod do teórie fraktálov. N. Novgorod: Vydavateľstvo Nižný Novgorod. Univerzita, 1999, 140 s.
3. Peitgen H.-O., Richter P. H. Krása fraktálov. M.: „Mir“, 1993. - 176 s.
4. Tikhoplav V.Yu., Tikhoplav T.S. Harmónia chaosu alebo fraktálnej reality. Petrohrad: Vydavateľstvo „Ves“, 2003. 340 s.
5. Feder E. Fraktály. M: „Mir“, 1991. 254 s.
6. Schroeder M. Fraktály, chaos, mocenské zákony. Miniatúry z nekonečného raja. Iževsk: “RKhD”, 2001. 528 s.
Zoznam stránok o fraktáloch
1. http://www.fractals.nsu.ru.
2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.
3. http://www.multifractal.narod.ru.
4. http://algolist.manual.ru.
Uverejnené na Allbest.ru
Podobné dokumenty
Úvaha o fraktálnej dimenzii ako jednej z charakteristík inžinierskeho povrchu. Popis prírodných fraktálov. Meranie dĺžky nehladkej (prerušovanej) čiary. Podobnosť a škálovanie, sebapodobnosť a sebapríbuznosť. Vzťah medzi obvodom a plochou.
test, pridaný 23.12.2015
História vzniku teórie fraktálov. Fraktál je sebepodobná štruktúra, ktorej obraz nezávisí od mierky. Ide o rekurzívny model, ktorého každá časť vo svojom vývoji opakuje vývoj celého modelu ako celku. Praktická aplikácia teórie fraktálov.
vedecká práca, pridané 12.05.2010
Klasické fraktály. Sebapodobnosť. Snehová vločka Koch. Sierpinski koberec. L-systémy. Chaotická dynamika. Lorentzov atraktor. Sady Mandelbrot a Julia. Aplikácia fraktálov vo výpočtovej technike.
kurzová práca, pridané 26.05.2006
Vlastnosti niektorých štvoruholníkov. Implementácia modelov geometrických situácií v prostredí dynamickej geometrie. Vlastnosti dynamického prostredia "Živá geometria", vlastnosti konštrukcie rovnobežníkových, kosoštvorcových, obdĺžnikových a štvorcových modelov v ňom.
kurzová práca, pridané 28.05.2013
Geometrický obraz sveta a predpoklady pre vznik teórie fraktálov. Prvky deterministického L-systému: abeceda, inicializačné slovo a množina generujúcich pravidiel. Fraktálne vlastnosti sociálnych procesov: synergetika a chaotická dynamika.
kurzová práca, pridané 22.03.2014
Štúdium prejavov geometrických zákonitostí v živej prírode a ich využitie vo vzdelávacích praktických činnostiach. Opis geometrických zákonov a podstaty geometrických konštrukcií. Grafické vzdelávanie a jeho miesto v modernom svete.
práca, pridané 24.06.2010
Vymedzenie pojmu model, potreba ich aplikácie vo vede a každodennom živote. Charakteristika materiálu a ideálne metódy modelovania. Klasifikácia matematických modelov (deterministické, stochastické), fázy procesu ich konštrukcie.
abstrakt, pridaný 20.08.2015
Štúdium pojmov symetria, proporcionalita, proporcionalita a jednotnosť v usporiadaní častí. Charakteristika symetrických vlastností geometrických útvarov. Opisy úlohy symetrie v architektúre, prírode a technike, pri riešení logických problémov.
prezentácia, pridané 12.06.2011
História matematizácie vedy. Základné metódy matematizácie. Limity a problémy matematizácie. Problémy aplikácie matematických metód v rôznych vedách sú spojené so samotnou matematikou (matematické štúdium modelov), s oblasťou modelovania.
abstrakt, pridaný 24.05.2005
Pojem a história štúdia zlatého rezu. Vlastnosti jeho odrazu v matematike, prírode, architektúre a maľbe. Poradie a princípy konštrukcie, štruktúra a oblasti praktickej aplikácie zlatého rezu, matematické zdôvodnenie a význam.
Príroda je dokonalý výtvor, sú presvedčení vedci, ktorí objavujú proporcie zlatého rezu v štruktúre ľudského tela a fraktálne postavy v hlave karfiolu.
„Štúdium a pozorovanie prírody zrodilo vedu,“ napísal Cicero v prvom storočí pred Kristom. V neskorších dobách, s rozvojom vedy a jej vzdialením od skúmania prírody, vedci s prekvapením objavujú to, čo bolo našim predkom známe, ale nebolo to potvrdené vedeckými metódami.
Je zaujímavé nájsť podobné útvary v mikro- a makrokozme, inšpirujúce môže byť aj to, že veda dokáže opísať geometriu týchto útvarov. Obehový systém, rieka, blesky, konáre stromov... to všetko sú podobné systémy pozostávajúce z rôznych častíc a rôznej mierky.
Podiely „zlatého rezu“
Dokonca aj starí Gréci a možno aj Egypťania poznali podiel „zlatého rezu“. Luca Pacioli, renesančný matematik, nazval tento pomer „božským pomerom“. Neskôr vedci zistili, že zlatý rez, ktorý tak lahodí ľudskému oku a ktorý sa často vyskytuje v klasickej architektúre, umení a dokonca aj v poézii, nájdeme všade v prírode.
Zlatý rez je rozdelenie segmentu na dve nerovnaké časti, pričom krátka časť súvisí s dlhou, ako je dlhá časť s celým segmentom. Pomer dlhej časti k celému segmentu je nekonečné číslo, iracionálny zlomok 0,618..., pomer krátkej časti je 0,382...
Ak postavíte obdĺžnik so stranami, ktorých pomer sa rovná podielu „zlatého rezu“ a vpíšete doň ďalší „zlatý obdĺžnik“, ďalší do neho a tak ďalej donekonečna dovnútra a von, potom môže vzniknúť špirála byť nakreslené pozdĺž rohových bodov obdĺžnikov. Je zaujímavé, že takáto špirála sa bude zhodovať s rezom lastúry nautilusa, ako aj iných špirál, ktoré sa nachádzajú v prírode.
Ilustrácia: Homk/wikipedia.org
Fosília Nautilus.
Foto: Studio-Annika/Photos.com
Škrupina Nautilus.
Foto: Chris 73/en.wikipedia.org
Podiel zlatého rezu vníma ľudské oko ako krásny a harmonický. A podiel 0,618... sa rovná pomeru predchádzajúceho a nasledujúceho čísla vo Fibonacciho rade. Fibonacciho čísla sa vyskytujú všade v prírode: je to špirála, pozdĺž ktorej sa vetvy rastliny pripájajú k stonke, špirála, pozdĺž ktorej rastú šupiny na šiške alebo zrná na slnečnici. Je zaujímavé, že počet riadkov otáčajúcich sa proti smeru hodinových ručičiek a v smere hodinových ručičiek sú susedné čísla vo Fibonacciho rade.
