Funzione lineare y=kx, sue proprietà e grafico. Qual è la pendenza di una funzione lineare? Soluzione Ykxb
Argomento della lezione: Funzione sì =k X 2 , le sue proprietà e il grafico .
Lo scopo della lezione: generalizzare e sistematizzare la conoscenza della funzione quadratica, delle sue proprietà e del grafico
Obiettivi formativi:
consolidare le proprietà di base della funzione quadratica y =kx 2 e del suo grafico utilizzando la modellazione computerizzata e una lavagna interattiva.
risolvere problemi matematici utilizzando diversi metodi e metodi, identificando i vantaggi e gli svantaggi di ciascuno di essi.
Compiti di sviluppo
sviluppo delle capacità comunicative degli studenti,
sviluppo della cultura intellettuale e di ricerca degli studenti,
sviluppo di competenze nella modellazione computerizzata e nel lavoro su una lavagna interattiva
Compiti educativi:
sviluppare il rispetto per le opinioni degli altri
atteggiamento serio e responsabile nei confronti del lavoro educativo.
Tipo di lezione: presentazione della lezione, workshop.
Metodi di insegnamento: conversazione, spiegazione, business game, dimostrazione, simulazione al computer, lavoro pratico.
Forme di organizzazione del lavoro con gli studenti: individuale, frontale, coppia (gruppo).
Attrezzatura: computer, proiettore multimediale, lavagna interattiva, lavagna normale, carta millimetrata, dispense: compiti multilivello, un promemoria con i requisiti per eseguire il lavoro pratico.
Software: presentazione preparata V Microsoft Powerpoint; Advanced Grapher 1.62 (Programma multifunzionale per lo studio delle funzioni matematiche con una comoda interfaccia grafica. Consente di costruire grafici di funzioni e delle loro derivate, trovare estremi di funzioni e radici di equazioni, effettuare integrazioni, ottenere una tabella di valori di funzioni secondo la sua formula, ecc., stato: freeware, copyright: SerpikSoft, sito web: ); software per lavagna interattiva.
Piano di lezione.
1. Momento organizzativo – 1-2 minuti.
2. Stabilire scopi e obiettivi per la lezione – 2 min.
3. Attrezzatura – 1 min.
4. Ripetizione del materiale precedentemente studiato – 10 min.
compito n. 1
compito n. 2
5. Lavoro pratico – 25 min.
Compito n.3
Difesa dell'attività completata n. 3
Compito n. 4
Difesa dell'attività completata n. 4
6. Compiti a casa – 2 min.
7. Riassumendo la lezione. Valutazione – 3 min.
Durante le lezioni
Viene mostrata la diapositiva 1.
Fase I. Organizzare il tempo.
L'insegnante saluta i bambini, annota gli assenti, verifica la disponibilità degli strumenti di disegno, delle dispense: schede attività, carta millimetrata, promemoria.
Stabilire lo scopo e gli obiettivi della lezione
Diapositiva mostrata 2-5
Insegnante. Oggi riassumeremo e testeremo nella pratica le conoscenze e le abilità acquisite, espanderemo e sistematizzeremo la conoscenza sulla funzione quadratica sì = kx 2 , come uno dei modelli matematici. Continuiamo a padroneggiare le capacità della lavagna interattiva, utilizzando un computer nel nostro lavoro, e consideriamo la costruzione di grafici di funzioni quadratiche utilizzandolo.
Nella vita reale, ci sono processi descritti da vari modelli matematici della forma sì = F ( X ), G de F ( X ) - funzione. In seconda media abbiamo conosciuto la funzione lineare, in terza media abbiamo iniziato a conoscere un altro modello matematico, dopo aver studiato F ( X ) – funzione quadratica. Controlliamo come hai imparato a distinguere un modello da un altro nel primo compito.
Fase II. Ripetizione.
Attività 1. Etichetta il grafico della funzione.
Per ogni grafico mostrato sulla lavagna interattiva, trova la funzione corrispondente.
Diapositiva 6 mostrata
Sulla lavagna interattiva gli studenti lungo la catena, utilizzando il metodo dello spostamento degli oggetti (nomi delle funzioni) dalla galleria dei disegni, spostano le funzioni nel grafico corrispondente, giustificando la loro scelta.
Gli studenti rimanenti su un quaderno e due su una lavagna normale scrivono contemporaneamente funzioni in due colonne della tabella, indicando il valore corrispondente K E B . Il lavoro è riassunto. Gli studenti effettuano test reciproci (sulle lavagne interattive e regolari, sui quaderni).
Classificazione per tipologia di modello matematico
y = kx + b
y = kx2
y = 3x + 2 ; k = 3 b = 2
y =3x2; k = 3
y =2x; k =2 b =0
y = -3x2; k =-3
y =2x; k =2 b =0
y = x2; k =1
Dritto
parabola
Attività 2. Elencare le proprietà di una funzione quadratica.
