Zábava
Nájdite súčet vektorov pomocou pravidla rovnobežníka. Pravidlá sčítania vektorov. Pravidlo troch bodov

Nájdite súčet vektorov pomocou pravidla rovnobežníka. Pravidlá sčítania vektorov. Pravidlo troch bodov

Ako dochádza k pridávaniu vektorov, nie je študentom vždy jasné. Deti netušia, čo sa za nimi skrýva. Musíte si len pamätať pravidlá a nemyslieť na podstatu. Preto si práve princípy sčítania a odčítania vektorových veličín vyžadujú veľa vedomostí.

Pridaním dvoch alebo viacerých vektorov vždy vznikne jeden ďalší. Navyše bude vždy rovnaký, bez ohľadu na to, ako sa nájde.

Najčastejšie sa v kurze školskej geometrie zvažuje sčítanie dvoch vektorov. Môže sa vykonávať podľa pravidla trojuholníka alebo rovnobežníka. Tieto kresby vyzerajú inak, ale výsledok akcie je rovnaký.

Ako prebieha sčítanie pomocou pravidla trojuholníka?

Používa sa, keď sú vektory nekolineárne. To znamená, že neležia na rovnakej priamke ani na rovnobežných.

V tomto prípade musí byť prvý vektor vykreslený z nejakého ľubovoľného bodu. Z jeho konca je potrebné kresliť rovnobežne a rovnať sa druhému. Výsledkom bude vektor začínajúci od začiatku prvého a končiaci na konci druhého. Vzor pripomína trojuholník. Odtiaľ pochádza názov pravidla.

Ak sú vektory kolineárne, potom možno použiť aj toto pravidlo. Iba výkres bude umiestnený pozdĺž jednej čiary.

Ako sa sčítanie vykonáva pomocou pravidla rovnobežníka?

Ešte raz? platí len pre nekolineárne vektory. Konštrukcia sa vykonáva podľa iného princípu. Aj keď začiatok je rovnaký. Musíme odložiť prvý vektor. A od jeho začiatku - druhý. Na ich základe doplňte rovnobežník a nakreslite uhlopriečku od začiatku oboch vektorov. Toto bude výsledok. Takto sa vykonáva sčítanie vektorov podľa pravidla rovnobežníka.

Doteraz boli dve. Ale čo ak ich bude 3 alebo 10? Použite nasledujúcu techniku.

Ako a kedy platí pravidlo mnohouholníka?

Ak potrebujete vykonať sčítanie vektorov, ktorých počet je viac ako dva, nezúfajte. Stačí ich všetky postupne odložiť a spojiť začiatok reťaze s jej koncom. Tento vektor bude požadovaným súčtom.

Aké vlastnosti platia pre operácie s vektormi?

O nulovom vektore.Čo hovorí, že keď sa k tomu pridá, získa sa originál.

O opačnom vektore. Teda o takej, ktorá má opačný smer a rovnakú veľkosť. Ich súčet bude nula.

O komutativite sčítania. Niečo, čo je známe už zo základnej školy. Zmena pozícií podmienok nemení výsledok. Inými slovami, nezáleží na tom, ktorý vektor odložiť ako prvý. Odpoveď bude stále správna a jedinečná.

O asociativite sčítania. Tento zákon vám umožňuje pridať ľubovoľné vektory z trojice do párov a pridať k nim tretinu. Ak to napíšete pomocou symbolov, dostanete nasledovné:

prvý + (druhý + tretí) = druhý + (prvý + tretí) = tretí + (prvý + druhý).

Čo je známe o rozdiele vektorov?

Neexistuje žiadna samostatná operácia odčítania. Je to spôsobené tým, že ide v podstate o sčítanie. Iba druhý z nich je daný opačným smerom. A potom sa všetko robí tak, ako keby sa uvažovalo o pridávaní vektorov. Preto sa o ich odlišnosti prakticky nehovorí.

Pre zjednodušenie práce s ich odčítaním sa upravuje trojuholníkové pravidlo. Teraz (pri odčítaní) musí byť druhý vektor odložený od začiatku prvého. Odpoveď bude tá, ktorá spája koncový bod minuendu s tým istým, ako je podtrahend. Aj keď ho môžete odložiť, ako je opísané vyššie, jednoducho zmenou smeru druhého.

Ako nájsť súčet a rozdiel vektorov v súradniciach?

Problém udáva súradnice vektorov a vyžaduje zistenie ich hodnôt pre konečný výsledok. V tomto prípade nie je potrebné vykonávať stavby. To znamená, že môžete použiť jednoduché vzorce, ktoré popisujú pravidlo na pridávanie vektorov. Vyzerajú takto:

a (x, y, z) + b (k, 1, m) = c (x + k, y + 1, z + m);

a (x, y, z) -b (k, 1, m) = c (x-k, y-1, z-m).

Je ľahké vidieť, že súradnice je potrebné jednoducho pridať alebo odčítať v závislosti od konkrétnej úlohy.

Prvý príklad s riešením

Podmienka. Daný obdĺžnik ABCD. Jeho strany sú rovné 6 a 8 cm Priesečník uhlopriečok je označený písmenom O. Je potrebné vypočítať rozdiel medzi vektormi AO a VO.