Hlava brokolicovej kapusty a baraní roh sa krútia do špirály... A v samotnom ľudskom tele, samozrejme, zdravom a normálnych proporcií, sa zlatý rez nachádza.
Vitruviánsky muž. Kresba Leonarda da Vinciho.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... sú čísla vo Fibonacciho rade, v ktorých každý nasledujúci člen je získaný zo súčtu predchádzajúcich dvoch. Vo Fibonacciho špirálach sa točia aj vzdialené špirálové galaxie fotografované satelitmi.
Špirálová galaxia.
Foto: NASA
Tri tropické cyklóny.
Foto: NASA
Molekula DNA je stočená do dvojitej špirály.
Skrútená ľudská DNA.
Ilustrácia: Zephyris/en.wikipedia.org
Hurikán sa točí do špirály, pavúk si špirálovito pletie sieť.
Sieť krížového pavúka.
Foto: Vincent de Groot/videgro.net
„Zlatú proporciu“ možno vidieť aj na stavbe tela motýľa, vo vzťahu k hrudnej a brušnej časti tela, ako aj na vážke. A väčšina vajec sa hodí, ak nie do obdĺžnika zlatého rezu, tak do jeho derivátu.
Ilustrácia: Adolphe Millot
Fraktály
Ďalšie zaujímavé tvary, ktoré môžeme vidieť všade v prírode, sú fraktály. Fraktály sú figúry zložené z častí, z ktorých každá je podobná celej figúre – nepripomína vám to princíp zlatého rezu?
Stromy, blesky, priedušky a ľudský obehový systém majú fraktálový tvar, ideálne prírodné ilustrácie fraktálov sa nazývajú aj paprade a brokolica. „Všetko je také zložité, všetko je také jednoduché“ takto funguje príroda, ľudia si všímajú, počúvajú ju s rešpektom.
„Príroda obdarila človeka túžbou objaviť pravdu,“ napísal Cicero, ktorého slovami by som rád ukončil prvú časť článku o geometrii v prírode.
Brokolica je dokonalou prírodnou ilustráciou fraktálu.
Foto: pdphoto.org
Listy papradia majú tvar fraktálnej postavy - sú sebe podobné.
Foto: Stockbyte/Photos.com
Zelené fraktály: listy paprade.
Foto: John Foxx/Photos.com
Žily na zažltnutom liste v tvare fraktálu.
Foto: Diego Barucco/Photos.com
Praskliny na kameni: fraktál v makre.
Foto: Bob Beale/Photos.com
Vetvy obehového systému na ušiach králika.
Foto: Lusoimages/Photos.com
Úder blesku - fraktálna vetva.
Foto: John R. Southern/flickr.com
Vetva tepien v ľudskom tele.
Kľukatá rieka a jej ramená.
Foto: Jupiterimages/Photos.com
Ľad zmrazený na skle má podobný vzor.
Foto: Schnobby/en.wikipedia.org
List brečtanu s rozvetvenými žilkami - fraktálového tvaru.
Foto: Wojciech Plonka/Photos.com
Matematické tvary známe ako fraktály pochádzajú od génia významného vedca Benoita Mandelbrota. Väčšinu života strávil v Spojených štátoch amerických, kde vyučoval matematiku na univerzite v Yale. V rokoch 1977 a 1982 publikoval Mandelbrot vedecké práce venované štúdiu „fraktálnej geometrie“ alebo „geometrie prírody“, v ktorých rozložil zdanlivo náhodné matematické formy na jednotlivé prvky, ktoré sa pri bližšom skúmaní ukázali ako opakujúce sa – ktoré dokazuje existenciu akéhosi vzoru na kopírovanie . Mandelbrotov objav mal významné pozitívne dôsledky vo vývoji fyziky, astronómie a biológie.
Ako funguje fraktál?
Fraktál (z latinského „fractus“ - zlomený, rozdrvený, zlomený) je zložitý geometrický útvar, ktorý sa skladá z niekoľkých nekonečných sekvencií častí, z ktorých každá je podobná celému obrázku a opakuje sa, keď sa mierka zmenšuje.
Štruktúra fraktálu na všetkých mierkach je netriviálna. Tu si musíme ujasniť, čo sa tým myslí. Pravidelné útvary, ako je kruh, elipsa alebo graf hladkej funkcie, sú teda usporiadané tak, že pri zvažovaní malého fragmentu pravidelného útvaru v dostatočne veľkej mierke bude podobný fragmentu priamku. Pri fraktáloch nevedie zväčšenie mierky k zjednodušeniu štruktúry obrázku a na všetkých mierkach vidíme jednotne zložitý obraz.
V prírode má veľa objektov fraktálne vlastnosti, napríklad: koruny stromov, karfiol, oblaky, obehový a alveolárny systém ľudí a zvierat, kryštály, snehové vločky, ktorých prvky sú usporiadané do jednej komplexnej štruktúry, pobrežia (fraktálny koncept umožňoval vedci na meranie pobrežia Britských ostrovov a iných predtým nemerateľných objektov).
Pozrime sa na štruktúru karfiolu. Ak odrežete jeden z kvetov, je zrejmé, že vo vašich rukách zostáva rovnaký karfiol, len menší. Môžeme krájať znova a znova, dokonca aj pod mikroskopom - ale všetko, čo dostaneme, sú malé kópie karfiolu. V tomto najjednoduchšom prípade aj malá časť fraktálu obsahuje informácie o celej výslednej štruktúre.
Pozoruhodným príkladom fraktálu v prírode je „Romanescu“, tiež známy ako „Romanescu brokolica“ alebo „koralový karfiol“. Prvé zmienky o tejto exotickej zelenine pochádzajú z Talianska zo 16. storočia. Púčiky tejto kapusty rastú v logaritmickej špirále. 3D umelci, dizajnéri a šéfkuchári ju neprestávajú obdivovať. Tí druhí si navyše zeleninu cenia najmä pre tú najjemnejšiu chuť (sladkú a orieškovú, nie sírnatú), akú kapusta môže mať, a pre to, že je menej drobivá ako obyčajný karfiol. Okrem toho je rímska brokolica bohatá na vitamín C, antioxidanty a karotenoidy.
Fraktály v digitálnej technológii
Fraktálna geometria neoceniteľne prispela k rozvoju nových technológií v oblasti digitálnej hudby a tiež umožnila komprimovať digitálne obrázky. Existujúce algoritmy kompresie fraktálnych obrázkov sú založené na princípe ukladania komprimovaného obrázka namiesto samotného digitálneho obrázka. Pri komprimovanom obrázku zostáva hlavný obrázok pevným bodom. Microsoft použil jeden z variantov tohto algoritmu pri vydávaní svojej encyklopédie, no z toho či onoho dôvodu sa tento nápad veľmi nepoužíval.