Diapositiva 7 mostrata
Insegnante. In matematica è importante distinguere un modello da un altro, conoscere le proprietà di ciascuno ed essere in grado di utilizzare linguaggi diversi (verbale, simbolico, grafico) per descrivere tali proprietà. In preparazione alla lezione, un gruppo di bambini ha sistematizzato le informazioni generali sulla funzione quadratica in una tabella utilizzando il linguaggio simbolico. Sulla lavagna interattiva, la tabella delle proprietà della funzione è coperta da una tenda. Ricordiamo cosa sappiamo sulle proprietà della funzione quadratica.
Dopo un rilievo frontale per elencare le proprietà di una funzione quadratica, utilizzando la tecnica della tendina da sinistra a destra, si apre la prima colonna della tabella. I ragazzi controllano la tabella per vedere se tutte le proprietà hanno un nome. Quindi le proprietà della funzione vengono elencate in base al coefficiente; durante la conversazione, le file della tabella vengono aperte contemporaneamente: la tecnica di abbassare il sipario.
Si ascoltano le risposte degli studenti e si riassumono i risultati della ripetizione delle proprietà della funzione quadratica. Gli studenti esercitano l’autocontrollo.
Fase III. Applicazione di conoscenze e abilità
Lavoro pratico
Diapositiva 8 mostrata
Compito n.3. “Costruire e descrivere le proprietà di una data funzione a tratti
Insegnante. Quindi, ora proveremo a mettere in pratica tutta la conoscenza in diversi modi.
Ora verrete divisi in tre gruppi:
Gruppo n.1 “programmatori”» – costruisci il grafico di una funzione utilizzando un computer.
Gruppo n. 2 “pratiche”– costruire il grafico di una funzione senza utilizzare il computer su carta millimetrata.
Gruppo n. 3 “teorici” – descrivere le proprietà di una determinata funzione.
Per i bambini del gruppo n. 1 (che frequentano un corso facoltativo di IVT), sulla lavagna interattiva viene visualizzato un algoritmo di lavoro per la modellazione computerizzata ( Viene mostrata la diapositiva 9), Il gruppo n. 2 utilizza il promemoria diapositiva 23, domanda n. 2) , Il gruppo n. 3 ha sul tavolo un grafico già pronto di questa funzione, completato in anticipo dagli studenti dell'IVT facoltativo ( diapositiva 14 ).
Il compito per i bambini del gruppo n. 2, con abilità inferiori alla media, è suddiviso in sottoattività. Gli studenti deboli costruiscono un grafico di una sola funzione quadratica, gli studenti più forti costruiscono un grafico di una funzione quadratica e lineare, gli studenti avanzati completano l'intero compito nel suo insieme.
L'insegnante controlla il compito per gli studenti che lo hanno completato per primi in ciascun gruppo. Quindi, una volta completato il lavoro pratico, gli studenti controllano i compiti degli altri in una catena. In questo modo verrà controllato il lavoro di tutti gli studenti. Quegli studenti che hanno difficoltà si rivolgono all'insegnante o ai compagni della coppia vicina per chiedere aiuto.
Viene mostrata la diapositiva 10-15
Protezione del lavoro completato
Ciascun gruppo individua un leader responsabile della tutela dell'opera. Gli studenti analizzano le fasi di costruzione e descrizione delle proprietà di una funzione. Gli studenti del gruppo n. 2 esercitano l'autocontrollo confrontando il loro grafico con il grafico sulla lavagna interattiva, costruito utilizzando la modellazione computerizzata dagli studenti del gruppo n. 1. Gli studenti del gruppo n. 3 commentano le proprietà della funzione, il grafico di cui è presentato alla lavagna.
Durante la difesa, l'insegnante pone domande che aiutano a identificare i vantaggi e gli svantaggi di ciascun metodo di rappresentare graficamente una funzione:
Qual è il vantaggio di questo metodo di rappresentare graficamente una funzione?
Quali svantaggi di questo metodo puoi nominare?
Protezione del lavoro svolto utilizzando un computer
Diapositiva 16 mostrata
Vantaggi del metodo:
Visualizzazione, velocità di lavoro, accuratezza della costruzione, facilità di implementazione, capacità di automatizzare la verifica del risultato; un programma viene creato non solo su carta, ma anche in formato elettronico.
Svantaggi di questo metodo:
Le capacità computazionali non vengono migliorate, non c'è collegamento con la teoria, non c'è disponibilità di hardware e software.
Diapositiva 17 mostrata
Proteggere il lavoro svolto senza computer
Vantaggi del metodo:
Indipendenza dalla tecnologia informatica quando utilizzata; sviluppo di capacità computazionali, connessione con la teoria.