Riešenie. Najprv musíte nakresliť tieto vektory. Sú nasmerované z vrcholov obdĺžnika do priesečníka uhlopriečok.

Ak sa pozriete pozorne na výkres, môžete vidieť, že vektory sú už kombinované tak, že druhý z nich je v kontakte s koncom prvého. Len jeho smer je nesprávny. Od tohto bodu by sa malo začať. To je, ak sú vektory sčítané, ale problém zahŕňa odčítanie. Stop. Táto akcia znamená, že musíte pridať opačne smerovaný vektor. To znamená, že VO je potrebné nahradiť OV. A ukázalo sa, že tieto dva vektory už vytvorili pár strán z pravidla trojuholníka. Preto výsledkom ich sčítania, teda želaného rozdielu, je vektor AB.

A zhoduje sa so stranou obdĺžnika. Aby ste si zapísali svoju číselnú odpoveď, budete potrebovať nasledovné. Nakreslite obdĺžnik pozdĺžne tak, aby väčšia strana bola vodorovná. Začnite číslovať vrcholy zľava dole a choďte proti smeru hodinových ručičiek. Potom bude dĺžka vektora AB 8 cm.

Odpoveď. Rozdiel medzi AO a VO je 8 cm.

Druhý príklad a jeho podrobné riešenie

Podmienka. Uhlopriečky kosoštvorca ABCD sú 12 a 16 cm, ich priesečník je označený písmenom O. Vypočítajte dĺžku vektora tvoreného rozdielom vektorov AO a BO.

Riešenie. Označenie vrcholov kosoštvorca nech je rovnaké ako v predchádzajúcej úlohe. Podobne ako pri riešení v prvom príklade sa ukáže, že požadovaný rozdiel sa rovná vektoru AB. A jeho dĺžka nie je známa. Riešenie problému sa týkalo výpočtu jednej zo strán kosoštvorca.

Na tento účel budete musieť zvážiť trojuholník ABO. Je obdĺžnikový, pretože uhlopriečky kosoštvorca sa pretínajú pod uhlom 90 stupňov. A jeho nohy sa rovnajú polovici uhlopriečok. Teda 6 a 8 cm Strana hľadaná v úlohe sa zhoduje s preponou v tomto trojuholníku.

Na jeho nájdenie budete potrebovať Pytagorovu vetu. Druhá mocnina prepony sa bude rovnať súčtu čísel 6 2 a 8 2. Po kvadratúre sú získané hodnoty: 36 a 64. Ich súčet je 100. Z toho vyplýva, že prepona sa rovná 10 cm.

Odpoveď. Rozdiel medzi vektormi AO a VO je 10 cm.

Tretí príklad s podrobným riešením

Podmienka. Vypočítajte rozdiel a súčet dvoch vektorov. Ich súradnice sú známe: prvý má 1 a 2, druhý má 4 a 8.

Riešenie. Na nájdenie súčtu budete musieť pridať prvú a druhú súradnicu v pároch. Výsledkom budú čísla 5 a 10. Odpoveďou bude vektor so súradnicami (5; 10).

Pre rozdiel je potrebné odčítať súradnice. Po vykonaní tejto akcie sa získajú čísla -3 a -6. Budú to súradnice požadovaného vektora.

Odpoveď. Súčet vektorov je (5; 10), ich rozdiel je (-3; -6).

Štvrtý príklad

Podmienka. Dĺžka vektora AB je 6 cm, BC je 8 cm. Druhý je odložený od konca prvého pod uhlom 90 stupňov. Vypočítajte: a) rozdiel medzi modulmi vektorov VA a BC a modul rozdielu medzi VA a BC; b) súčet tých istých modulov a modul súčtu.

Riešenie: a) Dĺžky vektorov sú už uvedené v úlohe. Preto nie je ťažké vypočítať ich rozdiel. 6 - 8 = -2. Situácia s rozdielovým modulom je o niečo komplikovanejšia. Najprv musíte zistiť, ktorý vektor bude výsledkom odčítania. Na tento účel treba vyčleniť vektor BA, ktorý smeruje opačným smerom AB. Potom nakreslite vektor BC z jeho konca a nasmerujte ho v smere opačnom k pôvodnému. Výsledkom odčítania je vektor CA. Jeho modul možno vypočítať pomocou Pytagorovej vety. Jednoduché výpočty vedú k hodnote 10 cm.

b) Súčet modulov vektorov sa rovná 14 cm Na nájdenie druhej odpovede bude potrebná určitá transformácia. Vektor BA je smerovaný opačne ako daný - AB. Oba vektory sú nasmerované z rovnakého bodu. V tejto situácii môžete použiť pravidlo rovnobežníka. Výsledkom pridania bude uhlopriečka, a nie len rovnobežník, ale obdĺžnik. Jeho uhlopriečky sú rovnaké, čo znamená, že modul súčtu je rovnaký ako v predchádzajúcom odseku.

Odpoveď: a) -2 a 10 cm; b) 14 a 10 cm.

Skalárne množstvo je fyzikálna veličina, ktorá má len jednu charakteristiku – číselnú hodnotu.

Skalárne množstvo môže byť kladné alebo záporné.