Princíp fraktálnej kompresie informácií pre kompaktné ukladanie informácií o sieťových uzloch „Netsukuku“ využíva systém na prideľovanie IP adries. Každý uzol uchováva 4 kilobajty informácií o stave susedných uzlov. Každý nový uzol sa pripája k všeobecnému internetu bez potreby centrálnej regulácie distribúcie IP adries. Môžeme konštatovať, že princíp fraktálnej kompresie informácií zabezpečuje decentralizovaný chod celej siete, a preto práca v nej prebieha čo najstabilnejšie.
Fraktály sú široko používané v počítačovej grafike - pri vytváraní obrázkov stromov, kríkov, morských plôch, horskej krajiny a iných prírodných objektov. Vďaka fraktálnej grafike bol vynájdený efektívny spôsob implementácie zložitých neeuklidovských objektov, ktorých obrazy sú podobné prírodným: ide o algoritmy na syntézu fraktálnych koeficientov, ktoré umožňujú reprodukovať kópiu akéhokoľvek obrázka čo najbližšie k originálny. Zaujímavosťou je, že okrem fraktálových „maľieb“ existuje aj fraktálna hudba a fraktálne animácie. Vo výtvarnom umení existuje smer, ktorý sa zaoberá získavaním obrazu náhodného fraktálu – „fraktálny monotyp“ alebo „stochatypy“.
Matematickým základom fraktálnej grafiky je fraktálna geometria, kde princíp dedenia z pôvodných „rodičovských objektov“ je základom pre metódy konštrukcie „dedičských obrazov“. Samotné koncepty fraktálnej geometrie a fraktálnej grafiky sa objavili len asi pred 30 rokmi, ale už sa pevne udomácnili v každodennom živote počítačových dizajnérov a matematikov.
Základné pojmy fraktálnej počítačovej grafiky sú:
- Fraktálny trojuholník - fraktálny obrazec - fraktálny objekt (hierarchia v zostupnom poradí)
- Fraktálna čiara
- Fraktálne zloženie
- „Rodičovský objekt“ a „Nástupný objekt“
Ako vytvoriť fraktál?
Tvorca fraktálov hrá rolu umelca, fotografa, sochára a vedca-vynálezcu zároveň. Aké sú nadchádzajúce fázy vytvárania výkresu od začiatku?
- nastaviť tvar výkresu pomocou matematického vzorca
- skúmať konvergenciu procesu a meniť jeho parametre
- vyberte typ obrázka
- vyberte si farebnú paletu
Spomedzi fraktálnych grafických editorov a iných grafických programov môžeme vyzdvihnúť:
"Umelecký dabér"
„Maliar“ (bez počítača žiadny umelec nikdy nedosiahne schopnosti stanovené programátormi iba pomocou ceruzky a štetca)
„Adobe Photoshop“ (ale tu sa obrázok nevytvára „od začiatku“, ale spravidla iba spracovaný)
Odoslanie dobrej práce do databázy znalostí je jednoduché. Použite nižšie uvedený formulár
Študenti, postgraduálni študenti, mladí vedci, ktorí pri štúdiu a práci využívajú vedomostnú základňu, vám budú veľmi vďační.
Uverejnené na http://www.allbest.ru
- Úvod
- 1. Pojem fraktál
- 2. Klasifikácia fraktálov
- 4. Aplikácia fraktálov
- Záver
- Zoznam použitej literatúry
Úvod
Vzhľad sebepodobných matematických objektov pred sto a viac rokmi nezaujímal takmer nikoho, zaujímali ho iba autori týchto objektov. Niektorí vedci ich navyše nazvali „monštrá“ a neverili, že majú niečo spoločné so skutočným svetom a vedou.
Postoj k sebepodobným matematickým objektom sa zmenil s príchodom počítačov, keď sa objavili prvé obrázky algebraických a stochastických fraktálov. Hneď nato zaujali nielen matematikov, ale aj fyzikov, biológov, akusikov a všetkých, ktorí sa pri svojej práci stretli s prírodnými predmetmi. Matematikov priťahovala fraktály jednoduchosť vzorcov, ktoré opisujú takéto zložité štruktúry, fyzikov možnosť prehodnotiť fyziku z novej pozície, biológov korešpondencia fraktálových obrazov s rôznymi biologickými objektmi.
Fraktály sa ešte nevyčerpali, fraktálne objekty sa stále nachádzajú v nových oblastiach vedy. Používajú ich fyzici, biológovia, sociológovia, ekonómovia a mnohí ďalší. Fraktály nie sú úplne preštudované, nachádzajú sa pre ne nové aplikácie, ktoré menia náš postoj k samotným fraktálom aj k prírode.
Predmetom práce je fenomén fraktálov.
Predmetom práce je miesto fraktálov v modernej vede.
Cieľom práce je považovať fraktály za jednoduchý aj zložitý jav.
Ciele práce: zvážiť koncept fraktálov, typy fraktálov, históriu vzniku a štúdia fraktálov, aplikáciu fraktálov v praxi.
1. Pojem fraktál
Koncepty fraktálnej a fraktálnej geometrie, ktoré sa objavili koncom 70. rokov, sa medzi matematikmi a programátormi pevne udomácnili od polovice 80. rokov 20. storočia. Slovo fraktál je odvodené z latinského fractus a v preklade znamená pozostávajúci z úlomkov Mandelbrot B. Fraktálna geometria prírody, str. Navrhol ho Benoit Mandelbrot v roku 1975 na označenie nepravidelných, ale sebepodobných štruktúr, ktoré študoval Mandelbrot B. Fractal geometry of nature, str. 5 - M.: Institute for Computer Research, 2002. . Zrod fraktálnej geometrie sa zvyčajne spája s vydaním Mandelbrotovej knihy „The Fractal Geometry of Nature“ v roku 1977. Vo svojich prácach využíva vedecké výsledky iných vedcov, ktorí pracovali v období 1875-1925 v rovnakej oblasti (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Ale až v našej dobe bolo možné spojiť ich prácu do jedného systému.
Úloha fraktálov v počítačovej grafike je dnes pomerne veľká. Na pomoc prichádzajú napríklad vtedy, keď je potrebné pomocou niekoľkých koeficientov definovať čiary a plochy veľmi zložitých tvarov. Z hľadiska počítačovej grafiky je fraktálna geometria nevyhnutná pri vytváraní umelých oblakov, hôr a morských plôch. V skutočnosti sa našiel spôsob, ako jednoducho reprezentovať zložité neeuklidovské objekty, ktorých obrazy sú veľmi podobné prírodným.