Svantaggi di questo metodo:
Il lavoro richiede molto tempo, non c'è precisione nella costruzione, è impossibile automatizzare la verifica del risultato; Il grafico viene creato solo su carta.
Compito n. 4 "Risolvi l'equazioneX 2 = 4 X -4"
Diapositiva 18 mostrata
Insegnante. Ti invitiamo a risolvere l'equazione utilizzando due metodi: grafico e analitico.
1. Metodo grafico - in due modi (modellazione al computer e senza l'ausilio di un computer).
2. Metodo – analitico.
Analizzando le fasi della risoluzione grafica di un'equazione, gli studenti formulano un algoritmo per completare l'attività. Diapositiva 19 mostrata
Quando si utilizza il metodo della soluzione analitica, è necessario ricordare la formula del quadrato della differenza di due espressioni.
Il metodo della soluzione grafica può essere presentato in due modi utilizzando la modellazione computerizzata e tradizionalmente.
L'attività viene eseguita dagli studenti dei gruppi n. 1-3 secondo lo stesso schema di quando eseguono il lavoro pratico dell'attività n. 3. Gli studenti completano l'attività e confrontano il risultato.
Protezione del lavoro completato.
Un gruppo di ragazzi che lavorano al computer dimostrano il risultato del proprio lavoro utilizzando un proiettore multimediale su una lavagna interattiva, indicando il punto di intersezione dei grafici delle funzioni e firmandone le coordinate. Gruppo di studenti n. 3 - “teorici”, la decisione viene presa da un normale consiglio. Gruppo di studenti n. 3 – “praticanti”, verifica i risultati con la lavagna interattiva.
Diapositiva 20 mostrata
Insegnante dà un compito confrontare i risultati Determina secondo te un metodo più efficace.
Fase IV. Compiti a casa.
Diapositiva 21 mostrata
Insegnante. In classe avete lavorato in gruppi, in coppia, svolgendo insieme un compito. A casa dovrai svolgere un lavoro pratico in base alle tue capacità. Il compito è differenziato per livelli di difficoltà ( diapositiva 22 - Appendice 2, diapositiva 23 ). Alla lavagna viene mostrata una diapositiva con le istruzioni per completare il lavoro.
Fase V. Riassumendo la lezione. Classificazione.
Diapositiva 24 mostrata
Oggi abbiamo riassunto e sistematizzato le conoscenze sull'argomento "Funzione y = x 2, sue proprietà e grafico" utilizzando la modellazione computerizzata e una lavagna interattiva, esaminato la soluzione di un problema matematico in diversi modi e scoperto i vantaggi e gli svantaggi di ciascuno metodo. Per te, un metodo più universale si è rivelato l'uso della modellazione matematica. Tuttavia, la scelta di un metodo specifico dipende anche dagli obiettivi che ci poniamo quando risolviamo un particolare problema. Diversi problemi matematici ci danno l'opportunità di applicare diverse tecniche, metodi e metodi per problemi pratici specifici. E hai il diritto di scegliere quelli che saranno più adatti alle condizioni date. Nella lezione successiva, passiamo alla conoscenza di un nuovo modello matematico, ricostituendo lo stock di funzioni studiate. Tutte le conoscenze e le competenze acquisite dalla costruzione di grafici di funzioni in due modi ti aiuteranno nel tuo lavoro futuro. Grazie a tutti per il vostro lavoro.
Letteratura
Rivista "La matematica a scuola", n. 10, 2008
Rivista "Informatica e formazione", n. 10, 2008.
A.G. Mordkovich. Algebra 8a elementare. Parte 1. Libro di testo. M.: Mnemosine, 2005.
A.G. Mordkovich. Algebra 8a elementare. Parte 2. Libro dei problemi. M.: Mnemosine, 2005.
L.A.Alexandrova. Algebra 8a elementare. Opere indipendenti / ed. A.G. Mordkovich. M.: Mnemosine, 2006.
A.G. Mordkovich. Algebra 7-9. Manuale metodologico per gli insegnanti. M.: Mnemosine, 2000.
Allegato 1
Promemoria
1. Come rappresentare graficamente una funzione.
Creare una tabella di valori.
Costruisci punti sul piano delle coordinate.
Collega i punti con una linea morbida.
Etichetta il grafico della funzione.
2. Come trovare il valore di una funzione F (X ) in orario.
Trova il valore corrispondente della variabile sull'asse x.
Disegna una perpendicolare al grafico della funzione e fissa un punto su di essa.
Da questo punto tracciare una perpendicolare all'asse delle ordinate.
Punto di intersezione dell'asse A – ed è il valore della funzione F ( X ).
3. Come verificare se un punto appartiene al grafico di una funzione.
Trova il valore della funzione dall'ascissa del punto.