Príklady skalárnych veličín: teplota, hmotnosť, objem, čas, hustota. Matematické operácie so skalárnymi veličinami sú algebraické operácie.

Vektorové množstvo je fyzikálna veličina, ktorá má dve vlastnosti:

1) číselná hodnota, ktorá je vždy kladná (vektorový modul);

Príklady vektorových fyzikálnych veličín: rýchlosť, zrýchlenie, sila.

Vektorová veličina je označená latinským písmenom a šípkou nad týmto písmenom. Napríklad:

Vektorový modul je označený takto:

alebo - vektorový modul ,

Na obrázku (graficky) je vektor znázornený nasmerovaným segmentom priamky. Veľkosť vektora sa rovná dĺžke smerovaného segmentu v danej mierke.

2.2. Akcie s vektormi

Matematické operácie s vektorovými veličinami sú geometrické operácie.

2.2.1 Porovnanie vektorov

Rovnaké vektory. Dva vektory sú rovnaké, ak majú:

rovnaké moduly,

rovnaké smery.

Opačné vektory. Dva vektory sú opačné, ak majú:

rovnaké moduly,

opačných smeroch.

2.2.2 Sčítanie vektorov

Pomocou pravidla rovnobežníka a pravidla trojuholníka môžeme geometricky pridať dva vektory.

Nech sú dané dva vektory A (pozri obrázok). Nájdite súčet týchto vektorov +=. množstvá A sú zložkové vektory, vektor je výsledný vektor.

Pravidlo paralelogramu na sčítanie dvoch vektorov:

1. Nakreslíme vektor .

2. Nakreslíme vektor aby sa jeho začiatok zhodoval so začiatkom vektora ; uhol medzi vektormi je rovný (pozri obrázok).

3. Cez koniec vektora .

4. Cez koniec vektora nakreslite priamku rovnobežnú s vektorom .

Zostavili sme rovnobežník. Strany tohto rovnobežníka sú zložkové vektory A .

5. Nakreslite uhlopriečku rovnobežníka zo spoločného počiatočného bodu vektora a začiatok vektora .

6. Modul výsledného vektora sa rovná dĺžke uhlopriečky rovnobežníka a je určená vzorcom:

začiatok vektora sa zhoduje so začiatkom vektora a začiatok vektora (vektorový smer znázornené na obrázku).

Trojuholníkové pravidlo na sčítanie dvoch vektorov:

1. Nakreslíme vektory komponentov A takže začiatok vektora sa zhoduje s koncom vektora . V tomto prípade je uhol medzi vektormi rovný .

2. Výsledný vektor je nasmerovaný tak, aby sa jeho počiatok zhodoval s počiatkom vektora a koniec sa zhoduje s koncom vektora .

3. Modul výsledného vektora nájdeme podľa vzorca:

2.2.3 Odčítanie vektorov

Odčítanie vektorov je inverzná hodnota sčítania:

Nájdite vektorový rozdiel a vektor - to je to isté ako hľadanie súčtu vektora a vektor
, oproti vektoru . Diferenčný vektor môžeme nájsť geometricky pomocou paralelogramového pravidla alebo trojuholníkového pravidla (pozri obrázok).

Pravidlo paralelogramu.

Strany rovnobežníka - vektor a vektor - ; uhlopriečka rovnobežníka - diferenčný vektor
.

Pravidlo trojuholníka.

Diferenčný vektor spája koniec vektora a koniec vektora (začiatok vektora sa zhoduje s koncom vektora ).

2.2.4 Násobenie vektora skalárom

Nech je daný vektor a skalárne. Nájdite súčin vektora a skalárny vektorn.

V dôsledku vynásobenia vektora skalárom dostaneme nový vektor :

Vektorový smer rovnaký ako smer vektora pri
.

Vektorový smer proti smeru vektora pri
.

Vektorový modul n-krát väčší ako modul vektora , Ak
.

2.3. Bodový a krížový súčin

2.3.1 Bodový produkt

Z dvoch vektorov A môžete vytvoriť skalár podľa pravidla:

Tento výraz sa nazýva skalárny súčin vektorov A
, alebo
.

teda . =
.

Podľa definície má skalárny produkt nasledujúce vlastnosti:

1)
,

2)
,

2.3.2 Krížový produkt

Z dvoch vektorov
A
môžete vytvoriť nový vektor:

, Kde

Modul nového výsledného vektora nájdeme podľa vzorca:

Táto operácia sa nazýva krížový súčin vektorov A a je označený jedným zo symbolov
alebo
.

Vzorec je tiež dobre známy

Kde - uhol medzi vektormi A .

Vektorový smer možno nájsť pomocou nasledujúcej techniky. Mentálne kombinujeme pozdĺžnu os gimletu (pravá skrutka, vývrtka) s kolmicou na rovinu, v ktorej ležia vynásobené vektory (v tomto príklade vektory A ). Potom začneme otáčať hlavou skrutky (rukoväť vývrtky) v smere najkratšej rotácie od prvého faktora k druhému, teda od vektora na vektor . Smer pohybu telesa vrtule bude smer vektora . Táto technika sa nazýva Pravidlo pravej skrutky alebo gimletové pravidlo (pozri obrázok).