Jednou z hlavných vlastností fraktálov je sebepodobnosť. V najjednoduchšom prípade malá časť fraktálu obsahuje informácie o celom fraktále.
Definícia fraktálu od Mandelbrota je nasledovná: „Fraktál je štruktúra pozostávajúca z častí, ktoré sú v istom zmysle podobné celku.“ Feder E. Fractals: World 1991, s.67.
Je potrebné poznamenať, že slovo „fraktál“ nie je matematický pojem a nemá všeobecne akceptovanú prísnu matematickú definíciu. Môže sa použiť, ak má príslušný obrázok niektorú z nasledujúcich vlastností:
1. Má netriviálnu štruktúru vo všetkých mierkach. Toto je na rozdiel od pravidelných útvarov (ako je kruh, elipsa, graf hladkej funkcie): ak vezmeme do úvahy malý fragment pravidelného útvaru vo veľmi veľkej mierke, bude to vyzerať ako fragment priamky. Pre fraktál nevedie zväčšenie mierky k zjednodušeniu štruktúry, na všetkých mierkach uvidíme rovnako zložitý obraz.
2. Je sebepodobný alebo približne sebepodobný.
3. Má zlomkový metrický rozmer alebo metrický rozmer, ktorý presahuje topologický rozmer.
4. Dá sa skonštruovať pomocou rekurzívnej procedúry Feder E. Fractals: World 1991, s. 133.
Mnohé objekty v prírode majú fraktálne vlastnosti, napríklad pobrežia, oblaky, koruny stromov, obehový systém a alveolárny systém ľudí alebo zvierat.
Fraktály, najmä v lietadle, sú obľúbené vďaka kombinácii krásy s jednoduchosťou konštrukcie pomocou počítača.
Fraktály sú predovšetkým jazykom geometrie. Ich hlavné prvky však nie sú priamo pozorovateľné. V tomto ohľade sa zásadne líšia od bežných objektov euklidovskej geometrie, ako je priamka alebo kruh. Fraktály nie sú vyjadrené v primárnych geometrických formách, ale v algoritmoch, súboroch matematických postupov.
Tieto algoritmy sú transformované do geometrických tvarov pomocou počítača. Repertoár algoritmických prvkov je nevyčerpateľný. Keď si osvojíte jazyk fraktálov, dokážete opísať tvar oblaku tak jasne a jednoducho, ako architekt opisuje budovu pomocou kresieb, ktoré používajú jazyk tradičnej geometrie.
2. Klasifikácia fraktálov
Geometrické fraktály. Fraktály tejto triedy sú najvizuálnejšie. V dvojrozmernom prípade sa získajú pomocou nejakej prerušovanej čiary (alebo plochy v trojrozmernom prípade), nazývanej generátor. V jednom kroku algoritmu sa každý zo segmentov, ktoré tvoria lomenú čiaru, nahradí generátorovou líniou vo vhodnej mierke. V dôsledku nekonečného opakovania tohto postupu sa získa geometrický fraktál.
Algebraické fraktály. Toto je najväčšia skupina fraktálov. Získavajú sa pomocou nelineárnych procesov v n-rozmerných priestoroch. Najviac študované sú dvojrozmerné procesy. Pri interpretácii nelineárneho iteračného procesu ako diskrétneho dynamického systému je možné použiť terminológiu teórie týchto systémov: fázový portrét, ustálený proces, atraktor atď.
Je známe, že nelineárne dynamické systémy majú niekoľko stabilných stavov. Stav, v ktorom sa dynamický systém nachádza po určitom počte iterácií, závisí od jeho počiatočného stavu. Preto má každý stabilný stav (alebo, ako sa hovorí, atraktor) určitú oblasť počiatočných stavov, z ktorých systém nevyhnutne spadne do uvažovaných konečných stavov. Fázový priestor systému je teda rozdelený na oblasti príťažlivosti atraktorov. Ak je fázovým priestorom dvojrozmerný priestor, potom zafarbením oblastí príťažlivosti rôznymi farbami je možné získať farebný fázový portrét tohto systému (iteratívny proces). Zmenou algoritmu výberu farieb môžete získať zložité fraktálne vzory s bizarnými viacfarebnými vzormi. Prekvapením pre matematikov bola schopnosť vytvárať veľmi zložité netriviálne štruktúry pomocou primitívnych algoritmov.
Scholastické fraktály. Prírodné objekty, ktoré vznikajú v dôsledku zložitých náhodných procesov, majú často fraktálny tvar. Na ich modelovanie je možné použiť stochastické (náhodné) fraktály. Príklady stochastických fraktálov:
1. dráha Brownovho pohybu v rovine a v priestore;
2. hranica trajektórie Brownovho pohybu po rovine. V roku 2001 Lawler, Schramm a Werner dokázali Mandelbortovu domnienku, že jej rozmer je 4/3.
3. Schramm-Löwnerove evolúcie - konformne invariantné fraktálne krivky vznikajúce v kritických dvojrozmerných modeloch štatistickej mechaniky, napríklad v Isingovom modeli a perkolácii.
4. rôzne typy randomizovaných fraktálov, teda fraktály získané pomocou rekurzívnej procedúry, do ktorej sa v každom kroku zavedie náhodný parameter. Plazma je príkladom použitia takéhoto fraktálu v počítačovej grafike.
Fraktálne monotypy alebo stochatypy sú trendy vo výtvarnom umení, ktoré spočívajú v získaní obrazu náhodného fraktálu Schroeder M. Fraktály, chaos, mocenské zákony. Miniatúry z nekonečného raja. - Iževsk: RHD, 2001, s.26.
3. História fraktálov
Je pozoruhodné, že objavenie sa fraktálov (zatiaľ bez tohto názvu) v matematickej literatúre asi pred sto rokmi sa stretlo s poľutovaniahodným nepriateľstvom, ako sa to stalo v histórii vývoja mnohých iných matematických myšlienok. Jeden slávny matematik, Charles Hermite, ich dokonca nazval monštrá. Prinajmenšom všeobecný konsenzus ich uznal za patológiu, o ktorú majú záujem iba výskumníci, ktorí zneužívajú matematické výstrelky, a nie skutoční vedci.