Confronta il risultato con l'ordinata del punto.
Se i valori coincidono, il punto appartiene al grafico della funzione.
Appendice 2
Lavoro pratico
Opzione A
1. Rappresentare graficamente la funzione y = 2 X 2
a) significato A in x = -1; 2; 1/2
b) valore X , se y = -8
V) sì massimo E sì nome sul segmento [-1; 2]
3. Il punto A (-5; 50) appartiene al grafico della funzione?
Opzione B
1. Rappresentare graficamente la funzione y = - 0,5 X 2
2. Per questa funzione, trovare:
a) significato A in x = -2; 0; 3
b) valore X se y = - 8
V) sì massimo E sì nome sul segmento [- 4; 0]
3. Il punto A appartiene al grafico della funzione (-10; - 50)
Opzione C
1. Rappresentare graficamente la funzione y = 3/2 X 2
2. Per questa funzione, trovare:
a) significato A in x = 2; 1; 2/3
b) valore X se y = 6
V) sì massimo E sì nome sul segmento [- 2; 1]
3. Il punto A (-8;- 96) appartiene al grafico della funzione?
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2). Quindi tracciamo la funzione lineare y = -3x + 6 y x y = -3x + 6
Funzioni i cui grafici sono paralleli all'asse x 2° caso: K=0 In questo caso la funzione assume la forma y=b y Y=2 Y=-3 Y=0 x
Se k è maggiore di zero, le linee si trovano nel primo e nel terzo trimestre. Quanto maggiore è il coefficiente, tanto più vicina è la linea retta all'asse Oy, quanto minore è il coefficiente, tanto più vicina è la linea retta all'asse Ox. Cioè, maggiore è la pendenza, maggiore è l'angolo tra la retta e l'asse delle ascisse.
5 Y = 2x +6 Y = 2x - 5 x y Due rette sono parallele se hanno la stessa pendenza, e dipende dalla pendenza k 0 Due rette sono parallele se hanno la stessa pendenza.
Conclusioni 1. Una funzione della forma y = kx + b, dove k e b sono alcuni numeri, è chiamata funzione lineare. Un grafico lineare è una linea retta. 2.Una funzione della forma y= kx è chiamata proporzionalità diretta e il suo grafico passa per l'origine. 3. Il grafico della funzione y = b è parallelo all'asse delle ascisse e passa per il punto di coordinate (0; b). 4. Il coefficiente k è chiamato pendenza. Da questo dipende l'angolo di inclinazione della retta rispetto all'asse del Bue. 5. Se due linee diverse hanno coefficienti angolari uguali, i grafici di queste funzioni saranno paralleli; se i loro coefficienti angolari non sono uguali, i grafici si intersecheranno.
Una funzione della forma y = kx + b è detta lineare. Il grafico di una funzione lineare è una linea retta. Per costruire una retta sono necessari e sufficienti due punti.
Funzione della forma y = kx
Una funzione della forma y = kx è detta retta proporzionalità.
Il grafico è una retta passante per l'origine e situata nel 1° e 3° quarto, se k > 0, nel 2° e 4° quarto, se k< 0.
k - è chiamato coefficiente di proporzionalità e determina l'angolo di inclinazione della retta rispetto alla direzione positiva dell'asse OX. k = marrone chiaro b
La linea retta y = x è la bisettrice degli angoli di 1 e 3 coordinate, e la linea retta y = x è la bisettrice degli angoli di 1 e 4 coordinate.
Esempio. Costruire i grafici delle funzioni y = 2x, y = x, y = 2x.
La funzione è una relazione proporzionale diretta, i grafici sono linee rette.
Poiché i grafici passano per l'origine, uno dei punti ha coordinate (0; 0), quindi possiamo prendere un altro punto.
y = x, y = 2x, y = 2x,
x = 1, y = 1; x = 1, y = 2; x = 1, y = 2.
Funzione della forma y = kx + b
Il grafico della funzione è una linea retta, y = kx, spostato per traslazione parallela lungo l'asse Y di b unità, lateralmente secondo il segno b.
La costruzione può essere eseguita utilizzando due punti o un offset parallelo.
Esempio. Costruisci un grafico della funzione y = 3x4.
La funzione è lineare, il grafico è una linea retta.
La costruzione può essere effettuata mediante traslazione parallela della retta y = 3x di 2 unità verso il basso lungo l'asse Y.
Funzione della forma y = b
Il grafico della funzione è una retta parallela all'asse X passante per il punto di coordinate (0; b).
Costruisci un grafico della funzione y = 3.
La funzione è lineare, il grafico è una retta parallela all'asse OX passante per il punto (0;3)
Equazione della retta x = c
La retta x = c non è una funzione. Tuttavia, il grafico è una linea retta parallela all'asse OY e passante per il punto di coordinate (c; 0).