Vektorovým súčinom sa vyjadruje moment sily, moment hybnosti atď.. Keď hovoríme o vektore, máme na mysli vždy jeho zložky. Vektor, na rozdiel od skalárneho, je definovaný tromi číslami. Preto sú operácie ako sčítanie, odčítanie, skalárne a vektorové súčiny zredukované na známe operácie s komponentmi.

Na vykonanie operácie pridávania vektorov existuje niekoľko metód, ktoré v závislosti od situácie a typu príslušných vektorov môžu byť vhodnejšie na použitie. Pozrime sa na pravidlá pridávania vektorov:

Pravidlo trojuholníka

Pravidlo trojuholníka je nasledovné: ak chcete pridať dva vektory x, y, musíte zostrojiť vektor x tak, aby sa jeho začiatok zhodoval s koncom vektora y. Potom bude ich súčet hodnotou vektora z a začiatok vektora z sa bude zhodovať so začiatkom vektora x a koniec s koncom vektora y.

Pravidlo trojuholníka pomáha, ak počet vektorov, ktoré je potrebné sčítať, nie je väčší ako dva.

Pravidlo mnohouholníka

Pravidlo mnohouholníka je najjednoduchšie a najpohodlnejšie na sčítanie ľubovoľného počtu vektorov v rovine alebo v priestore. Podstata pravidla je nasledovná: pri pridávaní vektorov ich musíte postupne pridávať jeden po druhom tak, aby sa začiatok nasledujúceho vektora zhodoval s koncom predchádzajúceho, zatiaľ čo vektor, ktorý uzatvára výslednú krivku, je súčet pridaných vektorov. Jasne to ukazuje rovnosť w= x + y + z, kde vektor w je súčtom týchto vektorov. Okrem toho je potrebné poznamenať, že zmenou miesta členov vektorov sa nezmení súčet, teda (x + y) + z = x + (y + z).

Pravidlo paralelogramu

Pravidlo rovnobežníka sa používa na pridávanie vektorov, ktoré pochádzajú z rovnakého bodu. Toto pravidlo hovorí, že súčet vektorov x a y, pochádzajúcich z jedného bodu, bude tretím vektorom z, ktorý tiež vychádza z tohto bodu, a vektory x a y sú strany rovnobežníka a vektor z je jeho uhlopriečka. . V tomto prípade tiež nezáleží na tom, v akom poradí sa budú vektory pridávať.

Pravidlo mnohouholníka, pravidlo trojuholníka a pravidlo rovnobežníka teda pomáhajú riešiť problémy sčítania vektorov absolútne ľubovoľnej zložitosti v rovine aj v priestore.

Skalárne množstvo je fyzikálna veličina, ktorá má len jednu charakteristiku – číselnú hodnotu.

Skalárne množstvo môže byť kladné alebo záporné.

Príklady skalárnych veličín: teplota, hmotnosť, objem, čas, hustota. Matematické operácie so skalárnymi veličinami sú algebraické operácie.

Vektorové množstvo je fyzikálna veličina, ktorá má dve vlastnosti:

1) číselná hodnota, ktorá je vždy kladná (vektorový modul);

Príklady vektorových fyzikálnych veličín: rýchlosť, zrýchlenie, sila.

Vektorová veličina je označená latinským písmenom a šípkou nad týmto písmenom. Napríklad:

Vektorový modul je označený takto:

alebo - vektorový modul ,

Na obrázku (graficky) je vektor znázornený nasmerovaným segmentom priamky. Veľkosť vektora sa rovná dĺžke smerovaného segmentu v danej mierke.

2.2. Akcie s vektormi

Matematické operácie s vektorovými veličinami sú geometrické operácie.

2.2.1 Porovnanie vektorov

Rovnaké vektory. Dva vektory sú rovnaké, ak majú:

rovnaké moduly,

rovnaké smery.

Opačné vektory. Dva vektory sú opačné, ak majú:

rovnaké moduly,

opačných smeroch.

2.2.2 Sčítanie vektorov

Pomocou pravidla rovnobežníka a pravidla trojuholníka môžeme geometricky pridať dva vektory.

Nech sú dané dva vektory A (pozri obrázok). Nájdite súčet týchto vektorov +=. množstvá A sú zložkové vektory, vektor je výsledný vektor.

Pravidlo paralelogramu na sčítanie dvoch vektorov:

1. Nakreslíme vektor .

2. Nakreslíme vektor aby sa jeho začiatok zhodoval so začiatkom vektora ; uhol medzi vektormi je rovný (pozri obrázok).

3. Cez koniec vektora .

4. Cez koniec vektora nakreslite priamku rovnobežnú s vektorom .

Zostavili sme rovnobežník. Strany tohto rovnobežníka sú zložkové vektory A .

5. Nakreslite uhlopriečku rovnobežníka zo spoločného počiatočného bodu vektora a začiatok vektora .

6. Modul výsledného vektora sa rovná dĺžke uhlopriečky rovnobežníka a je určená vzorcom:

začiatok vektora sa zhoduje so začiatkom vektora a začiatok vektora (vektorový smer znázornené na obrázku).

Trojuholníkové pravidlo na sčítanie dvoch vektorov:

1. Nakreslíme vektory komponentov A takže začiatok vektora sa zhoduje s koncom vektora . V tomto prípade je uhol medzi vektormi rovný .