V dôsledku úsilia Benoita Mandelbrota sa tento postoj zmenil a fraktálna geometria sa stala rešpektovanou aplikovanou vedou. Mandelbrot zaviedol termín fraktál na základe Hausdorffovej teórie fraktálnej (frakčnej) dimenzie, navrhnutej v roku 1919. Mnoho rokov pred vydaním svojej prvej knihy o fraktálnej geometrii začal Mandelbrot skúmať vzhľad príšer a iných patológií v prírode. Našiel miesto pre pochybné Cantorove množiny, Peanove krivky, Weierstrassove funkcie a ich mnohé variácie, ktoré boli považované za nezmysel. On a jeho študenti objavili mnoho nových fraktálov, ako napríklad fraktálny Brownov pohyb na modelovanie lesnej a horskej krajiny, kolísanie hladiny riek a tlkot srdca. S vydaním jeho kníh sa aplikácie fraktálnej geometrie začali objavovať ako huby po daždi. To ovplyvnilo mnohé aplikované vedy aj čistú matematiku. Ani filmový priemysel nezostal bokom. Milióny ľudí obdivovali horskú krajinu vo filme „Star Migration II: The Wrath of Khan“, ktorý bol skonštruovaný pomocou fraktálov Peitgen H.-O., Richter P. H. Krása fraktálov. - M.: Mir 1993, s.45.
Francúzsky matematik Henri Poincaré začal okolo roku 1890 výskum nelineárnej dynamiky, ktorý viedol k modernej teórii chaosu. Záujem o túto tému sa výrazne zvýšil, keď Edward Lorenz, nelineárny modelár počasia, v roku 1963 zistil, že dlhodobé predpovede počasia sú nemožné. Lorenz poznamenal, že aj malé chyby pri meraní aktuálneho stavu poveternostných podmienok môžu viesť k úplne nesprávnym predpovediam o budúcich poveternostných podmienkach. Táto podstatná závislosť od počiatočných podmienok je základom matematickej teórie chaosu.
Trajektórie častíc Brownovho pohybu, ktoré študovali Robert Brown už v roku 1828 a Albert Einstein v roku 1905, sú príkladom fraktálových kriviek, hoci ich matematický popis podal až v roku 1923 Norbert Wiener. V roku 1890 Peano skonštruoval svoju slávnu krivku – súvislé mapovanie, ktoré transformuje segment na štvorec, a preto zväčšuje jeho rozmer z jedného na dva. Hranica Kochovej snehovej vločky (1904), ktorej rozmer d » 1,2618, je ďalšou známou krivkou zvyšujúcou dimenziu.
Fraktál, ktorý v žiadnom prípade nepripomína krivku, ktorú Mandelbrot nazval prach, je klasická Cantorova množina (1875 alebo skôr). Táto množina je taká riedka, že neobsahuje intervaly, no napriek tomu má rovnaký počet bodov ako interval. Mandelbrot použil takýto „prach“ na modelovanie stacionárneho hluku pri telefonovaní. Fraktálny prach toho či onoho druhu sa objavuje v mnohých situáciách. V skutočnosti ide o univerzálny fraktál v tom zmysle, že akýkoľvek fraktál – atraktor systému iterovaných funkcií – je buď fraktálový prach alebo jeho projekcia do priestoru s nižšou dimenziou Peitgen H.-O., Richter P., s. . 22.
Rôzne stromovité fraktály sa používali nielen na modelovanie stromových rastlín, ale aj bronchiálneho stromu (vzduch nesúce vetvy v pľúcach), fungovanie obličiek, obehového systému atď. Zaujímavosťou je Leonardo da Vinci predpoklad, že všetky vetvy stromu v danej výške, sčítané spolu, majú rovnakú hrúbku ako kmeň (pod ich úrovňou). To znamená fraktálny model pre korunu stromu vo forme fraktálneho povrchu.
Mnohé pozoruhodné vlastnosti fraktálov a chaosu sú odhalené štúdiom iterovaných mapovaní. V tomto prípade začínajú nejakou funkciou y = f(x) a uvažujú o správaní sa postupnosti f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),... V komplexná rovina, práca tohto druhu očividne stúpa k menu Cayleyho, ktorý skúmal Newtonovu metódu hľadania koreňa aplikovanú na zložité, a nielen skutočné funkcie (1879). Pozoruhodný pokrok v štúdiu iterovaných komplexných mapovaní dosiahli Gaston Julia a Pierre Fatou (1919). Prirodzene, všetko sa dialo bez pomoci počítačovej grafiky. V týchto dňoch už mnohí videli farebné plagáty zobrazujúce súpravy *Julia a súpravu Mandelbrot, ktorá s nimi úzko súvisí. Je prirodzené začať ovládať matematickú teóriu chaosu s iterovanými zobrazeniami.
Štúdium fraktálov a chaosu otvára úžasné možnosti ako pri štúdiu nekonečného množstva aplikácií, tak aj v oblasti čistej matematiky. Ale zároveň, ako sa to často stáva v takzvanej novej matematike, objavy sú založené na priekopníckej práci veľkých matematikov minulosti. Sir Isaac Newton to pochopil, keď povedal: „Ak som videl ďalej ako ostatní, je to preto, že som stál na pleciach obrov.
4. Aplikácia fraktálov
Počítačová grafika
Fraktály sú široko používané v počítačovej grafike na vytváranie obrázkov prírodných objektov, ako sú stromy, kríky, horské krajiny, morské povrchy atď.
Fyzika a iné prírodné vedy
Vo fyzike fraktály prirodzene vznikajú pri modelovaní nelineárnych procesov, ako je turbulentné prúdenie tekutín, zložité náhodné difúzno-adsorpčné procesy, plamene, oblaky atď. Fraktály sa používajú aj pri modelovaní poréznych materiálov, napríklad v petrochémii. V biológii sa používajú na modelovanie populácií a na opis systémov vnútorných orgánov (systém krvných ciev).
Literatúra
Medzi literárne diela patria tie, ktoré majú textovú, štrukturálnu alebo sémantickú fraktálnu povahu. V textových fraktáloch sa prvky textu potenciálne donekonečna opakujú:
1. Nerozvetvený nekonečný strom, identický so sebou samým z akejkoľvek iterácie („Kňaz mal psa...“, „Podobenstvo o filozofovi, ktorý sníva, že je motýľ, ktorý sníva, že ona je filozofka, ktorá sníva. ..“, „Je to nepravdivé tvrdenie, že tvrdenie je pravdivé, tvrdenie je nepravdivé...“).
2. Nevetvové nekonečné texty s variáciami („Peggy mala vtipnú hus…“) a texty s doplnkami („Dom, ktorý postavil Jack“).
3. V štruktúrnych fraktáloch je rozloženie textu potenciálne fraktálne
4. Veniec zo sonetov (15 básní), veniec zo sonetov (211 básní), veniec z vencov sonetov (2455 básní).
5. „Príbehy v príbehu“ („Kniha tisíc a jednej noci“, J. Pototsky „Rukopis nájdený v Zaragoze“).
6. Predslovy, ktoré skrývajú autorstvo (U. Eco „Meno ruže“).
V sémantických a naratívnych fraktáloch autor hovorí o nekonečnej podobnosti časti s celkom
H. L. Borges „V kruhu ruín“
J. Cortazar „Žltý kvet“
J. Perek “Kunstkamera”
Fraktálne antény.
Využitie fraktálnej geometrie pri navrhovaní anténnych zariadení prvýkrát použil americký inžinier Nathan Cohen, ktorý vtedy žil v centre Bostonu, kde bola inštalácia externých antén na budovy zakázaná. Nathan vyrezal tvar Kochovej krivky z hliníkovej fólie a nalepil ho na kus papiera a potom ho pripevnil k prijímaču. Ukázalo sa, že takáto anténa nefunguje horšie ako bežná. A hoci fyzikálne princípy fungovania takejto antény ešte neboli preštudované, Cohenovi to nezabránilo v založení vlastnej firmy a spustení ich sériovej výroby.
Kompresia obrazu.
Existujú algoritmy na kompresiu obrázkov pomocou fraktálov. Sú založené na myšlienke, že namiesto obrázka je možné uložiť kompresné mapovanie, pre ktoré je obrázok pevným bodom.
Decentralizované siete.
Systém prideľovania IP adries v sieti Netsukuku využíva princíp kompresie fraktálnych informácií na kompaktné ukladanie informácií o sieťových uzloch. Každý uzol v sieti Netsukuku uchováva len 4 KB informácií o stave susedných uzlov, pričom každý nový uzol sa pripája do spoločnej siete bez potreby centrálnej regulácie distribúcie IP adries, čo je napríklad typické pre tzv. Internet. Princíp kompresie fraktálnych informácií teda zaručuje úplne decentralizovanú, a teda najstabilnejšiu prevádzku celej siete.
Záver
Väčšina ľudí verí, že fraktály sú len krásne obrázky, ktoré potešia oko. Našťastie to tak nie je a fraktály sa využívajú v mnohých oblastiach ľudskej činnosti. Existuje už teoretický základ pre vytváranie nových oblastí ich aplikácie, ako je diagnostika chorôb, predikcia poškodenia pri dynamickom náraze a mnohé ďalšie. No aj napriek teoretickej nevyčerpateľnosti využitia fraktálov sa dá predpokladať, že časom sa vynoria hlavné smery ich aplikácie.
Uplynulo len niekoľko desaťročí, odkedy Benoit Mandelbrot vyhlásil: „Geometria prírody je fraktálna!“ Dnes už môžeme predpokladať oveľa viac, totiž že fraktalita je primárnym princípom konštrukcie všetkých prírodných objektov bez výnimky.
Závery:
1. Vedci starostlivo skúmajú povahu fraktálov
2. V budúcnosti sa pomocou fraktálov vyrieši veľa problémov v medicíne, počítačovom priemysle, vede atď.
Zoznam použitej literatúry
fraktálna prírodná grafika
1. Mandelbrot B. Fraktálna geometria prírody. - M.: Ústav počítačového výskumu, 2002.
2. Peitgen H.-O., Richter P. H. Krása fraktálov. - M.: Mir, 1993.
3. Feder E. Fractals-M.: Mir, 1991.
4. Schroeder M. Fraktály, chaos, mocenské zákony. Miniatúry z nekonečného raja. - Iževsk: RHD, 2001.
Uverejnené na Allbest.ru
Podobné dokumenty
Fraktál je množina, ktorej dimenzia sa líši od bežnej dimenzie, nazývanej topologická. Princípy a podmienky pre vytvorenie vhodného systému podľa Mandelbrotovho výskumu. Druhy a význam fraktálov, hlavné fázy ich vývoja.
test, pridané 19.02.2015
Podstata moderných konceptov relativity priestoru a času je v špeciálnych a všeobecných teóriách. Hyperchronologický historický priestor, zrýchlenie historického času. Vysvetlenie pojmov bifurkácie, fraktály, atraktory, faktory náhodnosti.
test, pridaný 10.12.2009
Humanitné, technické, matematické typy vedomostí a prírodné vedy v modernom znalostnom systéme. Úloha a význam matematiky a fyziky v chápaní sveta. Postoj k prírode v prírodných a humanitných vedách. Problém konfrontácie medzi vedou a náboženstvom.
abstrakt, pridaný 26.11.2011
Vývoj prírodných vied v stredoveku, miesto a úloha cirkvi v štáte. Konštrukcia teórie atómovej štruktúry na základe planetárneho modelu. Vývoj astronómie, charakteristika galaxií. Teórie vzniku života na Zemi. Hypotézy pôvodu rás.
test, pridané 14.09.2009
Hippokrates ako zakladateľ modernej klinickej medicíny. Zásluhy antických vedcov o rozvoj prírodných vied. Obsah základných zákonov dialektiky, aplikácia metód dialektického výskumu. Zákon prechodu kvantity ku kvalite.
test, pridané 04.03.2011
Synergetika ako teória samoorganizujúcich sa systémov v modernom vedeckom svete. História a logika vzniku synergického prístupu v prírodných vedách. Vplyv tohto prístupu na rozvoj vedy. Metodologický význam synergetiky v modernej vede.
abstrakt, pridaný 27.12.2016
Všeobecné vlastnosti baktérií. Ich štruktúra, rozmnožovanie a výživa. Pojem prírodné zdroje a ich charakteristika. Štruktúra a význam tráviaceho systému. Ekonomická klasifikácia prírodných zdrojov. Štruktúra steny tráviaceho kanála.
test, pridané 10.09.2012
Súčasné trendy vo vývoji priemyslu, energetiky a národného hospodárstva. Premeny v oblasti vedy. Dôsledky rozvoja biotechnológie a rozvoja prírodných vied. Chemické procesy a energia. Zachovanie ozónovej vrstvy.
abstrakt, pridaný 18.11.2009
Aplikácia princípu absolútnej objektivity a istoty empirických údajov v kvantovej fyzike. Používanie kružidla a pravítka v euklidovskej geometrii. Analýza periodického systému chemických prvkov D.I. Mendelejev. Vlastnosti bifurkačných bodov.
test, pridané 6.12.2015
Pojem bioelektrických javov. Vznik modernej teórie membránovej excitácie. Hlavné typy bioelektrických potenciálov, mechanizmus ich výskytu a aplikácie v medicínskych a biologických laboratóriách, v klinickej praxi v diagnostike.
Brilantné objavy vo vede často môžu radikálne zmeniť naše životy. Napríklad vynález vakcíny môže zachrániť veľa ľudí, ale vytvorenie nových zbraní vedie k vraždám. Doslova včera (v meradle histórie) človek „skrotil“ elektrinu a dnes si už bez nej nevie predstaviť svoj život. Sú však aj objavy, ktoré, ako sa hovorí, zostávajú v tieni, napriek tomu, že aj ony majú ten či onen dopad na náš život. Jedným z týchto objavov bol fraktál. Väčšina ľudí o tomto koncepte nikdy ani nepočula a nebude vedieť vysvetliť jeho význam. V tomto článku sa pokúsime pochopiť otázku, čo je to fraktál, a zvážiť význam tohto pojmu z pohľadu vedy a prírody.