2. Výsledný vektor je nasmerovaný tak, aby sa jeho počiatok zhodoval s počiatkom vektora a koniec sa zhoduje s koncom vektora .

3. Modul výsledného vektora nájdeme podľa vzorca:

2.2.3 Odčítanie vektorov

Odčítanie vektorov je inverzná hodnota sčítania:

Pravidlo paralelogramu.

Strany rovnobežníka - vektor a vektor - ; uhlopriečka rovnobežníka - diferenčný vektor
.

Pravidlo trojuholníka.

Diferenčný vektor spája koniec vektora a koniec vektora (začiatok vektora sa zhoduje s koncom vektora ).

2.2.4 Násobenie vektora skalárom

Nech je daný vektor a skalárne. Nájdite súčin vektora a skalárny vektorn.

V dôsledku vynásobenia vektora skalárom dostaneme nový vektor :

Vektorový smer rovnaký ako smer vektora pri
.

Vektorový smer proti smeru vektora pri
.

Vektorový modul n-krát väčší ako modul vektora , Ak
.

2.3. Bodový a krížový súčin

2.3.1 Bodový produkt

Z dvoch vektorov A môžete vytvoriť skalár podľa pravidla:

Tento výraz sa nazýva skalárny súčin vektorov A
, alebo
.

teda . =
.

Podľa definície má skalárny produkt nasledujúce vlastnosti:

1)
,

2)
,

2.3.2 Krížový produkt

Z dvoch vektorov
A
môžete vytvoriť nový vektor:

, Kde

Modul nového výsledného vektora nájdeme podľa vzorca:

Táto operácia sa nazýva krížový súčin vektorov A a je označený jedným zo symbolov
alebo
.

Vzorec je tiež dobre známy

Kde - uhol medzi vektormi A .

Vektor- smerovaná úsečka, teda úsečka, pre ktorú je vyznačené, ktorý z jej hraničných bodov je začiatok a ktorý koniec.

Vektor začínajúci v bode A (\displaystyle A) a skončiť v bode B (\displaystyle B) zvyčajne sa označuje ako . Vektory možno označovať aj malými latinskými písmenami, nad ktorými je napríklad šípka (niekedy pomlčka). Ďalším bežným spôsobom písania je zvýraznenie vektorového symbolu tučným písmom: a (\displaystyle \mathbf (a) ).

Vektor v geometrii sa prirodzene prirovnáva k prekladu (paralelný preklad), čo samozrejme objasňuje pôvod jeho názvu (lat. vektor, dopravca). Takže každý smerovaný segment jedinečne definuje nejaký paralelný prenos roviny alebo priestoru: povedzme vektor A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) prirodzene určuje preklad, v ktorom je bod A (\displaystyle A) pôjde k bodu B (\displaystyle B), aj naopak, paralelný prenos, pri ktorom A (\displaystyle A) Ide do B (\displaystyle B), definuje jeden smerovaný segment A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))(jediný je, ak považujeme všetky nasmerované segmenty toho istého smeru za rovnaké a - to znamená, že ich považujeme za; skutočne pri paralelnom preklade sú všetky body posunuté rovnakým smerom o rovnakú vzdialenosť, takže v tomto chápaní A 1 B 1 → = A 2 B 2 → = A 3 B 3 → = … (\displaystyle (\overrightarrow (A_(1)B_(1)))=(\overrightarrow (A_(2)B_(2)) )=(\overrightarrow (A_(3)B_(3)))=\dots )).

Interpretácia vektora ako prenosu nám umožňuje zaviesť operáciu prirodzeným a intuitívne zrejmým spôsobom - ako kompozíciu (sekvenčnú aplikáciu) dvoch (alebo viacerých) prenosov; to isté platí pre operáciu násobenia vektora číslom.

Základné pojmy

Vektor je riadený segment vytvorený z dvoch bodov, z ktorých jeden sa považuje za začiatok a druhý za koniec.

Súradnice vektora sú definované ako rozdiel medzi súradnicami jeho počiatočného a koncového bodu. Napríklad v súradnicovej rovine, ak sú zadané počiatočné a koncové súradnice: T 1 = (x 1, y 1) (\displaystyle T_(1)=(x_(1),y_(1))) A T 2 = (x 2, y 2) (\displaystyle T_(2)=(x_(2),y_(2))), potom súradnice vektora budú: V → = T 2 − T 1 = (x 2, y 2) − (x 1 , y 1) = (x 2 − x 1, y 2 − y 1) (\displaystyle (\overrightarrow (V))=T_ (2)-T_(1)=(x_(2),y_(2))-(x_(1),y_(1))=(x_(2)-x_(1),y_(2)-y_ (1))).

Dĺžka vektora V → (\displaystyle (\overrightarrow (V))) je vzdialenosť medzi dvoma bodmi T 1 (\displaystyle T_(1)) A T 2 (\displaystyle T_(2)), zvyčajne sa označuje | V → | = | T 2 - T 1 | = | (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) | = (x 2 − x 1) 2 + (y 2 − y 1) 2 (\displaystyle |(\overrightarrow (V))|=|T_(2)-T_(1)|=|(x_(2)- x_(1),y_(2)-y_(1))|=(\sqrt ((x_(2)-x_(1))^(2)+(y_(2)-y_(1))^( 2))))

Úlohu nuly medzi vektormi zohráva nulový vektor, ktorého začiatok a koniec sa zhodujú T 1 = T 2 (\displaystyle T_(1)=T_(2)); na rozdiel od iných vektorov mu nie je priradený žiadny smer.