Poriadok v chaose
Aby sme pochopili, čo je fraktál, mali by sme začať s rozborom z pozície matematiky, ale skôr ako sa do toho ponoríme, trochu si zafilozofujeme. Každý človek má v sebe prirodzenú zvedavosť, vďaka ktorej poznáva svet okolo seba. Často sa pri hľadaní vedomostí pokúša použiť logiku vo svojich úsudkoch. Analýzou procesov, ktoré sa okolo neho vyskytujú, sa teda snaží vypočítať vzťahy a odvodiť určité vzorce. Najväčšie mysle na planéte sú zaneprázdnené riešením týchto problémov. Zhruba povedané, naši vedci hľadajú vzory tam, kde žiadne nie sú a ani by nemali byť. A predsa aj v chaose existuje spojenie medzi určitými udalosťami. Toto spojenie je to, čo je fraktál. Ako príklad si uveďme zlomený konár ležiaci na ceste. Keď sa naň pozrieme pozorne, uvidíme, že so všetkými svojimi konármi a vetvičkami vyzerá ako strom. Táto podobnosť samostatnej časti s jediným celkom naznačuje takzvaný princíp rekurzívnej sebapodobnosti. Fraktály možno nájsť všade v prírode, pretože mnoho anorganických a organických foriem vzniká podobným spôsobom. Sú to oblaky, mušle, ulity slimákov, koruny stromov a dokonca aj obehový systém. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto náhodné tvary sú ľahko opísané fraktálnym algoritmom. Teraz sme sa zamysleli nad tým, čo je fraktál z pohľadu exaktných vied.
Pár suchých faktov
Samotné slovo „fraktál“ je preložené z latinčiny ako „čiastočný“, „rozdelený“, „fragmentovaný“ a pokiaľ ide o obsah tohto pojmu, neexistuje žiadna formulácia ako taká. Obvykle sa interpretuje ako sebepodobný súbor, časť celku, ktorý opakuje svoju štruktúru na mikroúrovni. Tento termín zaviedol v sedemdesiatych rokoch dvadsiateho storočia Benoit Mandelbrot, ktorý je uznávaný ako otec.Dnes sa pod pojmom fraktál rozumie grafický obraz určitej štruktúry, ktorá po zväčšení bude sama sebe podobná. Matematický základ pre vytvorenie tejto teórie bol však položený ešte pred narodením samotného Mandelbrota, ale nemohol sa rozvíjať, kým sa neobjavili elektronické počítače.
Historické pozadie alebo ako to všetko začalo
Na prelome 19. a 20. storočia bolo skúmanie povahy fraktálov sporadické. Vysvetľuje sa to tým, že matematici uprednostňovali štúdium predmetov, ktoré bolo možné skúmať na základe všeobecných teórií a metód. Nemecký matematik K. Weierstrass zostrojil v roku 1872 príklad spojitej funkcie, ktorá nie je nikde diferencovateľná. Táto konštrukcia sa však ukázala ako úplne abstraktná a ťažko vnímateľná. Ďalej prišiel Švéd Helge von Koch, ktorý v roku 1904 zostrojil súvislú krivku, ktorá nikde nemala dotyčnicu. Kreslenie je pomerne jednoduché a ukázalo sa, že má fraktálne vlastnosti. Jeden z variantov tejto krivky bol pomenovaný po jej autorovi - „Kochova snehová vločka“. Ďalej myšlienku sebapodobnosti postáv rozvinul budúci mentor B. Mandelbrota, Francúz Paul Levy. V roku 1938 publikoval článok „Rovinné a priestorové krivky a plochy pozostávajúce z častí podobných celku“. V ňom opísal nový typ – Lewyho C-krivku. Všetky vyššie uvedené obrázky sú konvenčne klasifikované ako geometrické fraktály.
Dynamické alebo algebraické fraktály
Do tejto triedy patrí súprava Mandelbrot. Prvými výskumníkmi v tomto smere boli francúzski matematici Pierre Fatou a Gaston Julia. V roku 1918 Julia publikovala prácu založenú na štúdiu iterácií racionálnych komplexných funkcií. Tu opísal rodinu fraktálov, ktoré úzko súvisia s Mandelbrotovou množinou. Napriek tomu, že toto dielo preslávilo autora medzi matematikmi, rýchlo sa naň zabudlo. A len o pol storočia neskôr vďaka počítačom dostala Juliina práca druhý život. Počítače umožnili každému zviditeľniť krásu a bohatstvo sveta fraktálov, ktoré matematici mohli „vidieť“ tým, že ich zobrazili prostredníctvom funkcií. Mandelbrot bol prvý, kto použil počítač na vykonanie výpočtov (taký objem sa nedá urobiť ručne), čo umožnilo zostaviť obraz týchto čísel.
Človek s priestorovou predstavivosťou
Mandelbrot začal svoju vedeckú kariéru vo výskumnom stredisku IBM. Pri skúmaní možností prenosu údajov na veľké vzdialenosti sa vedci stretávali s faktom veľkých strát, ktoré vznikli v dôsledku rušenia šumom. Benoit hľadal spôsoby, ako tento problém vyriešiť. Pri pohľade na výsledky meraní si všimol zvláštny vzorec, konkrétne: grafy hluku vyzerali rovnako v rôznych časových mierkach.
Podobný obraz bol pozorovaný ako počas jedného dňa, tak počas siedmich dní alebo počas jednej hodiny. Sám Benoit Mandelbrot často opakoval, že nepracuje so vzorcami, ale hrá sa s obrázkami. Tento vedec sa vyznačoval nápaditým myslením, preložil akýkoľvek algebraický problém do geometrickej oblasti, kde je zrejmá správna odpoveď. Preto nie je prekvapujúce, že sa vyznačuje bohatstvom a stal sa otcom fraktálnej geometrie. Koniec koncov, uvedomenie si tohto čísla môže prísť len vtedy, keď budete študovať kresby a premýšľať o význame týchto zvláštnych vírov, ktoré tvoria vzor. Fraktálne vzory nemajú identické prvky, ale sú podobné v akejkoľvek mierke.
Júlia - Mandelbrot
Jednou z prvých kresieb tejto postavy bola grafická interpretácia výpravy, ktorá sa zrodila z diela Gastona Juliu a ďalej ju rozvinul Mandelbrot. Gaston sa pokúsil predstaviť si, ako by vyzerala súprava na základe jednoduchého vzorca, ktorý sa opakoval prostredníctvom spätnej väzby. Pokúsme sa vysvetliť, čo bolo povedané ľudskou rečou, takpovediac na prstoch. Pre konkrétnu číselnú hodnotu nájdeme novú hodnotu pomocou vzorca. Dosadíme ho do vzorca a zistíme nasledovné. Výsledok je veľký, na reprezentáciu takejto množiny je potrebné vykonať túto operáciu mnohokrát: stovky, tisíce, milióny. Toto urobil Benoit. Postupnosť spracoval a výsledky preniesol do grafickej podoby. Následne výsledný obrazec vyfarbil (každá farba zodpovedá určitému počtu opakovaní). Tento grafický obrázok bol nazvaný „Mandelbrotov fraktál“.
L. Carpenter: umenie vytvorené prírodou
Teória fraktálov rýchlo našla praktické uplatnenie. Keďže to veľmi úzko súvisí s vizualizáciou sebepodobných obrazov, umelci boli prví, ktorí prijali princípy a algoritmy na vytváranie týchto nezvyčajných foriem. Prvou z nich bola budúca zakladateľka Pixaru Lauren Carpenter. Pri práci na prezentácii prototypov lietadiel prišiel na nápad použiť ako pozadie obrázok hôr. Dnes sa s takouto úlohou dokáže vyrovnať takmer každý používateľ počítača, no v sedemdesiatych rokoch minulého storočia počítače takéto procesy vykonávať neboli, pretože v tom čase neexistovali grafické editory ani aplikácie pre trojrozmernú grafiku. A potom Loren natrafil na Mandelbrotovu knihu „Fractals: Form, Randomness and Dimension“. Benoit v nej uviedol množstvo príkladov, ktoré ukazujú, že fraktály v prírode existujú (fyva), opísal ich rozmanité tvary a dokázal, že sa dajú ľahko opísať matematickými výrazmi. Matematik uviedol túto analógiu ako argument pre užitočnosť teórie, ktorú rozvíjal v reakcii na záplavu kritiky od svojich kolegov. Tvrdili, že fraktál je len pekný obrázok, nemá žiadnu hodnotu a je vedľajším produktom práce elektronických strojov. Carpenter sa rozhodol vyskúšať túto metódu v praxi. Po dôkladnom preštudovaní knihy začal budúci animátor hľadať spôsob, ako implementovať fraktálnu geometriu do počítačovej grafiky. Vykreslenie úplne realistického obrazu horskej krajiny na počítači mu trvalo len tri dni. A dnes je tento princíp široko používaný. Ako sa ukazuje, vytváranie fraktálov nezaberie veľa času a úsilia.
Tesárske riešenie
Princíp, ktorý Lauren použila, bol jednoduchý. Spočíva v rozdelení väčších na malé prvky a tie na podobné menšie atď. Carpenter ich pomocou veľkých trojuholníkov rozdelil na 4 malé a tak ďalej, až kým nezískal realistickú horskú krajinu. Stal sa tak prvým umelcom, ktorý použil fraktálny algoritmus v počítačovej grafike na vytvorenie požadovaného obrazu. Dnes sa tento princíp používa na napodobňovanie rôznych realistických prírodných foriem.
Prvá 3D vizualizácia pomocou fraktálneho algoritmu
O niekoľko rokov neskôr Lauren aplikoval svoj vývoj vo veľkom projekte - animovanom videu Vol Libre, ktoré bolo uvedené na Siggraph v roku 1980. Toto video mnohých šokovalo a jeho tvorca bol pozvaný do Lucasfilmu. Tu animátor mohol naplno využiť svoj potenciál; vytvoril trojrozmerné krajiny (celú planétu) pre celovečerný film „Star Trek“. Akýkoľvek moderný program („Fractals“) alebo aplikácia na vytváranie 3D grafiky (Terragen, Vue, Bryce) používa rovnaký algoritmus na modelovanie textúr a povrchov.
Tom Beddard
Beddard, bývalý laserový fyzik a teraz digitálny umelec a umelec, vytvoril množstvo veľmi zaujímavých geometrických tvarov, ktoré nazval Fabergého fraktály. Navonok pripomínajú ozdobné vajíčka od ruského klenotníka, majú rovnaký brilantný, zložitý vzor. Beddard použil metódu šablóny na vytvorenie svojich digitálnych stvárnení modelov. Výsledné produkty ohromujú svojou krásou. Hoci mnohí odmietajú porovnávať handmade výrobok s počítačovým programom, treba uznať, že výsledné formy sú mimoriadne krásne. Vrcholom je, že každý môže vytvoriť takýto fraktál pomocou softvérovej knižnice WebGL. Umožňuje vám skúmať rôzne fraktálne štruktúry v reálnom čase.
Fraktály v prírode
Len málo ľudí venuje pozornosť, ale tieto úžasné postavy sú všade prítomné. Príroda je vytvorená zo sebepodobných postáv, len si to nevšimneme. Stačí sa pozrieť cez lupu na našu kožu alebo list stromu a uvidíme fraktály. Alebo si vezmite napríklad ananás alebo dokonca páví chvost - pozostávajú z podobných figúrok. A odroda brokolice Romanescu je vo všeobecnosti pozoruhodná svojím vzhľadom, pretože ju možno skutočne nazvať zázrakom prírody.
Hudobná pauza
Ukazuje sa, že fraktály nie sú len geometrické tvary, môžu to byť aj zvuky. Hudobník Jonathan Colton teda píše hudbu pomocou fraktálnych algoritmov. Tvrdí, že zodpovedá prirodzenej harmónii. Skladateľ zverejňuje všetky svoje diela na základe licencie CreativeCommons Attribution-Noncommerce, ktorá umožňuje bezplatné šírenie, kopírovanie a prevod diel iným.
Fraktálny indikátor
Táto technika našla veľmi neočakávané uplatnenie. Na jeho základe bol vytvorený nástroj na analýzu burzového trhu a vďaka tomu sa začal používať na devízovom trhu. V súčasnosti sa fraktálny indikátor nachádza na všetkých obchodných platformách a používa sa v obchodnej technike nazývanej prerazenie cien. Túto techniku vyvinul Bill Williams. Ako autor komentuje svoj vynález, tento algoritmus je kombináciou niekoľkých „sviec“, v ktorých centrálna odráža maximálny alebo naopak minimálny krajný bod.
Konečne
Pozreli sme sa teda na to, čo je fraktál. Ukazuje sa, že v chaose, ktorý nás obklopuje, skutočne existujú ideálne formy. Príroda je najlepší architekt, ideálny staviteľ a inžinier. Je usporiadaný veľmi logicky a ak nenájdeme vzor, neznamená to, že neexistuje. Možno sa musíme pozrieť v inej mierke. Môžeme s istotou povedať, že fraktály majú stále veľa tajomstiev, ktoré ešte musíme objaviť.