Pre súradnicovú reprezentáciu vektorov má pojem veľký význam premietanie vektora na os(smerová priamka, pozri obrázok). Projekcia je dĺžka segmentu tvoreného priemetom začiatočného a koncového bodu vektora na danú čiaru a projekcii je priradené znamienko plus, ak smer premietania zodpovedá smeru osi, inak - znamienko mínus. Priemet sa rovná dĺžke pôvodného vektora vynásobenej kosínusom uhla medzi pôvodným vektorom a osou; priemet vektora na os naň kolmú je nulový.

Aplikácie

Vektory sú široko používané v geometrii a aplikovaných vedách, kde sa používajú na reprezentáciu veličín, ktoré majú smer (sily, rýchlosti atď.). Použitie vektorov zjednodušuje množstvo operácií - napríklad určovanie uhlov medzi priamkami alebo segmentmi, výpočet plôch obrázkov. V počítačovej grafike sa na vytvorenie správneho osvetlenia tela používajú normálne vektory. Použitie vektorov môže byť použité ako základ pre súradnicovú metódu.

Typy vektorov

Niekedy namiesto zvažovania množiny vektorov každý smerované segmenty (považujúc za odlišné všetky smerované segmenty, ktorých začiatky a konce sa nezhodujú), majú len určitú modifikáciu tejto množiny (množiny faktorov), to znamená, že niektoré smerované segmenty sa považujú za rovnaké, ak majú rovnaký smer a dĺžku, hoci môžu mať odlišný začiatok (a koniec), to znamená, že smerované segmenty rovnakej dĺžky a smeru sa považujú za reprezentujúce rovnaký vektor; Takto sa ukáže, že každý vektor má zodpovedajúcu celú triedu smerovaných segmentov, ktoré sú identické v dĺžke a smere, ale líšia sa začiatkom (a koncom).

Áno, hovoria o tom "zadarmo", "posuvné" A "pevné" vektory. Tieto typy sa líšia v koncepte rovnosti dvoch vektorov.

Keď hovoríme o voľných vektoroch, identifikujú akékoľvek vektory, ktoré majú rovnaký smer a dĺžku;
keď už hovoríme o posuvných vektoroch, dodávajú, že počiatky rovnakých posuvných vektorov sa musia zhodovať alebo ležať na tej istej priamke, na ktorej ležia smerované segmenty reprezentujúce tieto vektory (takže jeden môže byť kombinovaný s iným pohybom v smere ním určenom);
keď hovoríme o fixných vektoroch, hovoria, že iba vektory, ktorých smery a počiatky sa zhodujú, sa považujú za rovnaké (to znamená, že v tomto prípade neexistuje faktorizácia: neexistujú dva fixné vektory s rôznymi počiatkami, ktoré by sa považovali za rovnaké).

Formálne:

To hovoria voľné vektory A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) a sú rovnaké, ak sú body E (\displaystyle E) A F (\displaystyle F) také, že štvoruholníky A B F E (\displaystyle ABFE) A C D F E (\displaystyle CDFE)- rovnobežníky.

To hovoria posuvné vektory A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) A C D → (\displaystyle \ (\overrightarrow (CD))) sú rovnaké, ak

Posuvné vektory sa používajú najmä v mechanike. Najjednoduchším príkladom posuvného vektora v mechanike je sila pôsobiaca na tuhé teleso. Posunutie počiatku vektora sily pozdĺž priamky, na ktorej leží, nemení moment sily vzhľadom k žiadnemu bodu; jeho prenesenie na inú priamku, aj keď nezmeníte veľkosť a smer vektora, môže spôsobiť zmenu jeho momentu (dokonca takmer vždy bude): preto pri výpočte momentu nemožno silu považovať za voľnú vektor, to znamená, že ho nemožno považovať za aplikovaný na ľubovoľný bod tuhých telies.

To hovoria fixné vektory A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) A C D → (\displaystyle \ (\overrightarrow (CD))) sú rovnaké, ak sa body zhodujú v pároch A (\displaystyle A) A C (\displaystyle C), B (\displaystyle B) A D (\displaystyle D).

Vektorom je v jednom prípade riadený segment a v iných prípadoch sú rôzne vektory rôznymi triedami ekvivalencie riadených segmentov, ktoré sú určené nejakým špecifickým vzťahom ekvivalencie. Okrem toho môže byť vzťah ekvivalencie odlišný, čo určuje typ vektora („voľný“, „pevný“ atď.). Jednoducho povedané, v rámci triedy ekvivalencie sa všetky riadené segmenty, ktoré sú v nej zahrnuté, považujú za úplne rovnaké a každý môže rovnako reprezentovať celú triedu.

Všetky operácie s vektormi (sčítanie, násobenie číslom, skalárne a vektorové súčiny, výpočet modulu alebo dĺžky, uhla medzi vektormi a pod.) sú v zásade definované zhodne pre všetky typy vektorov, rozdiel v typoch sa zmenšuje v r. v tomto ohľade len na to, že pre pohyblivé a pevné vektory platí obmedzenie na možnosť vykonávania operácií medzi dvoma vektormi, ktoré majú rôzne začiatky (napríklad pre dva pevné vektory je sčítanie zakázané - alebo nemá zmysel - ak sú ich začiatky rozdielne; avšak vo všetkých prípadoch, keď je táto operácia povolená – alebo má význam – je rovnaká ako pre voľné vektory). Preto často nie je typ vektora explicitne uvedený vôbec, predpokladá sa, že je zrejmý z kontextu. Okrem toho, v závislosti od kontextu problému, ten istý vektor možno považovať za pevný, posuvný alebo voľný; napríklad v mechanike možno vektory síl aplikovaných na teleso sčítať bez ohľadu na bod aplikácie pri hľadaní výslednice. (ako v statike, tak aj v dynamike pri štúdiu pohybu ťažiska, zmien hybnosti atď.), ale nemožno ich navzájom sčítať bez zohľadnenia bodov použitia pri výpočte krútiaceho momentu (aj v statike a dynamike) .

Vzťahy medzi vektormi

Koordinačné zastúpenie

Pri práci s vektormi sa často zavádza určitý karteziánsky súradnicový systém a v ňom sa určujú súradnice vektora, ktorý sa rozkladá na bázové vektory. Rozšírenie základu možno znázorniť geometricky pomocou vektorových projekcií na súradnicové osi. Ak sú známe súradnice začiatku a konca vektora, súradnice samotného vektora sa získajú odčítaním súradníc jeho začiatku od súradníc konca vektora.

A B → = (A B x , A B y , A B z) = (B x − A x , B y − A y , B z − A z) (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(AB_(x), AB_(y),AB_(z))=(B_(x)-A_(x),B_(y)-A_(y),B_(z)-A_(z)))

Súradnicové jednotkové vektory, označené ako i → , j → , k → (\displaystyle (\vec (i)), (\vec (j)), (\vec (k))), zodpovedajúce osám x , y , z (\displaystyle x,y,z). Potom vektor a → (\displaystyle (\vec (a))) možno napísať ako

a → = a x i → + a y j → + a z k → (\displaystyle (\vec (a))=a_(x)(\vec (i))+a_(y)(\vec (j))+a_(z) (\vec (k)))

Akákoľvek geometrická vlastnosť môže byť zapísaná v súradniciach, po ktorých sa štúdium z geometrického stáva algebraickým a často zjednodušeným. Opak, všeobecne povedané, nie je úplne pravda: zvyčajne sa hovorí, že iba tie vzťahy, ktoré platia v akomkoľvek karteziánskom súradnicovom systéme, majú „geometrickú interpretáciu“ nemenný).

Operácie na vektoroch

Vektorový modul

Vektorový modul A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) je číslo rovné dĺžke segmentu A B (\displaystyle AB). Označené ako | A B → | (\displaystyle |(\overrightarrow (AB))|). Prostredníctvom súradníc sa vypočíta takto:

| a → | = a x 2 + a y 2 + a z 2 (\displaystyle |(\vec (a))|=(\sqrt (a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^( 2))))

Vektorové pridanie

V súradnicovej reprezentácii sa súčtový vektor získa sčítaním zodpovedajúcich súradníc výrazov:

a → + b → = (a x + b x , a y + b y , a z + b z) (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_ (y)+b_(y),a_(z)+b_(z)))

Geometricky zostrojiť súčtový vektor c → = a → + b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))+(\vec (b))) použiť rôzne pravidlá (metódy), ale všetky dávajú rovnaký výsledok. Použitie jedného alebo druhého pravidla je odôvodnené riešeným problémom.

Pravidlo trojuholníka

Pravidlo trojuholníka najprirodzenejšie vyplýva z chápania vektora ako prenosu. Je zrejmé, že výsledkom postupného uplatňovania dvoch prevodov a → (\displaystyle (\vec (a))) a niektorý bod bude rovnaký ako uplatnenie jedného prevodu naraz zodpovedajúceho tomuto pravidlu. Ak chcete pridať dva vektory a → (\displaystyle (\vec (a))) A b → (\displaystyle (\vec (b))) podľa trojuholníkového pravidla sa oba tieto vektory prenášajú rovnobežne so sebou tak, že začiatok jedného z nich sa zhoduje s koncom druhého. Potom je súčtový vektor daný treťou stranou výsledného trojuholníka a jeho začiatok sa zhoduje so začiatkom prvého vektora a jeho koniec s koncom druhého vektora.

Toto pravidlo možno priamo a prirodzene zovšeobecniť na sčítanie ľubovoľného počtu vektorov, ktoré sa menia na pravidlo prerušovanej čiary:

Pravidlo troch bodov

Ak segment A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) znázorňuje vektor a → (\displaystyle (\vec (a))) a segment B C → (\displaystyle (\overrightarrow (BC))) znázorňuje vektor b → (\displaystyle (\vec (b))), potom segment A C → (\displaystyle (\overrightarrow (AC))) znázorňuje vektor a → + b → (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))) .

Pravidlo mnohouholníka

Začiatok druhého vektora sa zhoduje s koncom prvého, začiatok tretieho s koncom druhého atď., súčet n (\displaystyle n) vektor je vektor, ktorého začiatok sa zhoduje so začiatkom prvého a koniec sa zhoduje s koncom n (\displaystyle n)-th (to znamená, že je znázornený nasmerovaným segmentom uzatvárajúcim lomenú čiaru). Nazýva sa aj pravidlo prerušovanej čiary.

Pravidlo paralelogramu

Ak chcete pridať dva vektory a → (\displaystyle (\vec (a))) A b → (\displaystyle (\vec (b))) Podľa pravidla rovnobežníka sa oba tieto vektory prenášajú rovnobežne so sebou, takže ich počiatky sa zhodujú. Potom je súčtový vektor daný uhlopriečkou rovnobežníka, ktorý je na nich zostrojený, počnúc od ich spoločného počiatku. (Pri použití pravidla trojuholníka je ľahké vidieť, že táto uhlopriečka sa zhoduje s treťou stranou trojuholníka).

Pravidlo rovnobežníka je vhodné najmä vtedy, keď je potrebné znázorniť vektor súčtu tak, ako je okamžite aplikovaný na rovnaký bod, na ktorý sú aplikované oba výrazy - to znamená, že všetky tri vektory majú spoločný pôvod.

Vektorový súčtový modul

Modul súčtu dvoch vektorov možno vypočítať pomocou kosínusovej vety:

| a → + b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) (\displaystyle |(\vec (a))+(\vec (b))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+|( \vec (b))|^(2)+2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b))) ), Kde a → (\displaystyle (\vec (a))) A b → (\displaystyle (\vec (b))).

Ak sú vektory zobrazené v súlade s pravidlom trojuholníka a uhol sa berie podľa výkresu - medzi stranami trojuholníka - čo sa nezhoduje s obvyklou definíciou uhla medzi vektormi, a teda s uhlom uvedeným vyššie vzorec, potom posledný člen nadobúda znamienko mínus, čo zodpovedá kosínusovej vete v jej priamej formulácii.

Pre súčet ľubovoľného počtu vektorov platí podobný vzorec, v ktorom je viac členov s kosínusom: jeden takýto člen existuje pre každú dvojicu vektorov zo sčítanej množiny. Napríklad pre tri vektory vzorec vyzerá takto:

| a → + b → + c → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + | c → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) + 2 | a → | | c → | cos ⁡ (a → , c →) + 2 | b → | | c → | cos ⁡ (b → , c →) . (\displaystyle |(\vec (a))+(\vec (b))+(\vec (c))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+|(\ vec (b))|^(2)+|(\vec (c))|^(2)+2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b)))+2|(\vec (a))||(\vec (c))|\cos((\vec (a)),(\vec (c) ))+2|(\vec (b))||(\vec (c))|\cos((\vec (b)),(\vec (c))).)

Vektorové odčítanie

Dva vektory a → , b → (\displaystyle (\vec (a)),(\vec (b))) a vektor ich rozdielu

Ak chcete získať rozdiel v súradnicovom tvare, musíte odpočítať zodpovedajúce súradnice vektorov:

a → − b → = (a x − b x , a y − b y , a z − b z) (\displaystyle (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_ (y)-b_(y),a_(z)-b_(z)))

Na získanie rozdielového vektora c → = a → − b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b))) začiatky vektorov sú spojené začiatkom vektora c → (\displaystyle (\vec (c))) bude koniec b → (\displaystyle (\vec (b))) a koniec je koniec a → (\displaystyle (\vec (a))). Ak píšeme pomocou vektorových bodov, tak A C → − A B → = B C → (\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).

Modul vektorového rozdielu

Tri vektory a → , b → , a → − b → (\displaystyle (\vec (a)), (\vec (b)), (\vec (a))-(\vec (b))), rovnako ako pri sčítaní, vytvorte trojuholník a výraz pre rozdielový modul je podobný:

| a → − b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 – 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) , (\displaystyle |(\vec (a))-(\vec (b))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+| (\vec (b))|^(2)-2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b)) ),)

Kde cos ⁡ (a → , b →) (\displaystyle \cos((\vec (a)),(\vec (b))))- kosínus uhla medzi vektormi a → (\displaystyle (\vec (a))) A b → . (\displaystyle (\vec (b)).)

Rozdiel od vzorca pre modul súčtu je v znamienku pred kosínusom, v tomto prípade musíte pozorne sledovať, ktorý uhol sa berie (verzia vzorca pre modul súčtu s uhlom medzi strany trojuholníka pri sčítaní podľa trojuholníkového pravidla sa tvarom nelíšia od tohto vzorca pre modul rozdielu, ale musíte mať Všimnite si, že sa tu berú rôzne uhly: v prípade súčtu je uhol prijaté, keď vektor b → (\displaystyle (\vec (b))) sa prenáša na koniec vektora a → (\displaystyle (\vec (a))), keď sa hľadá modul rozdielu, vezme sa uhol medzi vektormi aplikovanými na jeden bod; výraz pre modul súčtu s použitím rovnakého uhla ako v tomto výraze pre modul rozdielu, sa líši v znamienku pred kosínusom).